第05讲 解直角三角形(教师版)A4-精品文档资料整理.docx

初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第05讲 解直角三角形知识图谱错题回顾顾题回顾解直角三角形知识精讲一勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么在中，则，勾股定理与两点间距离公式在平面直角坐标系中，任意给定两点，过点A、B分别向坐标轴作垂线，则，由勾股定理可得，含特殊角三角形的三边关系含角的直角三角形三边比例关系：如图，在中，则含角的直角三角形三边比例关系：如图，在中，则含角的等腰三角形三边比例关系：如图，在中，则二锐角三角函数锐角三角函数的定义如图所示，、是的上的任意两点，于点，于点，则，从而我们可以得到，又可以得到：，在，当确定时，它的对边与斜边的比是一个定值；，在，当确定时，它的邻边与斜边的比是一个定值；，在，当确定时，它的对边与邻边的比仍然是一个定值我们把锐角的对边与斜边的比叫做角的正弦（），记作，即我们把锐角的邻边与斜边的比叫做角的余弦（），记作，即我们把锐角的对边与邻边的比叫做角的正切（），记作，即特殊角的三角函数锐角三角函数方法点拨1在解决勾股定理与坐标系的综合问题时，往往根据点的坐标来求出线段长度，必要的时候还要分类讨论或者是设未知数，建立方程来求解三点剖析一考点：勾股定理，锐角三角形函数，解直角三角形二重难点：勾股定理与逆定理，锐角三角函数三易错点：解直角三角形时，使用锐角三角函数进行计算一定要分清楚边之间的比值，防止弄混题模精讲题模一：勾股定理例1.1.18（3分）（2007茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A12a13B12a15C5a12D5a13【答案】A【解析】a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得： =13即a的取值范围是12a13例1.1.2如图，在ABC中，D为AC边的中点，且DBBC，BC=4，CD=5（1）求DB的长；（2）在ABC中，求BC边上高的长【答案】（1）3（2）6【解析】（1）DBBC，BC=4，CD=5，BD=3；（2）延长CB，过点A作AECB延长线于点E，DBBC，AEBC，AEDB，D为AC边的中点，BD=AE，AE=6，即BC边上高的长为6例1.1.3ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PDAB于点D，PEAC于点E，则PD+PE的长是（）A4.8B4.8或3.8C3.8D5【答案】A【解析】过A点作AFBC于F，连结AP，ABC中，AB=AC=5，BC=8，BF=4，ABF中，AF= =3， ×8×3=×5×PD+×5×PE，12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8故选：A例1.1.4图所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm【答案】（3+3）【解析】如图所示：BCD是等腰直角三角形，ACD是等边三角形，在RtBCD中，CD=6cm，BE=CD=3cm，在RtACE中，AE=3cm，从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm例1.1.5如图，RtABC，ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段BF的长为_-【答案】【解析】根据折叠的性质可知CD=AC=3，BC=BC=4，ACE=DCE，BCF=BCF，CEAB，BD=43=1，DCE+BCF=ACE+BCF，ACB=90°，ECF=45°，ECF是等腰直角三角形，EF=CE，EFC=45°，BFC=BFC=135°，BFD=90°，SABC=ACBC=ABCE，ACBC=ABCE，根据勾股定理求得AB=5，CE=，EF=，ED=AE=，DF=EFED=，BF=例1.1.6某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1：1.8改为1：2.4（如图）如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长【答案】3米【解析】在RtADC中，AD：DC=1：2.4，AC=13，由AD2+DC2=AC2，得AD2+（2.4AD）2=132AD=±5（负值不合题意，舍去）DC=12在RtABD中，AD：BD=1：1.8，BD=5×1.8=9BC=DC-BD=12-9=3答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米例1.1.7在军事上，常用时钟表示方位角（读数对应的时针方向，如正北为12点方向，北偏西30°为11点方向在一次反恐演习中，甲队员在A处掩护，乙队员从A处沿12点方向以40米/分的速度前进，2分钟后到达B处这时，甲队员发现在自己的1点方向的C处有恐怖分子，乙队员发现C处位于自己的2点方向（如图）假设距恐怖分子100米以外为安全位置（1）乙队员是否处于安全位置？为什么？（2）因情况不明，甲队员立即发出指令，要求乙队员沿原路后撤，务必于15秒内到达安全位置为此，乙队员至少应用多快的速度撤离？（结果精确到个位参考数据：3.6，3.74）【答案】（1）不安全（2）3米/秒【解析】（1）乙队员不安全易求AB=80米，DBC=60°，BAC=30°，BCA=BAC=30°，BC=AB=80米100米，乙队员不安全（2）过点C作CDAB，垂足为D，在AB边上取一点B1，使CB1=100米，在RtCBD中，CBD=60°，BC=80米，则BD=40米，CD=40米，在RtCDB1中，由勾股定理知B1D=20米，则BB1=（20-40）米，而2.13秒，依题意结果精确到个位，所以乙队员至少应以3米/秒的速度撤离题模二：锐角三角函数例1.2.1在ABC中，AD是BC边上的高，C=45°，sinB= ，AD=1则BC的长_【答案】+1【解析】在ABC中，AD是BC边上的高，ADBC，即ADB=ADC=90°，在RtACD中，C=45°，DAC=45°，DC=AD=1，在RtABD中，sinB= ，AD=1，sinB=，即AB=3，根据勾股定理得：BD=，则BC=BD+DC=+1，例1.2.2计算：|3|+tan30°（2016）0+（）1【答案】3【解析】原式=3+×21+2=3题模三：解直角三角形例1.3.1如图，在RtABC中，C=90°，A=30°，BC=1，点D在AC上，将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果ADED，那么线段DE的长为_【答案】-1 【解析】在RtABC中，C=90°，A=30°，BC=1，AC=，将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，ADB=EDB，DE=AD，ADED，CDE=ADE=90°，EDB=ADB=135°，CDB=EDB-CDE=135°-90°=45°，C=90°，CBD=CDB=45°，CD=BC=1，DE=AD=AC-CD=-1故答案为：-1例1.3.2如图，市政府准备修建一座高AB为6m的过街天桥，已知ACB为天桥的坡面AC与地面BC的夹角，且sinACB=，则坡面AC的长度为（）A6mB8mC10mD12m【答案】C【解析】由题意可得：sinACB=，AB=6m，=，解得：AC=10，随堂练习随练1.1如图，定点A（2，0），动点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为_【答案】（1，1）【解析】过A作AD直线y=x，过D作DEx轴于E，则DOA=OAD=EDO=EDA=45°，A（2，0），OA=2，OE=DE=1，D的坐标为（1，1），即动点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（1，1），随练1.2河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）A5米B10米C15米D10米【答案】A【解析】RtABC中，BC=5米，tanA=1：；AC=BC÷tanA=5米；故选A随练1.3如图，D为外一点，BD平分的一个外角，若，则BD的长为（ ）ABCDA1B1.5C2D3【答案】D【解析】本题考查勾股定理及等腰三角形的判定与性质如图，设CB与AD延长线交于E点，又BD平分ABE，BDAD，在RTABD中，由勾股定理得到随练1.4某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°已知点C到大厦的距离BC=7米，ABD=90°请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数参考数据：tan31°0.60，sin31°0.52，cos31°0.86）【答案】25米【解析】设AB=x米AEB=45°，ABE=90°，BE=AB=x米在RtABD中，tanD=，即tan31°=x=24即AB24米在RtABC中，AC=25米答：条幅的长度约为25米随练1.5如图，ABC是等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF（1）请说明：；（2）请说明：；（3）若，求DEF的面积（直接写结果）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DEF的面积是25【解析】（1）证明：连接AD，等腰直角三角形ABC，D为BC的中点，ADBC，AD平分BAC，DEDF，在BDE和ADF中，BDEADF，（2）证明：BDEADF，在ADE和CDF中，ADECDF，即（3）解：，根据勾股定理DEF的面积是随练1.6如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC=_【答案】5 【解析】在RtABC中，cosB=，sinB=，tanB=在RtABD中AD=4，AB=在RtABC中，tanB=，AC=×=5随练1.7计算：+（+1）0sin45°+|2|【答案】3【解析】原式=×3+1+2=3随练1.8如图，延长直角的斜边AB到点D，使，连接CD，若，则的值是（ ）ABCD【答案】D【解析】解：如图，做于E，那么BC/DE，则即又由，因此根据，直角三角形DCE中，直角三角形ADE中，故选D随练1.9如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tanEFC=，那么该矩形的周长为（ ）A72cm B36cm C20cm D16cm【答案】A【解析】在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，B=D=90°，ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，AFE=D=90°，AD=AF，EFC+AFB=180°90°=90°，BAF+AFB=90°，BAF=EFC，tanEFC=，设BF=3x、AB=4x，在RtABF中，AF=，AD=BC=5x，CF=BCBF=5x3x=2x，tanEFC=，CE=CFtanEFC=2x=x，DE=CDCE=4xx=x，在RtADE中，AD+DE=AE，即（5x）+（x）=（10），整理得，x=16，解得x=4，AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，矩形的周长=2（16+20）=72cm故选A随练1.10如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间【答案】（1）对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒【解析】（1）过点A作ADON于点D，NOM=30°，AO=80m，AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，ADBC，BD=CD=BC，OA=80m，在RtAOD中，AOB=30°，AD=OA=×80=40m，在RtABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD= =30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，重型运输卡车经过BC时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒自我总结 课后作业作业1已知：中，求BC的长BCA【答案】11【解析】本题考查的是解三角形，ABCD如图，过点A作BC的垂线交BC于点D，作业2如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰ABC中，DE垂直平分AB于D，则ACE的周长为（ ）A2+2B2+C4D3【答案】A【解析】过A作AFBC于F，AB=AC，A=120°，B=C=30°，AB=AC=2，DE垂直平分AB，BE=AE，AE+CE=BC=2，ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，作业3如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_cm【答案】（1）10 （2）2 【解析】将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=10（cm）；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是8n和6，根据勾股定理可知所用细线最短需要=2（cm）故答案为：10；2作业4如图，在等腰直角三角形ABC中，ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长【答案】5【解析】连接BD，等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，BDAC（三线合一），BD=CD=AD，ABD=45°，C=45°，ABD=C，又DE丄DF，FDC+BDF=EDB+BDF，FDC=EDB，在EDB与FDC中，EDBFDC（ASA），BE=FC=3，AB=7，则BC=7，BF=4，在RtEBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，EF=5答：EF的长为5作业5如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A处，则AE的长为【答案】10 3 【解析】AB=12，BC=5，AD=5，BD=13，根据折叠可得：AD=AD=5，AB=13-5=8，设AE=x，则AE=x，BE=12-x，在RtAEB中：（12-x）2=x2+82，解得：x=，故答案为：作业6如图，已知ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】过B点作BDAC，如图，由勾股定理得，AB=，AD=2cosA=作业7计算：（1）2015+sin30°+（2）（2+）【答案】【解析】原式=1+43=作业8如图，在RtABC中，C=90°，B=30°，AB=8，则BC的长是（）AB4C8D4【答案】D【解析】在RtABC中，C=90°，B=30°，AB=8，cosB=，即cos30°=，BC=8×=4.作业9如图，在ABC中，A=45°，B=30°，CDAB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A2B2C+1D+1【答案】D【解析】在RtACD中，A=45°，CD=1，则AD=CD=1，在RtCDB中，B=30°，CD=1，则BD=，故AB=AD+BD=+1故选D作业10如图所示，当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°若小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30°求小华的眼睛到地面的距离（结果精确到0.1米，参考数据：1.73）【答案】1.4米【解析】当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°AC=AA1，若小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30°，AB=A1B1=0.5米，DB1B=30°，tan30°=，解得：BD=1.4（米），答：小华的眼睛到地面的距离为1.4米作业11如图，小明家所住楼房的高度AB=10米，到对面较高楼房的距离BD=20米，当阳光刚好从两楼房的顶部射入时，测得光线与水平线的夹角为40°据此，小明便知楼房CD的高度请你写出计算过程（结果精确到0.1米参考数据：sin40°0.64，cos40°0.77，tan40°0.84）【答案】26.8米【解析】在ABP中，tan40°=，BP=11.90                    （4分）在RtCDP中，tan40°=，（2分）CD=31.90×0.8426.8（米）答：楼房CD的高度为26.8米 （2分）作业12如图，AC、BD是一斜坡AB上的两幢楼房，斜坡AB的坡度是从点A测得楼BD顶部D处的仰角是60°，从点B测得楼AC顶部C处的仰角是30°，楼BD的自身高度比楼AC高12m求楼AC与楼BD之间的水平距离（结果保留根号）【答案】12【解析】作BEAC于E，设BH=x米，则AE=x米，斜坡AB的坡度是BE=AH=2x米CE=BEtanCBE=2x=2x米，AC=3x米，DAH=60°，DH=AHtanDAH=2x=6x米，BD=5x米，根据题意，得：5x3x=12，解得：x=6，AH=6×2=12（米），答：两楼之间水平距离12米作业13如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A（1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？（2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由【答案】(1)A市不会受到此台风的影响（2）会受到影响，影响时间约为1.5小时【解析】（1）作ADOC，易知台风中心O与A市的最近距离为AD的长度，由题意得：DOA=45°，OA=60km，AD=DO=60÷=60km，6050，A市不会受到此台风的影响；（2）作BGOC于G，由题意得：BOC=30°，OB=80km，BG=OB=40km，4050，会受到影响，如图：BE=BF=50km，由题意知，台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，EG=30km，EF=2EG=60km，风速为40km/h，60÷40=1.5小时，影响时间约为1.5小时作业14（1）如图，ABC是等边三角形，点D是边BC上任意一点（不与B、C重合），点E在边AC上，ADE=60°，BAD与CDE的数量关系式是_；（2）如图，在ABC中，AB=AC，点D是边BC上一点（不与B、C重合），ADE=B，点E在边AC上若CE=BD，求证：ABDDCE；若DEC是直角三角形，且AB=5，BC=8，求线段BD的长度【答案】（1）BAD=CDE（2）ABDDCE；当DEC是直角三角形时，BD的长度为4或【解析】（1）解：BAD=CDE，理由是：ABC是等边三角形，B=60°，BAD+BDA=180°B=120°，ADE=60°，CDE+BDA=180°ADE=120°，BAD+BDA=CDE+BDA，BAD=CDE，故答案为：BAD=CDE；（2）如图1，证明：ADE=B，BAD+BDA=180°B，CDE+BDA=180°ADE，BAD+BDA=CDE+BDA，BAD=CDE，AB=AC，B=C，在ABD和DCE中ABDDCE（AAS）；B=C，ADE=B，ADE=C，如图2，当DEC=90°时，DEC=90°，AED=90°，C+EDC=90°，ADE+EDC=90°，ADBC，BD= BC=×8=4；如图3，EDC=90°，EDC=90°，ADE+ADB=90°，BAD=90°，cosB=，BD=×5=综合上述，当DEC是直角三角形时，BD的长度为4或28