第06讲_直角三角形(教师版)A4-精品文档资料整理.docx

初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第06讲_直角三角形知识图谱错题回顾顾题回顾勾股定理的证明知识精讲一勾股定理1如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么2勾股定理的变形：，二勾股定理的证明1如下图，所以2如下图，所以三点剖析一勾股定理逆定理1如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形2勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足”为前提，得到这个三角形是直角三角形两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别二勾股数1满足的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数2常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10； 7、24、25；8、15、17； 9、40、41题模精讲题模一：证明例1.1.1请根据我国古代数学家赵爽的弦图（如图），说明勾股定理【答案】见解析【解析】ABC、BMD、DHE、AGE是全等的四个直角三角形，四边形ABDE是正方形，四边形GHMC是正方形，大正方形的面积是，大正方形的面积也可以是：，即在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方题模二：勾股定理例1.2.1如图，每个小正方形的边长为1，ABC的三边a，b，c的大小关系式（）AacbBabcCcabDcba【答案】C【解析】AC=5=，BC=，AB=4=，bac，即cab故选C例1.2.2在RtABC中，C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）ABCD【答案】A【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：在RtABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB=15，过C作CDAB，交AB于点D，又S ABC=ACBC=ABCD，CD=，则点C到AB的距离是故选A例1.2.3有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）A5BC5或D不确定【答案】C【解析】本题考查勾股定理的使用此题要分两种情况进行讨论：当3和4为直角边时；当4为斜边时，再分别利用勾股定理进行计算即可当3和4为直角边时，第三边长为当4为斜边时，第三边长为，故选C例1.2.4已知直角三角形的一直角边等于35cm，另外两条边的和为49cm，求斜边长【答案】斜边长为37cm【解析】设直角三角形的斜边长为x cm，则另一直角边为cm，根据勾股定理可列方程：，解得随堂练习随练1.1勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-aS四边形ADCB=S ACD+S ABC=b2+ab又S四边形ADCB=S ADB+S DCB=c2+a（b-a）b2+ab=c2+a（b-a）a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中DAB=90°求证：a2+b2=c2证明：连结_S五边形ACBED=_又S五边形ACBED=_a2+b2=c2【答案】（1）BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a（2）S ACB+S ABE+S ADE=ab+b2+ab，（3）S ACB+S ABD+S BDE=ab+c2+a（b-a）（4）ab+b2+ab=ab+c2+a（b-a）【解析】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，S五边形ACBED=S ACB+S ABE+S ADE=ab+b2+ab，又S五边形ACBED=S ACB+S ABD+S BDE=ab+c2+a（b-a），ab+b2+ab=ab+c2+a（b-a），a2+b2=c2随练1.2如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，ABC的三个顶点均在格点上，则ABC的周长为=_，面积为_【答案】；36【解析】该题考查的是勾股定理和三角形面积计算由勾股定理得：，1. ，2. 所以ABC的周长为，随练1.3若一直角三角形两边长为6和8，则第三边长为（）A10BC10或D10或【答案】C【解析】该题考查的是勾股定理（1）当6和8是直角边时，斜边；（2）当8是斜边时，另一直角边；故选C随练1.4设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是_A1.5B2C2.5D3【答案】D【解析】本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用由该三角形的周长为6，斜边长为2.5可知a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值三角形的周长为6，斜边长为2.5，a+b+2.5=6，a+b=3.5，a、b是直角三角形的两条直角边，a2+b2=2.52，由可得ab=3，故选D随练1.5已知在RtABC中，如果，求a、b的值【答案】，【解析】中，可设，则，解得，随练1.6如图所示，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为、，则、的关系是（ ）ABCD【答案】A【解析】该题考查的是勾股定理直角三角形的两直角边的平方之和等于斜边的平方圆的面积公式为，设的半径为，的半径为，的半径为，直角三角形上有，即，两边同时乘以，得，即，所以该题的答案是B勾股定理的逆定理知识精讲一勾股定理逆定理1如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形2勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足”为前提，得到这个三角形是直角三角形两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别二勾股数1满足的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数2常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10； 7、24、25；8、15、17； 9、40、41三点剖析一考点：1勾股定理逆定理；2勾股数二重难点：掌握常用的勾股数，结合勾股定理逆定理利用线段长度可证明直角三角形三易错点：勾股数除了要满足勾股定理外，还需要满足是整数题模精讲题模一：勾股定理逆定理例2.1.1下列说法正确的有（）ABC是直角三角形，C=90°，则a2+b2=c2ABC中，a2+b2c2，则ABC不是直角三角形若ABC中，a2b2=c2，则ABC是直角三角形若ABC是直角三角形，则（a+b）（ab）=c2A4个B3个C2个D1个【答案】C【解析】ABC是直角三角形，C=90°，则a2+b2=c2符合勾股定理，故本小题正确；ABC中，a2+b2c2，则ABC是直角三角形故本小题错误；若ABC中，a2b2=c2，则ABC是直角三角形符合勾股定理的逆定理，故本小题正确；当C是斜边时（a+b）（ab）=c2不成立，故本小题错误例2.1.2在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）Aa=9，b=41，c=40Ba=b=5，c=5Ca：b：c=3：4：5Da=11，b=12，c=15【答案】D【解析】A、92+402=412，故是直角三角形，故正确；B、52+52=（）2，故是直角三角形，故正确；C、32+42=52，故是直角三角形，故正确；D、112+122152，故不能组成直角三角形例2.1.3在ABC中，D为BC的中点，试判断AD与AB的位置关系【答案】ADAB【解析】延长AD至E，使得，连接BE，D为BC的中点，在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），ADAB题模二：勾股数例2.2.1分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6，其中能构成勾股数的有（ ）A1组B2组C3组D4组【答案】C【解析】，能构成勾股数；，能构成勾股数；，能构成勾股数；，不能构成勾股数例2.2.2已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？【答案】7200（元）【解析】该题考查的是勾股定理的应用如图，连接BD，在RtABD中，在CBD中，而，即，所以需费用（元）随堂练习随练2.1下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A1.5，2，3B7，24，25C6，8，10D9，12，15【答案】A【解析】A、1.52+2232，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故错误；C、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故错误；D、92+122=152，符合勾股定理的逆定理，故错误随练2.2如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为（ ）ABCABCD【答案】C【解析】，ABC是等腰直角三角形，所以本题的答案是C随练2.3ABC的三边长a，b，c满足，判断ABC的形状，并说明理由【答案】ABC的形状是直角三角形【解析】，随练2.4已知a、b、c为ABC的三边，且满足，试判断ABC的形状【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】由题意知，因此当时，ABC为等腰三角形；当时，由，ABC为直角三角形随练2.5如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A1，2，3B1，1，C1，1，D1，2， 【答案】D【解析】A、1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确直角三角形全等的证明知识精讲一 直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）定理 ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等三点剖析一考点：直角三角形全等的证明二重难点：直角三角形全等的证明三易错点：斜边、直角边定理必须是在直角三角形中才能使用题模精讲题模一：直角三角形全等的证明例3.1.1使两个直角三角形全等的条件是（ ）A一个锐角对应相等B两个锐角对应相等C一条边对应相等D两条边对应相等【答案】D【解析】两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确例3.1.2如图，ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有_对【答案】6【解析】ADOAEO，DOCEOB，COFBOF，ACFABF，ADBAEC，BCECBD例3.1.3如图，已知，与交于，求证：【答案】见解析【解析】证明：，在和中，随堂练习随练3.1下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）A两个锐角分别对应相等B两条直角边分别对应相等C一条直角边和斜边分别对应相等D一个锐角和一条斜边分别对应相等【答案】A【解析】A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意；D、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意随练3.2如图，正方形ABCD的边长为1，AC为其对角线，点E为AC上一点且满足CE=CD，过点E作EFAC交AD于点F，则DF的长度为_【答案】DF=1【解析】四边形ABCD是正方形，ADC=90°，AD=DC=1，由勾股定理得：AC=，CE=CD=1，AE=ACCE=1，设DF=x，连接CF，EFAC，FEC=90°，在RtEFC和RtDFC中，RtEFCRtDFC（HL），EF=FD=x，AF=ADDF=1x，在RtAEF中，AF2=AE2+EF2，（1x）2=（1）2+x2，x=1，DF=1随练3.3如图，在中，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，为垂足，求证：【答案】见解析【解析】证明：如图，在和中，自我总结 课后作业作业1如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m的路，却踩伤了花草A5B4C3D2【答案】B【解析】该题考查的是勾股定理根据直角三角形勾股定理两直角边长的平方和等于斜边长的平方，可得斜边长为，因此少走的路为所以本题的答案是B作业2如图，点E在正方形ABCD内，满足，则阴影部分的面积是（ ）A48B60C76D80【答案】C【解析】故选C作业3已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为cm【答案】4.8【解析】直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，斜边为=10，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为×6×8=×10h，h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm作业4如图，已知在RtABC中，ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于_【答案】2 【解析】S1=（）2=AC2，S2=BC2，所以S1+S2=（AC2+BC2）=AB2=2故答案为：2作业5学习勾股定理相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“已知直角三角形的两条边长分别为3，4，请你求出第三边”张华同学通过计算得到第三边是5，你认为张华的答案是否正确：_，你的理由是_【答案】不正确；若4为直角边，第三边为5；若4为斜边，第三边为【解析】本题需要分类讨论当4为直角边时，第三边的长为；当4为斜边时，第三边的长为因此答案为5或作业6如图，在等腰直角三角形ABC中，ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长【答案】5【解析】连接BD，等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，BDAC（三线合一），BD=CD=AD，ABD=45°，C=45°，ABD=C，又DE丄DF，FDC+BDF=EDB+BDF，FDC=EDB，在EDB与FDC中，EDBFDC（ASA），BE=FC=3，AB=7，则BC=7，BF=4，在RtEBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，EF=5答：EF的长为5作业7小明在研究直角三角形的边长时，发现了下面的式子：三边长分别为3、4、5时，；当三边长分别为6、8、10时，；当三边长分别为5、12、13时，；（1）从中可以发现一个规律：在直角ABC中，若，则它的三边长满足_（2）已知长方形ABCD中，E是AB的中点，点F在BC上，DEF的面积为16，求点D到直线EF的距离【答案】（1）；（2）点D到直线EF的距离为【解析】（1）根据当三边长分别为3、4、5时，；当三边长分别为6、8、10时，；当三边长分别为5、12、13时，；得到一个规律，直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，则在直角ABC中，若，则它的三边长满足：；（2）设，则，而，且矩形ABCD的面积为，所以，解得，则根据勾股定理得：设D到直线EF的距离为d，所以，解得作业8下列线段不能组成直角三角形的是（）ABCD【答案】D【解析】该题考查的是勾股定理的逆定理A、，能组成直角三角形；B、，能组成直角三角形；C、，能组成直角三角形；D、，不能组成直角三角形；故选D作业9三角形的三边长分别为、（、都是正整数），则这个三角形是（ ）A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D不确定【答案】A【解析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形，三角形为直角三角形作业10ABC中，A、B、C的对边的分别用a、b、c来表示，且其满足关系：，试判断的形状【答案】直角三角形【解析】原式可化简为，由非负数的性质知，因此作业11常见勾股数有：3、_、_；5、_、_；6、_、_；7、_、_；8、_、_；9、_、_【答案】4；5；12；13；8；10；24；25；15；17；12；15【解析】常见勾股数有：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、12、15作业12下列说法中，正确的个数是（）斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；两个锐角对应相等的两个直角三角形全等A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；故选C作业13如图，在RtABC中，线段，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当_时，ABC和PQA全等【答案】5或10【解析】当5或10时，ABC和PQA全等，根据HL定理推出即可作业14如图，于，于，、相交于点，且求证：平分【答案】见解析【解析】由易证，得到，再由可得，易得平分20