高数同济7版教案第一章-函数与极限doc高数同济7版教案第一章-函数与极限 (1)-精品文档资料整理.doc

广西民族师范学院数计系高等数学课程教案 课程代码：_ _ 061041210_总学时周学时： 51/3 开课时间： 2018年9 月16 日第 3周至第18周 授课年级、专业、班级：_制药本152班 使用教材：_ 高等数学_同济大学第7版_教研室： _ _数学与应用数学教研室_授课教师：_ _一、课程教学计划表章 次内 容讲 授实 践一函数与极限13二导数与微分8三微分中值定理与导数应用6四不定积分8五定积分6六定积分的应用6七复习4八九总学时51二、教案正文第一章 函数与极限（一）教学目的：1理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4掌握基本初等函数的性质及其图形。5理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6掌握极限的性质及四则运算法则。7了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。（二）重点、难点1重点 函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2难点 函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。（三）教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节 映射与函数一、映射1. 映射概念定义4.设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则,使得对X中每个元素x, 按法则, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称为从X到Y的映射, 记作f : X®Y.其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作, 即,元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合X称为映射f的定义域, 记作, 即。X中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域,记为 , 或f(X), 即 =f(X)=f(x)|xÎX. 注意:1)映射的三要素: 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2)对每个xÎX,元素 x 的像 y 是唯一的; 但对每个yÎR元素y 的原像不一定唯一 . 例1设 f : R®R, 对每个xÎR, f(x)=x2.f 是一个映射, f 的定义域Df =R,值域 =y|y³0. 例2设X=(x, y)|x2+y2=1,Y=(x, 0)|x|£1,f : X®Y,对每个(x, y)ÎX,有唯一确定的(x, 0)ÎY与之对应.f 是一个映射, f 的定义域Df=X, 值域 =Y.在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间-1, 1上.2、满射、单射和双射设f是从集合X到集合Y的映射.（1）若 =Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射;（2）若对X中任意两个不同元素x1¹x2, 它们的像f(x1)¹f(x2), 则称f为X到Y的单射;（3）若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数.3. 逆映射与复合映射逆映射定义：设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yÎ , 有唯一的xÎX, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从到X的新映射g, 即g : ®X,对每个yÎ , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域为 , 值域为X . 按定义，只有单射才存在逆映射。例如, 映射其逆映射为复合映射定义：设有两个映射g : X®Y1, f : Y2®Z, 其中Y1ÌY2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xÎX映射成fg(x)ÎZ. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g,即 f o g: X®Z, (f o g)(x)=fg(x), xÎX . 说明：（1）映射g和f 构成复合映射的条件是： g的值域R必须包含在 f 的定义域内，即R Ì D f .（2）映射的复合是有顺序的,f o g有意义并不表示g o f 也有意义. 即使它们都有意义,f o g与g o f也未必相同.例3 设有映射 g : R®-1, 1, 对每个xÎR, g(x)=sin x, 映射，对每个则映射g和f构成复映射f o g: R®0, 1,对每个xÎR,有二、函数1. 函数的定义：设和是两个变量，是一个给定的数集，如果对于给定的每个数，变量按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作，数集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量的取值范围叫函数的值域2. 定义域的求法原则：（1）分母不为零（2）（3）（4）（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集3. 分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数如称为分段点4. 复合函数若，当的值域落在的定义域内时称是由中间变量u复合成的复合函数5. 反函数设函数的定义域为，值域为对于任意的，在上至少可以确定一个与对应，且满足如果把看作自变量，看作因变量，就可以得到一个新的函数：我们称这个新的函数为函数的反函数，而把函数称为直接函数说明：一个函数若有反函数，则有恒等式相应地有例如，直接函数的反函数为，并且有，由于习惯上表示自变量，表示因变量，于是我们约定也是直接函数的反函数6. 函数的性质（1）有界性有界定义：若有正数存在，使函数在区间上恒有，则称在区间上是有界函数；否则，在区间上是无界函数上界定义：如果存在常数（不一定局限于正数），使函数在区间上恒有f(x)M，则称在区间上有上界，并且任意一个的数都是在区间上的一个上界；下界定义：如果存在常数，使在区间上恒有，则称在区间上有下界，并且任意一个的数都是在区间上的一个下界显然，函数在区间上有界的充分必要条件是在区间上既有上界又有下界（2）单调性严格单调递增：设函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数严格单调递增：如果函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数例如，函数在区间内是严格单调减少的；在区间内是严格单调增加的而函数在区间内都是严格单调增加的（3）奇偶性若函数在关于原点对称的区间上满足（或）则称为偶函数（或奇函数）偶函数的图形是关于轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的例如，在定义区间上都是偶函数而、在定义区间上都是奇函数（4）周期性对于函数，如果存在一个非零常数,对一切的均有，则称函数为周期函数并把称为的周期应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期7. 初等函数基本初等函数图1-1 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数这些函数在中学的数学课程里已经学过（1）幂函数 它的定义域和值域依的取值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义当或时，定义域为常见的幂函数的图形如图1-1所示图1-2（2）指数函数 它的定义域为，值域为指数函数的图形如图1-2所示图1-3（3）对数函数 定义域为，值域为对数函数是指数函数的反函数其图形见图1-3在工程中，常以无理数e2.718 281 828作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数（4）三角函数三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4图1-4（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等它们的图形如图1-5所示图1-5 图1-66常量函数为常数 （为常数）定义域为，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示初等函数 通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数非初等函数经常遇到例如符号函数，取整函数等分段函数就是非初等函数在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的作业 P16 第1题的（1）、（3）、（5）、（7）、（9）小结与思考：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备1是否为初等函数？第二节 数列的极限一、 数列极限的定义极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的引例 我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正边形的面积记为这样，就得到一系列内接正多边形的面积：它们构成一列有次序的数当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也越精确但是无论取得如何大，只要取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积因此，设想无限增大（记为，读作趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）当时的极限在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明数列的概念 如果按照某一法则，有第一个数，第二个数，这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数有一个确定的数，那么，这列有次序的数就叫做数列数列中的每一个数叫做数列的项，第项叫做数列的一般项例如：都是数列的例子，它们的一般项依次为以后，数列也简记为数列数列极限定义一般地：如果数列与常数有下列关系：对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得对于时的一切，不等式都成立，则称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或 如果数列没有极限，就说数列是发散的如：例1 已知，证明数列的极限是0。证 （设e <1），只要或不等式必定成立。所以，取N=，则当n>N时就有即 例2 证明析 不能直接解来求N，需变形，放大，再求N。证 解得 取 ，故因此，二、收敛数列的性质性质1（极限的唯一性） 数列不能收敛于两个不同的极限性质2（收敛数列的有界性） 如果数列收敛，那么数列一定有界性质3 如果且，那么存在正整数，当时，有性质4（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是练习 P26 1 、2小结与思考：1 中国古代数学家刘徽在九章算术注中介绍割圆术计算圆周率“割之弥细，所失弥少割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这句话明确的表达了极限思想第三节 函数的极限一、函数极限的定义一般地， 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。1函数当时的极限满足的的范围称作以为中心的邻域，满足的范围称作以为中心，以为半径的去心邻域，记作现在考虑自变量的变化过程为如果在的过程中，对应的函数值无限接近于确定的数值，那么就说是函数当时的极限当然，这里我们首先假定函数在点的某个去心邻域内是有定义的函数极限的解析定义：设函数在点的某一去心邻域内有定义如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）上述时函数的极限概念中，是既从的左侧也从的右侧趋于的但有时只能或只需考虑仅从的左侧趋于（记作）的情形，或仅从的右侧趋于（记作）的情形在的情形，在的左侧，在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的左极限，记作或类似地，在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的右极限，记作或根据时函数的极限的定义，以及左极限和右极限的定义，容易证明：函数当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即因此，即使和都存在，但若不相等，则不存在而左右极限统称为单侧极限。注：若极限存在时（1）是唯一的确定的常数；（2）表示从的左右两侧同时趋于； （3）极限的存在与在有无定义或定义的值无关图1-7例1 函数当时的极限不存在证 当时的左极限，而右极限，因为左极限和右极限存在但不相等，所以不存在（图1-7）2函数当时的极限我们知道，当时越来越接近零如果函数当无限增大时，取值和常数要多接近就有多接近，此时称是当时的极限，记作函数极限的解析定义：设函数当大于某一正数时有定义如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）注：若（1）是唯一的确定的常数；（2）既表示趋于，也表示趋于如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作显然，存在的充分必要条件是二、 函数极限的性质定理1 函数极限唯一性。与数列极限的唯一性一致定理2 函数极限的局部有界性。与数列极限的有界性类同定理3（极限的局部保号性） 如果，而且（或），那么就存在着点的某一去心邻域，当在该邻域内时，就有（或）定理1 如果（），那么就存在着的某一去心邻域，当时，就有定理2 如果在的某一去心邻域内（或），而且，那么（或）练习P33 1、3小结：本节讲述了各种趋势下的极限的定义第四节 无穷大与无穷小前面我们研究了 数列的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限，这七种趋近方式下面我们用表示上述七种的某一种趋近方式，即一、无穷小定义1 当在给定的下，以零为极限，则称是下的无穷小量，即无穷小与函数极限的关系:定理1 函数具有极限A的充分必要条件是，其中是无穷小.一、无穷大定义2 当在给定的下，无限增大，则称是下的无穷大量，记作显然，时，都是无穷大量， 时，都是无穷小量注：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势无穷小与无穷大的关系：定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大例1 当时，是 （ ）A） 无穷小 B） 无穷大 C） 有界函数 D） 无界的但不是无穷大分析：取，则，此时取，则，此时答案：D作业 P37 2、4小结与思考：本节给出了无穷小量和无穷大量的概念和它们的相关性质，注意不要错误的利用这些性质求极限 分析：含有绝对值符号，必须去掉绝对值，要考虑从左、右极限入手解：=所以 原极限=1 第五节 极限运算法则本节讨论极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限在下面的讨论中，记号“”表示定理对及都是成立的定理1有限个无穷小的和也是无穷小定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1常数与无穷小的乘积是无穷小推论2有限个无穷小的乘积是无穷小定理3如果，那么存在，且（1）证因，由1.4定理1有，其中为无穷小于是由定理1知为无穷小，再由定理知定理可推广到有限个函数的情形例如，如果都存在，则有如果，那么存在，且（16）推论1如果存在，为常数，则推论2如果存在，为正整数，则定理4如果，且，则存在，且（17）以上定理和推论对于数列也是成立的定理5 如果，而都存在，那么例1 求解 事实上，设多项式，则例2 求解因所以 如果，其中都是多项式，如果，则但必须注意，如果，则关于商的运算法则不能应用，需要特别考虑例3 求解当时，分子分母的极限都是零，所以不能运尖用商的运算法则但时，所以例4 求解因为，不能商的运算法则但，故由定理4得例5 求解 例6 求解 例7 求解 因为，所以更一般地，当，和为非负整数时，有例8 求解 当时，分子分母的极限都不存在，不能应用商的运算法则但，而是时的无穷小，是有界函数，所以根据定理6，有前面已经看到，对于有理函数（有理整函数或有理分式函数），只要在点处有定义，那么时的极限必定存在且等于在点的函数值一般地，如果函数具有上述性质，即，就称函数在点连续因此有理函数在其定义域内的每一点处都是连续的我们指出：一切基本初等函数在其定义域内的每一点处都是连续的因此，如果为基本初等函数，其定义域为，而，则有例如，是基本初等函数，它在点处有定义，所以下面介绍一个半球复合函数求极限的定理定理6 设函数当时的极限存在且等于，即，而函数在点连续，那么复合函数当时的极限存在且（18）证明从略因为，所以公式（18）又可写成例9 求解 例10 求解 作业 P45 1、（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13），2，3小结与思考：本节讨论了极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限1. 求解 2. 求解 .第六节 极限存在准则 两个重要极限准则I 如果数列、及满足下列条件: (1),(2) ,那么数列的极限存在，且准则I¢ 如果函数、及满足下列条件: (1), (2),那么存在, 且注：在上面的定理中，记号“”下面没有标明自变量的变化过程。实际上，定理对及都是成立的。准则I及准则I¢称为夹逼准则（或迫敛性准则）。第一个重要极限证 如图,设圆心角,DB1OCAx因为 AOB的面积<圆扇形AOB的面积<AOD的面积，所以即 由偶函数性质，时也成立。又由准则I¢，即得 例1 求解 例2 求解 例3 求解 令,则,当时,有.于是由复合函数的极限运算法则得例4 求解 令t=1/x.当x+时，t0.例5 求解 令,则.当x0时，t0.例6 求解准则II 单调有界数列必有极限. 准则II的几何解释:以单调增加数列为例, 数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点, 而对有界数列只可能后者情况发生准则II¢ 设函数在点的某个左邻域内单调并且有界，则在的左极限必定存在。 注：如果，就称数列是单调增加的；如果，就称数列是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列第二个重要极限或其中e是个无理数, 它的值是 .变形形式：例7 求解 令.当时, .例8 求解 令，则.当时,. 作业 P52 1、（1）（3）（5）,2小结与思考：本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法1求；解：原极限=2设有个正数，令，求（“大数优先”准则）解：而，所以由夹逼准则：第七节 无穷小的比较我们已经知道，两个无穷小的和、差、积仍是无穷小。但两个无穷小的商却会出现不同的情形。例如，当时，都是无穷小，而。这种情况的产生，在于各个无穷小趋向于零的“快慢”不一样。在的过程中，比“快些”，反过来，比“慢些”，而与“快慢相仿”。对于无穷小之间的这种情况，我们引入无穷小的阶的概念。定义 设是自变量在同一变化过程中的无穷小，也是这一过程中的极限。如果，就说是比高阶的无穷小，记作；如果，就说是比低阶的无穷小；如果，就说与是同阶无穷小；如果，就说是关于的k阶无穷小；如果，就说与是等价无穷小，记作。显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形。根据定义，时，是比高阶的无穷小；是比低阶的无穷小；与是等价无穷小；与是同阶无穷小；是关于的二阶无穷小（因为）。P54 例1关于等价无穷小，有下面两个定理：定理1 与是等价无穷小的充分必要条件为证（略）P54 例2 小结时常用的等价无穷小:定理2若，且存在，则。证 。这个性质表明，求两个无穷小之比的极限时，把每一个（或其中的一个无穷小）换成它的等价无穷小，不改变比的极限值。如果用来代换的无穷小选择得当，可以使计算简化。 例3 求。解 因为当时，所以。例4 求。解 因为当时，所以。例5练习：P55 1、2、3、5小结：本节主要介绍了无穷小的比较方法，利用等价无穷小求极限。第八节 函数的连续性与间断点一、 函数的连续性自然界中有很多现象，如：气温的变化，河水的流动、植物的生长都是连续变化着的，这种在函数关系上的反映就是函数的连续性。函数的连续性用增量来描述。对，当自变量从变到，称叫自变量的增量，而叫函数的增量函数增量的几何解释：P56 图1-33定义 设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量也趋于零，那么就称函数在点连续它的另一等价定义是：设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即，那么就称函数在点连续下面给出左连续及右连续的概念如果存在且等于，即，就说函数在点左连续如果存在且等于，即，就说函数在点右连续在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线二、 函数的间断点设函数在点的某去心邻域内有定义在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：1在没有定义；2虽在有定义，但不存在；3虽在有定义，且存在，但；则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类： 在连续 在间断，极限为2 在间断，极限为2 在间断，左极限为2，右极限为1 在 间断在间断，极限不存在像这样在点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的称作第一类间断的可去间断，此时只要令，则在函数就变成连续的了；被称作第一类间断中的跳跃间断被称作第二类间断，其中也称作无穷间断，而称作震荡间断就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，但左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点P59 例1、3、4、5练习：P61 1、3小结：本节介绍了函数的连续性，间断点的分类第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的和、差、积及商的连续性由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，立即可以得出下面的定理。定理1若函数都在点连续，则函数，也在点连续。例1因为，而都在内连续，所以在它们的定义域内连续。二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数也在对应的区间上单调增加（或单调减少）且连续。例2由于在闭区间上单调增加且连续，所以它的反函数在闭区间上单调增加且连续。同理，在闭区间上单调减少且连续；在区间上单调增加且连续；在区间上单调减少且连续。即反三角函数在它们的定义域内连续。定理3（略）例3（略）定理4设函数在点连续，且，而函数在点连续，那么复合函数在点也是连续。例4讨论函数的连续性。解可看成复合而成。而在上连续，在上连续，所以在上连续。三、初等函数的连续性前面我们证明了三角函数与反三角函数在它们的定义域内是连续的。我们指出（不作证明）：指数函数在上单调且连续，其值域为，由反函数的连续性可得，对数函数在内单调且连续。幂函数的定义域与有关，但无论为何值，在开区间内总是有定义的。当时，因此，它可以看成由复合而成，由定理4，它在内连续。对于取各种不同值的情况分别加以讨论，则可以证明幂函数在它的定义域内是连续的。综合可得：基本初等函数在它们的定义域内是连续的。根据初等函数的定义，基本初等函数的连续性及定理1、定理4可得：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。利用初等函数的连续性求极限，往往比较方便。P64例5-例8 作业：P66 3.（1）、（2）、（3）、（4），4.（2）、（3）、（4）、（5），6小结：本节讲述了连续函数的和、差、积及商的连续性、反函数与复合函数的连续性和初等函数的连续性。第十节 闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值与最小值 最大值与最小值: 对于在区间I上有定义的函数f(x), 如果有x0ÎI, 使得对于任一xÎI都有f(x)£f(x0 ) (f(x)³f(x0 ), 则称f(x0 )是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）. 例如, 函数f(x)=1+sin x在区间0, 2p上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f(x)=sgnx 在区间(-¥, +¥)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +¥)内, sgn x的最大值和最小值都是1. 但函数f(x)=x在开区间(a, b)内既无最大值又无最小值. 定理1（有界性与最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值. 定理1说明, 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 那么存在常数M>0,使得对任一xÎa, b，满足；且至少有一点x1Îa, b, 使f(x1)是f(x)在a, b上的最大值, 又至少有一点x 2Îa, b, 使f(x 2)是f(x)在a, b上的最小值. 如图1-40. 注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有界，也不一定有最大值或最小值. 例: 在开区间 考察函数y=tanx. 又如, 图1-41所示的函数在闭区间0, 2上无最大值和最小值.二、零点定理与介值定理 零点: 如果x0 使f(x0 )=0, 则x0 称为函数f(x)的零点. 定理2（零点定理）设函数f(x)在闭区间a, b上连续, 且f(a)与f(b)异号, 那么在开区间(a, b)内至少有一点x 使f(x)=0.(图1-42) 定理3（介值定理）设函数f(x)在闭区间a, b上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,那么, 对于A与B之间的任意一个数C, 在开区间(a, b)内至少有一点x , 使得f(x )=C .定理3 的几何意义: 连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点. (图1-43) 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值. 例1.证明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根. 证: 函数f(x)= x 3-4x 2+1在闭区间0, 1上连续, 又f(0)=1>0, f(1)=-2<0. 根据零点定理, 在(0, 1)内至少有一点x , 使得f(x)=0, 即 x 3-4x 2+1=0 (0<x<1). 这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根是x . 小结：本节讲述了闭区间上连续函数的性质及其应用。