几何体的体积ppt课件.ppt
( (二期课改二期课改) )复习引入复习引入一一. .回顾几种常见的平面多边形的面积公式及一些复回顾几种常见的平面多边形的面积公式及一些复杂多边形的面积的计算方法杂多边形的面积的计算方法. .二二. .由长方体由长方体( (直四棱柱直四棱柱) )的体积公式的体积公式: :V = Sh .对于一般的棱柱其体积的计算方法是怎样的呢对于一般的棱柱其体积的计算方法是怎样的呢? ? * * *问题的提出问题的提出: :新课讲解新课讲解一一. .介绍介绍( (祖暅原理祖暅原理) )的具体内容的具体内容: : * *我国古代数学家祖暅在我国古代数学家祖暅在“开立圆术开立圆术”一书中指一书中指出出: : ( (约在公元约在公元5 5世纪世纪) )“夫叠棊（棋）成立积夫叠棊（棋）成立积, ,缘幂势既同缘幂势既同, ,则积不容异则积不容异” ” * *现代文解释为现代文解释为: : 体积可以看成是由面积叠加而成体积可以看成是由面积叠加而成, ,用一组平行用一组平行的平面截两个空间图形的平面截两个空间图形, ,若在任意高处的截面面积若在任意高处的截面面积都对应相等都对应相等, ,则两个空间图形的体积必然相等则两个空间图形的体积必然相等. . 说明说明上述论述称为祖暅原理上述论述称为祖暅原理, ,其正确性可以验证其正确性可以验证. . 利用叠书法加以理解和感悟利用叠书法加以理解和感悟. . ( (课文课文P37P37图解图解) )的的体体积积相相等等。应应相相等等，则则两两空空间间图图形形等等高高处处的的截截面面面面积积都都对对空空间间图图形形，若若在在任任意意用用一一组组平平行行平平面面截截两两个个SShShSSh1.柱柱体体的的体体积积.一一 柱柱体体和和锥锥体体的的体体积积,VShSh柱柱体体其其中中 为为底底面面面面积积为为高高新课讲解新课讲解二二. .棱柱体积公式的推导棱柱体积公式的推导: : * * *由长方体的体积公式由长方体的体积公式V=Sh. .利用祖暅原理利用祖暅原理, ,结合结合图图16-4516-45推导出推导出: : ( (棱柱体积公式棱柱体积公式)-)-V棱柱= Sh .新课讲解新课讲解例题例题1三三. .棱柱体积的计算棱柱体积的计算. . 已知三棱柱已知三棱柱 的底面为直角三角形的底面为直角三角形, ,两直角边两直角边AC和和BC的长分别为的长分别为4cm和和3 3cm, ,侧棱侧棱 的长为的长为10cm, ,求满足下列条件的三棱柱的体积求满足下列条件的三棱柱的体积. . (1)(1)侧棱侧棱 垂直于底面垂直于底面; ;(2)(2)侧棱侧棱 与底面所成的角为与底面所成的角为6060. .例题例题1 已知三棱柱已知三棱柱 的底面为直角三角形的底面为直角三角形, ,两直角边两直角边AC和和BC的长分别为的长分别为4cm和和3 3cm, ,侧棱侧棱 的长为的长为10cm, ,求满足下列条件的三棱柱的体积求满足下列条件的三棱柱的体积. . (1)(1)侧棱侧棱 垂直于底面垂直于底面; ;(2)(2)侧棱侧棱 与底面所成的角为与底面所成的角为6060. .例题例题1 已知三棱柱已知三棱柱 的底面为直角三角形的底面为直角三角形, ,两直角边两直角边AC和和BC的长分别为的长分别为4cm和和3 3cm, ,侧棱侧棱 的长为的长为10cm, ,求满足下列条件的三棱柱的体积求满足下列条件的三棱柱的体积. . (1)(1)侧棱侧棱 垂直于底面垂直于底面; ;(2)(2)侧棱侧棱 与底面所成的角为与底面所成的角为6060. .归纳总结归纳总结 计算棱柱体积计算棱柱体积, ,关键是计算棱柱的底面积和棱柱的高关键是计算棱柱的底面积和棱柱的高. . 为方便计算棱柱的底面积为方便计算棱柱的底面积, ,可以把棱柱的底面多边形可以把棱柱的底面多边形画成其平面图形画成其平面图形. . 注意区分棱柱的侧棱与棱柱的高之间的区别注意区分棱柱的侧棱与棱柱的高之间的区别. .* * *在直棱柱中在直棱柱中: : 侧棱侧棱= =高高; ;* * *而在一般的斜棱柱中而在一般的斜棱柱中: :侧棱与高并不相等侧棱与高并不相等, ,但侧棱与但侧棱与高加上侧棱在底面上的射影构成一个高加上侧棱在底面上的射影构成一个Rt. . 例题讲解例题讲解例题例题2 已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中中, ,AB=AC=10 cm, ,BC=12cm, ,顶点顶点A1到到A、B、C的距离都等于的距离都等于13cm, ,试求试求: :三棱柱的体积三棱柱的体积. . 分析分析解本题要注意在理解题意的基础上先作出相解本题要注意在理解题意的基础上先作出相应的斜三棱柱底面三角形的平面图及斜三棱柱应的斜三棱柱底面三角形的平面图及斜三棱柱的准确的直观图的准确的直观图, ,而后数形结合解题而后数形结合解题. . 本题中计算棱柱的体积的关键在于计算棱柱本题中计算棱柱的体积的关键在于计算棱柱的高的高, ,而要计算棱柱的高必须先计算出三棱柱的而要计算棱柱的高必须先计算出三棱柱的底面三角形的外接圆半径底面三角形的外接圆半径. . ACBA1C1B1O略解略解* *由已知易求底面积为由已知易求底面积为48cm48cm2. .* *垂足垂足O是底面三角形是底面三角形ABC的外心的外心. .* *由等腰三角形由等腰三角形ABC的的边长计算出其外接圆边长计算出其外接圆的半径的半径OA:* *在在Rt三角形三角形A1BO中中,计算出棱柱的高计算出棱柱的高:* *计算出棱柱的体积为计算出棱柱的体积为:课堂练习课堂练习* * * 课本课本(P38)(P38)练习练习15.5(1): 1 ;215.5(1): 1 ;2( (补补 充充 题题) ) ( (* * *) )已知斜四棱柱已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长的底面是边长为为8 8的正方形的正方形, ,侧棱侧棱AA1长为长为12,12,且且A1到下底面的各到下底面的各顶点间的距离相等顶点间的距离相等, ,试求试求: :(1)(1)四棱柱的体积四棱柱的体积; ;(2)(2)四棱柱的侧面积四棱柱的侧面积. . ABCDA1B1D1C1O*由已知可得由已知可得: :柱高柱高A1O的垂足的垂足O其实就是正方形其实就是正方形ABCD的中心的中心. .128 例例1 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边，已知底面是正六边形，边长为形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（问这堆螺帽大约有多少个（ 取取3.14）？）？3/8 . 7cmg 解：六角螺帽的体积是六棱解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即柱的体积与圆柱体积之差，即: :10)210(14. 3106124322V)(29563mm)(956. 23cm所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为252)956. 28 . 7(10008 . 5（个）（个）答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252252个个( (二期课改二期课改) )新课讲解新课讲解一一. .问题的提出问题的提出: :* * *棱锥的体积公式如何探求棱锥的体积公式如何探求? ?( (解决三棱锥的体积问题解决三棱锥的体积问题) )* * * n 边形边形* * *( (n- -2) )个三角形个三角形* *用用(n-3)(n-3)条共点的对角线分割成条共点的对角线分割成* * * * n 棱锥棱锥* * *( (n- -2) )个三棱锥个三棱锥导出导出: :( (解决解决n n棱锥的体积问题棱锥的体积问题) )( (* *五棱锥五棱锥P-ABCDE的体积的体积*) )( (* *三棱锥三棱锥P-ABE的体积的体积*) )+(+(*三棱锥三棱锥P-BCE的体积的体积*) )+(+(*三棱锥三棱锥P-CDE的体积的体积*) )新课讲解新课讲解*等底等高的三棱锥的体积相等等底等高的三棱锥的体积相等. 二二. .推导证明推导证明: :已知已知:三棱锥三棱锥O-ABC和和P-DEF的底面面积都是的底面面积都是S, ,高高都是都是h, ,求证求证: V三棱锥三棱锥O-ABC = V三棱锥三棱锥P-DEF. 证明证明: :结合图结合图15-36(15-36(课本课本P39). P39). ,且相似比是且相似比是: :同理可得同理可得: : ,且相似比是且相似比是: :故可得：故可得：由祖暅原理得由祖暅原理得: : VO-ABC = VP-DEF. 新课讲解新课讲解三三. .推导推导: :三棱锥的体积公式三棱锥的体积公式: : * * *证明思路证明思路: :利用三个三棱锥构造出一个三棱柱利用三个三棱锥构造出一个三棱柱. .其体积其体积: : V棱柱棱柱= = S Sh h. .证明由三棱柱分割而成的三个三棱锥证明由三棱柱分割而成的三个三棱锥的体积相等的体积相等. .三棱锥的体积等于与它等底等高的三三棱锥的体积等于与它等底等高的三棱柱的体积的三分子一棱柱的体积的三分子一. . ( (阅读理解课本阅读理解课本P40)P40)ACDBACEDBFAEBFACDBFAEBFACBFACDB新课讲解新课讲解四四.计算棱锥和棱台的体积计算棱锥和棱台的体积:例题例题2 试求棱长都为试求棱长都为a的正四棱锥的体积和表面积的正四棱锥的体积和表面积.*略解略解:*在在RtPAO中中:总结总结解题关键是找到并计算出棱锥的高就是棱锥解题关键是找到并计算出棱锥的高就是棱锥的顶点与底面正方形中心的连线的顶点与底面正方形中心的连线. . 棱锥的表面积包括侧面面积与底面面积棱锥的表面积包括侧面面积与底面面积. . 锥锥的的体体积积相相等等定定理理：等等底底等等高高的的三三棱棱 DEFPABCOVVhSDEFPABCO求求证证：高高都都是是的的底底面面积积都都是是和和已已知知三三棱棱锥锥, OABCPDEFABCDEFA1B1C1ACBA1C1ACBB1ACB1C1AA1B1C1ACBB1ACB1C1AV棱锥Sh13割补法面面体体的的体体积积。四四个个顶顶点点连连线线构构成成的的四四求求由由它它们们互互不不相相邻邻的的为为例例：已已知知正正方方体体的的棱棱长长,aABCD1A1B1C1D为正四面体为正四面体易证：易证：11ACDB 1BAC1Daaha332362222)()(,高高正正四四面面体体的的边边长长为为3332243313132aaShV)(的的体体积积。求求四四棱棱锥锥，上上的的点点，且且，分分别别是是侧侧棱棱，又又的的体体积积为为例例：正正三三棱棱柱柱APQC-BC1QAPCC1AA1QPA1B1C1-ABC,V?RABC1A1B1CPQACBD 作作DABCACPQABC1面面面面面面AAACQPBDACBDAC,ABCACQP面面面面面面haVxAPah243,底底面面边边长长为为设设原原三三棱棱柱柱的的高高为为axhxSACQP)(21aBDACQPB23的的高高四四棱棱锥锥3232h31VaaVACQPB11111112,.ABCDABCDaBCADC、如图，已知正方体的棱长为 求直线与平面的距离C1D1B1A1CDAB解：11/ABCD11/BCAD111/BCADC面111BCADC直线到平面的距离111.BADCh即点 到平面的距离1BD连111BADCV三棱锥11232ADCSah33a111BCADC直线到平面的距离为33a111CBADV361a3613111ahSDCAPDEFO?S?DEFhrShV23131 圆圆锥锥求求这这个个圆圆锥锥的的体体积积。的的半半圆圆，开开图图是是半半径径为为例例：已已知知圆圆锥锥的的侧侧面面展展a,hr 高高为为设设圆圆锥锥的的底底面面半半径径为为ar 2为为侧侧面面展展开开图图的的扇扇形形弧弧长长2ar arah23222432343131322aaahrV arh，求求该该圆圆锥锥的的体体积积为为和和圆圆锥锥的的轴轴的的距距离离，的的距距离离为为到到直直线线的的顶顶点点圆圆锥锥间间的的距距离离为为，上上两两点点例例：设设圆圆锥锥的的底底面面圆圆周周1AB3ABS2BA,O?SABDSDODD,AB，连连接接中中点点取取AB,SDSBSAAB,OABSDDSO底底面面，31SDOD,22OBSO, 32222313122)(SOOBVR.34,32:33RVRV 从从而而猜猜测测半半球球? 半球半球V331RV 圆锥圆锥333RV 圆柱圆柱高等于底面半径的旋转体体积对比求求圆圆锥锥内内水水平平面面的的高高。，将将球球从从圆圆锥锥内内取取出出后后时时水水面面恰恰好好和和球球面面相相切切的的铁铁球球，这这入入一一个个半半径径为为在在容容器器内内注注入入水水，并并放放形形，它它的的轴轴截截面面是是正正三三角角例例：一一个个倒倒圆圆锥锥形形容容器器rPABxhPHPC 水水面面高高取取出出后后水水面面高高，设设球球未未取取出出时时，如如图图，作作圆圆锥锥的的轴轴截截面面,EFOCHrPCr33EC,由由题题意意可可得得，3233331rrrV )(圆圆锥锥32291303131ABxPHPHPHAHV )tan()(水水，取取出出球球后后，水水面面下下降降到到rxrrVV33315343V 球球圆圆锥锥水水又又练习：练习：已知：长方体已知：长方体 中，中，AB=4 ，BC=2， =3，求三棱锥求三棱锥 的体积的体积1BBCADB11 解法分析：解法分析：111111DCBAABCDCADBVV 111BADAV 11BADBV 111BADCV 11BADDV 3241111 DCBAABCDV= 243242131111 BADAV= 48442411 CADBV1111DCBAABCD 1A1D1C1BABCDABCD1A1B1C1DE例例1：如图，在边长为如图，在边长为a的正方体的正方体 中，点中，点E为为AB上的任意一点，求三棱锥上的任意一点，求三棱锥 的体积的体积。1111DCBAABCD11DEBA DASEBA 1131aa 22131361a解法分析解法分析：V = 11DEBA 11EBAD V例例3：已知三棱锥已知三棱锥PABC中，中， , , PA=BC=a且且ED=b求三棱锥的体积求三棱锥的体积BCPA PAED BCED PABCEDPADCPADBABCPVVV CDSBDSPADPAD 3131CBSPAD 31aba 2131ba261 解法分析：解法分析：abaBCED BCPA PADBC平面平面 垂面法垂面法BCPA PAED BCED PABCEDEBCAEBCPABCPVVV AESPESEBCEBC 3131PASEBC 31aba 2131ba261 或者：或者：aba例例3：已知三棱锥已知三棱锥PABC中，中， , , PA=BC=a且且ED=b求三棱锥的体积求三棱锥的体积PAED PABC EBCPA平面平面 例例5 5，求四棱锥，求四棱锥A A1 1-EBFD-EBFD1 1的体积？的体积？BB1CDAC1D1A1EF易证四边形EBFD1为菱 形，连结EF，则解法分析：解法分析：EBFAEFDAEBFDAVVV 11111EDAFEFDAVV1111 aSEDA 1131EBAFEBFAVV11 aSEBA 131或者：或者：11112EFDAEBFDAVV 例例3、如图所示，已知三棱锥、如图所示，已知三棱锥ABCD的三个侧面互的三个侧面互 相垂直，且它们的面积分别为相垂直，且它们的面积分别为6、4、3，求此，求此 三棱锥的体积。三棱锥的体积。ABCDABCD16,2bc 1ab4,2 1ac3,2 21(abc)6 438 abc4 2 3 11abc432V 取适当的取适当的底和高底和高
