第03讲_含参的一元二次方程(教师版)A4-精品文档资料整理.docx

初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第03讲_含参的一元二次方程知识图谱错题回顾顾题回顾含参的一元二次方程知识精讲一含参数的一元二次方程含参数的一元二次方程是指未知数系数或者常数项含有参数的一元二次方程，解此类方程时要根据参数值和判别式的取值进行分类讨论，另外，利用方程解的情况来求解参数的取值范围或者是由参数的取值范围判断方程根的情况 二一元二次方程的整数根 对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质方程有整数根的条件：如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：1. 为完全平方数；2. 或，其中为整数以上两个条件必须同时满足，缺一不可另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、均为有理数)三点剖析一考点：含参的一元二次方程 二重难点：含参的一元二次方程判别式与解的关系，含参一元二次方程的特殊解问题 三易错点：1含参一元二次方程如果参数没有明确取值范围必须要分类讨论；2含参一元二次方程的特殊解问题要注意参数是整数，正整数，负整数，还是有理数等限制条件题模精讲题模一：判别式与解的关系例1.1.1解关于的方程：【答案】，【解析】分类讨论，当时，原方程无解；当时，原方程是一元二次方程，解得，例1.1.2已知，为正数，若二次方程有两个实数根，那么方程的根的情况是（ ）A有两个不相等的正实数根B有两个异号的实数根C有两个不相等的负实数根D不一定有实数根【答案】C【解析】的，二次方程有两个实数根，方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正故有两个负根故选C例1.1.3设方程只有个不相等的实数根，求的取值和相应的个根【答案】，相应求得方程根为，；，【解析】方程等价于以下两个方程：， ，两方程无相同的根，由于原方程只有3个不相等的实根，故必有且只有方程或有重根，由于，故只可能是，即，相应求得方程根为，；，题模二：特殊解问题例1.2.1已知关于x的方程（m0）（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m的值【答案】（1）见解析（2）或【解析】（1）证明： m0， 是关于x的一元二次方程，1分=90. 方程总有两个不相等的实数根2分（2）解：由求根公式，得，.4分方程的两个实数根都是整数，且m是整数，或5分例1.2.2求出所有正整数，使方程至少有一个整数根【答案】，【解析】由原方程知，不妨将方程整理成关于的一元一次方程，得（因为为正整数），解得，因此只能取，分别代入的表达式得所求的正整数的值是，例1.2.3关于的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值【答案】【解析】由可知，故，(由题意可知，且)，于是有，两式相减可得，故，从而可知，或，或，或又且，故，或，或，故注 得出，后，直接有，由于上述两个等式是同时成立的，故这样的只能取当是分数时，可设，为整数，且，上述两等式同时成立，两式的差值为，故，此时，故随堂练习随练1.1解关于的方程：【答案】当时，方程为一元一次方程的解为或；当时，方程为一元二次方程，【解析】化为一般式：当时，方程为一元一次方程的解为或；当时，方程为一元二次方程，随练1.2已知，判断关于的方程的根的情况，并给出必要的说明？【答案】见解析【解析】（1）当时，从而， ，即，原方程必有两个不等实根；（2）当时，由，得；（3）当时，由，得，综合、，得关于的方程总有两个不等的实根随练1.3当在什么范围内取值，方程有且只有两相异实根？【答案】或【解析】由题意知当时，得，符合题意当时，原方程化为，在第一个方程中，因为它的判别式，所以第一个方程有两个不同的实根因此由题意知，第二条方程要么无实数解，要么它的解与第一条方程的解相同显然若两条方程有相同的解，则只有，而，所以，第二条方程无实数解，知，即所以的取值范围是或随练1.4已知关于x的方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件的整数的值【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明： ，1分= =.方程总有两个实根2分（2）解： 3分解得4分方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，.5分随练1.5当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的根都是整数【答案】【解析】由于关于x的一元二次方程有整数根，所以，且，解得又由于方程有整数根，所以，解得因此，或1代入验证即可随练1.6求使关于x的方程的根均为整数的所有整数a【答案】【解析】当时，方程变为，得，符合要求；当时，设方程的两个整数根为，则由韦达定理，得因为都是整数，所以均为整数即也应为整数，由整除性可知自我总结 课后作业作业1解关于的方程【答案】当时，；当时，；当时，【解析】分类讨论，当时，若，则原方程化为，解得；若，则原方程化为，解得；当时，由，故，作业2当为何值时，关于的方程有实根【答案】【解析】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分和两种情形讨论当即时，方程为一元一次方程，总有实根；当即时，方程有根的条件是：，解得当且时，方程有实根综上所述：当时，方程有实根作业3已知：、为整数，关于的二次方程有两个不相等的实数解，有两个相等的实数根，没有实数根，求、的值？【答案】，【解析】方程有两个相等的实根，即又方程有两个不等的实根，方程无实根，把代入上两式得为整数，从而作业4已知关于x的一元二次方程mx2（m+2）x+2=0（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根【答案】（1）证明见解析；(2)1【解析】（1）证明：=（m+2）28m=m24m+4=（m2）2，不论m为何值时，（m2）20，0，方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，方程有两个不相等的正整数根，m=1或2，m=2不合题意，m=1作业5已知关于的方程（其中是非负整数）至少有一个整数根，求的值【答案】【解析】“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根因为，所以所以只要是或的约数即可，即作业6已知关于的方程的两根都是整数，求的值【答案】或【解析】设两个根为，由韦达定理得从上面两式中消去得或即或所以或8