第01讲_圆的概念及性质(学生版)A4-精品文档资料整理.docx

初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲_圆的概念及性质知识图谱错题回顾顾题回顾圆的相关概念知识精讲知识精讲一圆的相关概念1.圆的概念（1）描述性定义:在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径；（2）集合性定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径；（3）圆的表示方法:用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，读作“圆”；（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆2.弦与弧的相关概念：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍；（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以为端点的圆弧记作，读作弧；（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形3.圆心角与圆周角（1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角；将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧；圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；（2）圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角三点剖析一考点：圆的相关概念 二重难点：1.圆的两种定义的理解；2.弦心距、优弧、圆周角等陌生概念的理解与记忆 三易错点：1.圆是一条封闭曲线并不包含所围成图形内部部分；2.弓形只是由弧和弦所构成不包含半径；3.同圆、等圆、同心圆的联系与区别题模精讲题模一：圆的相关概念例1.1.1判断：（1）直径是弦，弦是直径 （ ）（2）半圆是圆弧 （ ）（3）长度相等的弧是等弧 （ ）（4）能够重合的弧是等弧 （ ）（5）圆弧分为优弧和劣弧 （ ）（6）优弧一定大于劣弧 （ ）（7）半径相等的圆是等圆 （ ）例1.1.2如图，ABC中，A=50°，O是BC的中点，以O为圆心，OB长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，测量DOE的度数是（ ）A50°B60°C70°D80°例1.1.3如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（-2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A（-1，2）B（1，-1）C（-1，1）D（2，1）例1.1.4设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了米，并使得铁丝均匀地离开地面则下面说法中比较合理的是（ ）A你只能塞过一张纸B你只能塞过一只书包C你能钻过铁丝D你能直起身体走过铁丝随堂练习随练1.1下列说法中，结论错误的是（ ）A直径相等的两个圆是等圆B长度相等的两条弧是等弧C圆中最长的弦是直径D一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧随练1.2过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（ ）A1条B2条C3条D无数条随练1.3如图，的直径与弦的延长线交于点，若，则 随练1.4点O在直线AB上，点A1、A2、A3，在射线OA上，点B1、B2、B3，在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为一个单位长度，一个动点M从O点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以O为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度，按此规律，则动点M到达A101点处所需时间为_秒垂径定理知识精讲一 垂径定理1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2.推论1： （1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量 补充说明：做题过程中，定理与推论（1）可以直接使用，而推论（2）、（3）需证明后再使用三点剖析一考点：垂径定理 二重难点：利用垂径定理求圆的半径、弦长和弦心距 三易错点：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题题模精讲题模一：垂径定理例2.1.1如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A2cmBcmC2cmD2cm例2.1.2已知下列命题：若a0，则|a|=-a；若ma2na2，则mn；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；垂直于弦的直径平分弦其中原命题与逆命题均为真命题的个数是_A1个B2个C3个D4个例2.1.3在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A40cmB60cmC80cmD100cm例2.1.4如图，已知在扇形OAB中，半径，正方形FCDE的四个顶点分别在和半径OA、OB上，求CD的长随堂练习随练2.1如图，O的弦AB垂直半径OC于点D，CBA=30°，OC=3cm，则弦AB的长为（）A9cmB3cmCcmDcm随练2.2如图，内接于，为线段的中点，延长交于点，连接，则下列五个结论，正确结论的是随练2.3如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示则这个小圆孔的宽口AB的长度是（ ）A5mmB6mmC8mmD10mm随练2.4如图，在梯形中，以上一点为圆心的圆经过、两点，且，则圆心到弦的距离是多少？弧，弦，圆心角之间的关系知一推二知识精讲一圆心角、弧、弦之间的关系1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等若，则，2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等二应用1.在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；2.有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距；3.在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角；4.有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（1）连过弧中点的半径；（2）连等弧对的弦；（3）作等弧所对的圆心角三点剖析一考点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系 二重难点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系 三易错点：1.两条弧存在倍数关系，但所对应的弦并不是存在相同的倍数关系；2.判断题中，注意题中前提条件，必须是在等圆或同圆中题模精讲题模一：弧，弦，圆心角之间的关系知一推二例3.1.1在O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（ ）A30°B45°C60°D90°例3.1.2下列说法中正确的是（ ）圆心角是顶点在圆心的角；两个圆心角相等，它们所对的弦相等；两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变ABCD例3.1.3如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，BCD=25°，则下列结论错误的是（）AAE=BEBOE=DECAOD=50°DD是的中点例3.1.4如图，以的边为直径的分别交于点，连结，若，则 例3.1.5如图，点A、B、C、D都在O上，OCAB，ADC=30°（1）求BOC的度数；（2）求证：四边形AOBC是菱形随堂练习随练3.1下列三个命题：圆既是轴对称图形又是中心对称图形；垂直于弦的直径平分弦；相等的圆心角所对的弧相等其中真命题的是（ ）ABCD随练3.2如图，A，B，C，D均为O上的点，且，则下列说法不正确的是（ ）ABCD随练3.3如图，点A、B、C、D在O上，OBAC，若BOC=56°，则ADB=_度随练3.4如图，O是ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE（1）求ACB的度数；（2）过点O作OFAC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长圆周角定理知识精讲一圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半二圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形注意：推论3不可以直接利用，需要证明三点剖析一考点：圆周角定理及其推论 二重难点：1.圆周角定理的推论及与圆周角相关的复杂计算；2.通过找同弧或等弧来找到相等的圆周角或圆心角 三易错点：1.圆周角与圆心角的定义；2.题目中没有明确某一条弦所对弧为劣弧或优弧时，需要进行分类讨论题模精讲题模一：圆周角定理例4.1.1如图，C是O上一点，若圆周角ACB=40°，则圆心角AOB的度数是（）A50°B60°C80°D90°例4.1.2如图，在中，则的度数为 例4.1.3如图，O的半径是2，AB是O的弦，点P是弦AB上的动点，且1OP2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A60°B120°C60°或120°D30°或150°例4.1.4如图，已知ABC中，以AB为直径的半O交AC于D，交BC于E，求DOE的度数题模二：圆周角定理的推论例4.2.1如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，ABC=50°，则DAB等于（ ）A55°B60°C65°D70°例4.2.2如图，AB是O的直径，C、D是圆上的两点（不与A、B重合），则_例4.2.3如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，PB与CD交于点F，PBC=C（1）求证：CBPD；（2）若PBC=22.5°，O的半径R=2，求劣弧AC的长度随堂练习随练4.1如图，点A、B、C在O上，CO的延长线交AB于点D，BD=BO，A=50°，则B的度数为（）A15°B20°C25°D30°随练4.2如图，在O中，ACOB，BAO=25°，则BOC的度数为（）A25°B50°C60°D80°随练4.3已知：如图，是的外接圆，若，则的直径长为 随练4.4已知：中，以为直径的交于点 （1）如图，当为锐角时，与交于点，连接，请问与有怎样的数量关系？并证明OADCBE（2）如图，若不动，绕点逆时针旋转，当为钝角时，的延长线与交于点，连接，（1）中结论是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由BADCEO随练4.5如图所示，ABC的三个顶点的坐标分别为、，则ABC外接圆的圆心坐标是_；ABC外接圆的半径为_OyxCBA自我总结 课后作业作业1有一圆形纸片，要用折叠的方法找出其圆心，至少要折叠（ ）A1次B2次C3次D4次作业2如图，在RtABC中，C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（）A5B5C5D6作业3下列说法正确的有（ ）在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；度数相等的弧叫做等弧；优弧大于劣弧；直角三角形的外心是其斜边中点ABCD作业4如图，O的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一个动点，则的最小值为_作业5如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA=时，PAD为等腰三角形作业6如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OEAC交半圆O于点E，过点E作EFAB于F若，则OF的长为（ ）ABC1D2作业7如图，O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围为_cmOP_cm作业8在O中，AB是O的直径，AB=8cm， ，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是_作业9如图，已知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S，ABCD，ADC=60°，设AB=3x（1）用x表示AD和CD；（2）用x表示S，并求S的最大值；（3）如图，当S取最大值时，等腰梯形ABCD的四个顶点都在O上，点E和点F分别是AB和CD的中点，求O的半径R的值作业10如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm作业11在O中，点C是劣弧AB的中点，则线段AB和线段AC的大小为（ ）ABCD无法确定作业12如图，在O中，AOB的度数为m，C是弧ACB上一点，D、E是弧AB上不同的两点（不与A、B两点重合），则的度数为（ ）AmBCD作业13将一张半径为4的圆形纸片（如图）连续对折两次后展开得折痕AB、CD，且，垂足为M（如图），之后将纸片如图翻折，使点B与点M重合，折痕EF与AB相交于点N，连接AE、AF（如图），则AEF的面积是_作业14如图，AB是O的直径，过点B作O的切线BM，弦CDBM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E（1）求证：ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE=2，求OE的长作业15如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD若DOB=140°，则ACD=（ ）A20°B30°C40°D70°作业16如图，是的外接圆，则等于（ ）ABCOABCD作业17如图，平分，且，长为 OBCDAE作业18如图，ABC内接于O，点E是O外一点，EOBC于点D求证：作业19已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且AEF为等边三角形（1）求证：DFB是等腰三角形；（2）若DA=AF，求证：CFAB18