二项式定理与杨辉三角ppt课件.ppt
二项展开式的通项二项展开式的通项: 1kT二项式系数二项式系数:), 2 , 1 , 0(nkCkn 项数：项数：次数：次数：共有共有n1项项 各项的次数都等于各项的次数都等于n， kknknbaC )()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn 字母字母a按按降幂降幂排列排列，次数由次数由n递减到递减到0 , 字母字母b按按升幂升幂排列排列，次数由次数由0递增到递增到n .二项式定理二项式定理 ?)1( nx)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn ?)( nbannnkknknnnnnbCbaCbaCaC)()()(110 01kknnnnnnCC xC xC x二项式定理二项式定理 011()rnnnn nnnn r rnna bCaCa bbCCa b定理定理剖剖 析析1.二项式系数规律：二项式系数规律：nn2n1n0nCCCC、 2.指数规律：指数规律：（1）各项的次数均为）各项的次数均为n；（2）二项展开式中）二项展开式中a的次数由的次数由n降到降到0， b的次数由的次数由0升到升到n.3.项数规律：项数规律： 二项展开式共有二项展开式共有n+1个项个项 4.若若a=2, b=x :404132223134444444(2)2222xCCx CxCxC x则称某一项除则称某一项除X外的代数式为外的代数式为项的系数项的系数如：如：第二项的系数第二项的系数为：为： ，二项式系数为：，二项式系数为：134232C144C化简化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.0413223444444(1)(1)(1)(1)C xC xC xC xC 原原式式4(1) 1x 4x 变式练习变式练习计算计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性对称性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议议一议1 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？上下两行有什么关系吗？ 3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?每行两端都是每行两端都是1 Cn0= Cnn=1从第二行起，每行除从第二行起，每行除1以外的每一个数都等以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+第第5行行 1 5 5 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 111 nC21 nC11 rnCrnC1 21 nnC第第n行行 11nC2nC1 nnC 1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34rnrnrnCCC111 rnCrnrnrnCCC111 rnnrnCC 1 1）表中每个数都是组合数，第）表中每个数都是组合数，第n n行的第行的第r+1r+1个数是个数是 2 2）三角形的两条斜边上都是数字）三角形的两条斜边上都是数字1 1，而其余，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是 3 3）杨辉三角具有对称性）杨辉三角具有对称性 4 4）杨辉三角的第）杨辉三角的第n n行是二项式（行是二项式（a+ba+b）n n展开展开式的二项式系数即式的二项式系数即)!(!rnrnCrn nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 1110)( 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象的对称轴：图象的对称轴：2nr 2、若（、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，式系数与第七项的二项式系数相等，知识对接测查知识对接测查11、在、在(ab)展开式中，与倒数第三项二展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是( )A 第项第项 B 第项第项 C 第项第项 D 第项第项则则n=_B8增减性与最大值增减性与最大值 112111()()()CC()!kknnn nnnknkkkk 由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定knC1Cknkkn1由由：2111nkkkn 即二项式系数即二项式系数前前半部分半部分是是逐渐增大逐渐增大的，由对称性可知它的的，由对称性可知它的后后半部分是半部分是逐逐渐减小渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。21nk 可知，当可知，当 时，时， 因此因此, ,当当n为偶数时为偶数时, ,中间一项的二项式中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时, ,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 12Cnn 12Cnn 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。增减性与最大值增减性与最大值 各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1bannnnnn2CCCC210 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：nba)( n2同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式这是组合总数公式 例例 证明在证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1, 1 bannnnnnnnCCCCC) 1(113210 nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)()()(03120 nnnnCCCC证明：证明：1222 nn3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C 中世纪意大利数学家中世纪意大利数学家斐波那契斐波那契的传的传世之作世之作算术之法算术之法中提出了一个饶有中提出了一个饶有趣味的问题：趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？ 在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球球 (黑色黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什域获得奖品。试问：为什么两边区奖品低于中间区么两边区奖品低于中间区奖品？奖品？ “纵横路线图纵横路线图”是数学中的一类有趣是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从纵横各有五条路，如果从A处走到处走到B处处 (只能由北到南，由西向东只能由北到南，由西向东)，那么有多，那么有多少种不同的走法？少种不同的走法？ AB 从某种意义上说从某种意义上说,发现问题发现问题更重要更重要.第第5行行 1 5 5 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 111 nC21 nC11 rnCrnC1 21 nnC第第n行行 11nC2nC1 nnC 1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34rnrnrnCCC111 rnC杨辉三角蕴含的数字排列规律杨辉三角蕴含的数字排列规律. .1.研究斜行规律：研究斜行规律：第一条斜线上：第一条斜线上：16C 第二条斜线上：第二条斜线上：26C 第三条斜线上：第三条斜线上：36C 第四条斜线上：第四条斜线上：46C 猜想：猜想：在杨辉三角中，第在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）条斜线（从右上到左下）上前上前n个数字的和，等于个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第第m+1条斜线上的第条斜线上的第n个数个数.1 11 11 1 1 1 （第第1 1条斜线条斜线 ）1 14 41010 （第第4 4条斜线条斜线 ）31 nC1 13 36 6 （第第3 3条斜线条斜线 ）21 nC1 12 23 3 （第第2 2条斜线条斜线 ）11 nC (nr) rnrrrrrrCCCC1211nC2nC3nC4nC1 rnC?结论结论1：杨辉三角中，第杨辉三角中，第m条斜条斜(从右上从右上到左下到左下)上前上前n个数字的和，等于第个数字的和，等于第m+1条斜线上第条斜线上第n个数个数)(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr即即即即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第中，第m条斜条斜(从左上到右下从左上到右下)上前上前n个数字的和个数字的和，等于第，等于第m+1条斜线上第条斜线上第n个数。个数。 125第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第1行行 1 1第第0行行1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 11381321342.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第第8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 中世纪意大利数学家中世纪意大利数学家斐波那契斐波那契的传世之作的传世之作算术之法算术之法中中提出了一个饶有趣味的问题：提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？ 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色黑色 ) 向容器内向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品低于中间区奖品？奖品低于中间区奖品？“概率三角形” 12111824143838141218照这样计算第照这样计算第n+1层有层有n+1个通道，个通道，弹子通过各通道的概率将是？弹子通过各通道的概率将是？与杨辉三角有何关系？关系？ “纵横路线图纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从果从A处走到处走到B处处 (只能由北到南，由西向东只能由北到南，由西向东)，那，那么有多少种不同的走法？么有多少种不同的走法？ AB 由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系 第0行1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC 第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1杨辉三角中若第P行除去1外，P整除其余的所有数，则行数P是质数(素数) 华罗庚华罗庚（1910-1985）是一位具有世界声誉的数是一位具有世界声誉的数学家，我国进入世界数学学家，我国进入世界数学行列最杰出的代表行列最杰出的代表,是中国是中国数学竞赛的创始人。他在数学竞赛的创始人。他在数论、典型群、高维数值数论、典型群、高维数值积分等方面作出了卓越的积分等方面作出了卓越的贡献，撰写了不少高质量贡献，撰写了不少高质量专著、论文和科普著作。专著、论文和科普著作。 在他的科普著作在他的科普著作从从杨辉三角谈起杨辉三角谈起中，对中，对杨杨辉辉三角的构成，提出了一三角的构成，提出了一种有趣的看法。种有趣的看法。3:2（04. 上海春季高考）如图，在由二项式系上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第数所构成的杨辉三角形中，第_行中从行中从左至右第左至右第14与第与第15个数的比为个数的比为 .34练习练习1:练习练习2：4 7 7 412 23 4 35 11 14 11 56 16 25 25 16 6则第则第n 行（行（n 2 ）第）第2个数是什么？个数是什么？ 分析分析:设第设第 n 行的第行的第 2 个数为个数为 an ,则则a2 = 2 ,an+1 = an + n an = 2 + 2 + 3 + ( n-1) 22nn2练习练习3：3 5 6 9 10 12 17 18 20 2433 34 36 40 48 65 66 68 72 8 0 96则表中各数按从小到大的顺序排列，则表中各数按从小到大的顺序排列，第第100个数是个数是 多少？多少？分析:首先计算第100 个数位于表中第几行, 1 + 2 + 3 + + 13 = 91第100 个数位于第 14 行,第 9 个数其次计算第 14 行第1个数: 3 + 21 + 22 + +213 = 16385最后计算第 9 个数:16385 + 20 +21 +22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 =16640
