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不等式不等式不等式不等式a ba b0a bab0ab0a bABabA(B)a (b)ABab数轴上的任意两点中数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大点对应的实数大x0123124534实数与数轴上的点是一一对应的实数与数轴上的点是一一对应的含有不等号含有不等号( ( 、 、 、 、 ) )的式子，叫的式子，叫做不等式做不等式例例1 1 比较下列各组中两个实数的大小：比较下列各组中两个实数的大小：(1) 3 和和 4； (2) 和和 ；(3) 和和 ； (4) 和和 7665117171031123 .12解解 (1) 因为因为 ( 3) ( 4) 3+4 1 0，所以所以 3 4 ；6576(2)因为因为423542364210，所以所以.6576a ba b0a bab0ab0a b例例2 2 对任意实数对任意实数 x，比较（，比较（x+1)(x+2) 与与 (x 3)(x+6) 的大小的大小 (x2+3x+2) (x2+3x 18)解解 因为因为 (x+1)(x+2) (x 3)(x+6) 20 0所以所以 (x+1)(x+2) (x 3)(x+6) 比较两个代数式的大比较两个代数式的大小，就是比较两个代小，就是比较两个代数式的值的大小数式的值的大小 例例3 3 比较比较 (x2+1)2 与与 x4+x2+1 的大小的大小 (x4+2x2+1) x4 x2 1解解 因为因为 (x2+1)2 ( x4+x2+1) x2 0所以所以 (x2+1)2 ( x4+x2+1)当且仅当当且仅当 x=0 时，等号成立时，等号成立a ba b0a bab0ab0a b由此我们可以得出比较两个实数大小的方法，即是作差法由此我们可以得出比较两个实数大小的方法，即是作差法.作差法的步骤：作差作差法的步骤：作差变形变形定号定号(与与0比较大小比较大小) 结论结论.a ba b0a bab0ab0a bABabxA(B)a (b)xABabxbbac性质性质1 如果如果ab，bc，那么，那么acabacbcca？（传递性传递性） 不等式的两边同时不等式的两边同时加上（或同时减去）加上（或同时减去）同一个数，不等号的同一个数，不等号的方向不变方向不变cbaabcacbc？性质性质2(加法法则加法法则) 如果如果ab，那么，那么 acbc 如果如果ab，那么，那么 a cb c 推论推论 如果如果acb，那么，那么ab c abaab2 a2 b？b性质性质3(乘法法则乘法法则) 如果如果 ab，c0，那么，那么 a cb c 如果不等式的两边都乘同一个如果不等式的两边都乘同一个正数正数，不等号的方向不变，不等号的方向不变如果如果 ab，c0，那么，那么 a cb c如果不等式的两边都乘同一个如果不等式的两边都乘同一个负数负数，不等号的方向改变，不等号的方向改变要点：要点：不等式的三条基本性质不等式的三条基本性质方法：方法：作差比较法作差比较法注意点：注意点：不等式的基本性质不等式的基本性质3中同乘中同乘负数负数一定要改变不一定要改变不等号的方向等号的方向abxabxabxabxx| axbaxbaxbaxbaxbx| axbx| axbx| axba，b(a，b)(a，ba，b)闭区间闭区间开区间开区间半开半闭区间半开半闭区间半开半闭区间半开半闭区间设设 axb其中其中 a，b 叫做区间的端点叫做区间的端点axaxaxaxx ax ax ax ax| x ax| x ax| x ax| x a( ，aa ，)(，a)(a，)对于实数集对于实数集 R，也可用区间，也可用区间( ，) 表示表示 例例1用区间记法表示下列不等式的解集：用区间记法表示下列不等式的解集： （1）9x10 ； （2） x0.4 解：（解：（1）9，10 ；（2）(，0.4 例例2用集合的性质描述法表示下列区间：用集合的性质描述法表示下列区间： 解：（解：（1） x | 4x0； （2） x | 8x7 （1）（）（4，0）；）； （2）（）（8 ，7.例例3在数轴上表示集合在数轴上表示集合 x | x2 或或 x1 .解：解： x012bxabxabxabxa集合名称区间数轴表示x| 开区间（a，b） x| 闭区间a，b x| 半开半闭区间 a，b） x| 半开半闭区间（a，b ax ax 集合区间数轴表示x| （a，） x| （-，a） x| a，+） x| （-，a x R（-，+） ax ax abxabxabxabxaxa xaxax 未知数的个数是未知数的个数是1 1，且它的次数是，且它的次数是1 1的不等式的不等式叫做一元一次不等式叫做一元一次不等式一元一次不等式的定义一元一次不等式的定义 0.6 x500.4 x使不等式成立的未知数的全体，通常称为这使不等式成立的未知数的全体，通常称为这个不等式的解集个不等式的解集12732) 1(2xxx621)2(2) 1(12xxx641221212xxx147 x2x解不等式解不等式例例解：去分母，得解：去分母，得 去括号，得去括号，得合并同类项，得合并同类项，得两边都除以两边都除以7 7，得，得开始开始去分母去分母去括号去括号移项移项a0合并同类项合并同类项化成化成axb(a 0)是是否否x| x abx| x 0合并同类项合并同类项化成化成axb(a 0)是是否否x| x abx| x 0（0）或）或ax2+bx+c0（0）. 一元二次不等式的定义一元二次不等式的定义 含有一个未知数并且未知数最高次数是二次的不含有一个未知数并且未知数最高次数是二次的不等式叫一元二次不等式等式叫一元二次不等式. . 判断式子是否是一元二次不等式？判断式子是否是一元二次不等式？（1）x2 3x50； （2）x290； （3）3x22 x0；（4）x250； （5）x22 x3；（；（6）3x50；（7）（）（x 2）24；（；（8）x24解：解：（1）因为因为 =( 1)2-4 1 ( 12)=490，方程方程 x2 x 12=0 的解是的解是x1= 3 , x2=4，故原不等式的解集为故原不等式的解集为 x| x 4 例例1 (1) 解不等式解不等式 x2 x 120则则 x2 x 12=(x+3)(x 4)0 0403)(xx0403)(xx或或不等式组不等式组()的解集是的解集是x|x 4；不等式组不等式组()的解集是的解集是x|x 3 (2) 解不等式解不等式 x2 x 120原不等式转化为一元一次不等式组：原不等式转化为一元一次不等式组：思考一下因式分解？解一元二次不等式：解一元二次不等式：（1）(x+1)(x 2)0；（3）x2 2x 30； （4）x2 2x 30(x+1)(x-3)0 x|x3x|x3x|-1x2x|-1x0或或ax2+bx+c0, =b2 4ac0)的步骤的步骤:开始开始判断判断 =b2 4ac0ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) (x1 0分别解出两个不等式组的解集分别解出两个不等式组的解集是是否否x| x x2 x | x1 x0 x|x-3(x-1)(x+4)0 x|-4x0 x|x2所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 x| x 2 例例2 （1）解不等式）解不等式x2 4x +40解解: :x2 4x+4=(x 2)2，因为对于任意实数因为对于任意实数 x ，都有，都有 (x 2)20，（2）解不等式）解不等式x2 4x +40 解：解：（1）对于任意一个实数对于任意一个实数 x，都有，都有x22 x3(x1)220， 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为R（2）解不等式）解不等式x2 2x3 0 解：解：（2）对于任意一个实数对于任意一个实数x，不等式，不等式(x1)220 都不成立，所以原不等式的解集为都不成立，所以原不等式的解集为算算算算？(1) x22x30； (2) x24x50；(3) x22x10解下列不等式：解下列不等式：R x| x 1 0a000一元二次方程02cbxax的根不等式02cbxax的解集不等式02cbxax的解集)(2121xxxxxx或abxx221|21xxxxx或2|abxx|21xxxx有两个互异实根有两个相等实根无实根R一元二次不等式的解的情况：一元二次不等式的解的情况：解下列不等式：解下列不等式：（1）4x2+4x3 0；（；（2）3x5 2x2；（3）9x25x+40 （4）x24x50(2x+3)(2x-1)0(a0)的步骤的步骤:开始开始 =b2 4ac求方程求方程ax2+bx+c=0的两个根的两个根x1，x2x1=x2原不等式的解集是原不等式的解集是是是否否x | x x1 将原不等式化成一般形式将原不等式化成一般形式ax2+bx+c0(a0) 0方程方程ax2+bx+c=0没有实数根没有实数根原不等式的解集是原不等式的解集是原不等式的解集是原不等式的解集是x| x x2 (x1x2)R是是否否0-aaxx| a x ax|x a如果如果 a 0，那么，那么x aa = 0或或a 0时上时上述结果还成立吗述结果还成立吗?为什么为什么?解下列不等式解下列不等式 ：（1）|x| 0； （3）3|x| 12例例1 解不等式解不等式 |2x 3|5 解：由原不等式可得解：由原不等式可得化简，得化简，得所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 不等式不等式|x|a的解的解集是集是x|-axa 5 2x 3 5， 2 2x 8， 1 x 4，x| 1 xa的解的解集是集是x|x-a或或xa怎样用区间来表怎样用区间来表示这个不等式的解示这个不等式的解集？集？解下列不等式：解下列不等式： （1）|x5|7 ； （2）|5 x3|2 x|x15x-32x|-12 x 2-7 x+5 7(1) 解含绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号；解含绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号；(2) 去绝对值符号时一定要注意不等式的等价性，即去掉去绝对值符号时一定要注意不等式的等价性，即去掉绝对值符号后的不等式（组）与原不等式是等价的绝对值符号后的不等式（组）与原不等式是等价的 不等式不等式|x| a的解集是的解集是x|x a 不等式不等式|x| a的解集是的解集是x|-a x a