第01讲 圆综合（一）(教师版)A4-精品文档资料整理.docx

初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲 圆综合（一）知识图谱错题回顾顾题回顾圆综合（一）知识精讲一 圆的综合计算与证明1垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论：（1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧2切线的性质性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点：推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心注意事项：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心过圆心，过切点垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心，垂直于切线过切点过圆心，则过切点过切点，垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心3切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线三点剖析一 考点：圆与函数，圆的新定义二重难点：圆与函数，圆的新定义三易错点：1对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题圆与新定义题模精讲题模一：圆的综合计算例1.1.1如图，线段AB是O的直径，弦CDAB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4（1）求O的半径r的长度；（2）求sinCMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交O于点N，连接BN交CE于点F，求HEHF的值【答案】见解析【解析】解：（1）如图1中，连接OCABCD，CHO=90°，在RtCOH中，OC=r，OH=r2，CH=4，r2=42+（r2）2，r=5（2）如图1中，连接ODABCD，AB是直径，=，AOC=COD，CMD=COD，CMD=COA，sinCMD=sinCOA=（3）如图2中，连接AMAB是直径，AMB=90°，MAB+ABM=90°，E+ABM=90°，E=MAB，MAB=MNB=E，EHM=NHFMEHMNHF，HEHF=HMHN，HMHN=AHHB，HEHF=AHHB=2（102）=16例1.1.2如图，AB是O的直径， =，AB=2，连接AC（1）求证：CAB=45°；（2）若直线l为O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论；是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）如图1，连接BC，AB是O的直径，ACB=90°，AC=BC，CAB=CBA=45°；（2）当ABD为锐角时，如图2所示，作BFl于点F，由（1）知ACB是等腰直角三角形，OA=OB=OC，BOC为等腰直角三角形，l是O的切线，OCl，又BFl，四边形OBFC是矩形，AB=2OC=2BF，BD=AB，BD=2BF，BDF=30°，DBA=30°，BDA=BAD=75°，CBE=CBADBA=45°30°=15°，DEA=CEB=90°CBE=75°，ADE=AED，AD=AE；当ABD为钝角时，如图3所示，同理可得BF=BD，即可知BDC=30°，OCAB、OC直线l，AB直线l，ABD=150°，ABE=30°，BEC=90°（ABE+ABC）=90°（30°+45°）=15°，AB=DB，ADB=ABE=15°，BEC=ADE，AE=AD；（3）如图2，当D在C左侧时，由（2）知CDAB，ACD=BAE，DAC=EBA=30°，CADBAE，AE=CD，作EIAB于点I，CAB=45°、ABD=30°，BE=2EI=2×AE=AE=×CD=2CD，=2；如图3，当点D在点C右侧时，过点E作EIAB于I，由（2）知ADC=BEA=15°，ABCD，EAB=ACD，ACDBAE，CD，BA=BD，BAD=BDA=15°，IBE=30°，BE=2EI=2×AE=AE=×CD=2CD，=2例1.1.3如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EGAC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE（1）求证：ECFGCE；（2）求证：EG是O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG=，AH=3，求EM的值【答案】见解析【解析】（1）证明：如图1中，ACEG，G=ACG，ABCD，CEF=ACD，G=CEF，ECF=ECG，ECFGCE（2）证明：如图2中，连接OE，GF=GE，GFE=GEF=AFH，OA=OE，OAE=OEA，AFH+FAH=90°，GEF+AEO=90°，GEO=90°，GEOE，EG是O的切线（3）解：如图3中，连接OC设O的半径为r在RtAHC中，tanACH=tanG=，AH=3，HC=4，在RtHOC中，OC=r，OH=r3，HC=4，（r3）2+（4）2=r2，r=，GMAC，CAH=M，OEM=AHC，AHCMEO，EM=例1.1.4如图，已知ABC内接于O，AB是直径，点D在O上，ODBC，过点D作DEAB，垂足为E，连接CD交OE边于点F（1）求证：DOEABC；（2）求证：ODF=BDE；（3）连接OC，设DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若，求sinA的值【答案】见解析【解析】（1）证明：AB是O的直径，ACB=90°，DEAB，DEO=90°，DEO=ACB，ODBC，DOE=ABC，DOEABC；（2）证明：DOEABC，ODE=A，A和BDC是所对的圆周角，A=BDC，ODE=BDC，ODF=BDE；（3）解：DOEABC，即SABC=4SDOE=4S1，OA=OB，即SBOC=2S1，即，例1.1.5如图，ABC是一块直角三角板，且C=90°，A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部（1）如图，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长【答案】见解析【解析】解：（1）如图所示，射线OC即为所求；（2）如图，圆心O的运动路径长为，过点O1作O1DBC、O1FAC、O1GAB，垂足分别为点D、F、G，过点O作OEBC，垂足为点E，连接O2B，过点O2作O2HAB，O2IAC，垂足分别为点H、I，在RtABC中，ACB=90°、A=30°，=，AB=2BC=18，ABC=60°，CABC=9+18=27+，O1DBC、O1GAB，D、G为切点，BD=BG，在RtO1BD和RtO1BG中，O1BDO1BG（HL），O1BG=O1BD=30°，在RtO1BD中，O1DB=90°，O1BD=30°，BD=，OO1=922=72，O1D=OE=2，O1DBC，OEBC，O1DOE，且O1D=OE，四边形OEDO1为平行四边形，OED=90°，四边形OEDO1为矩形，同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，又OE=OF，四边形OECF为正方形，O1GH=CDO1=90°，ABC=60°，GO1D=120°，又FO1D=O2O1G=90°，OO1O2=360°90°90°=60°=ABC，同理，O1OO2=90°，OO1O2CBA，即，=15+，即圆心O运动的路径长为15+题模二：圆的证明例1.2.1如图，在四边形ABCD中，AD=BC，B=D，AD不平行于BC，过点C作CEAD交ABC的外接圆O于点E，连接AE（1）求证：四边形AECD为平行四边形；（2）连接CO，求证：CO平分BCE【答案】见解析【解析】证明：（1）由圆周角定理得，B=E，又B=D，E=D，CEAD，D+ECD=180°，E+ECD=180°，AECD，四边形AECD为平行四边形；（2）作OMBC于M，ONCE于N，四边形AECD为平行四边形，AD=CE，又AD=BC，CE=CB，OM=ON，又OMBC，ONCE，CO平分BCE例1.2.2如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，F与y轴相交于另一点G（1）求证：BC是F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，1），D（2，0），求F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论【答案】见解析【解析】（1）证明：连接EF，AE平分BAC，FAE=CAE，FA=FE，FAE=FEA，FEA=EAC，FEAC，FEB=C=90°，即BC是F的切线；（2）解：连接FD，设F的半径为r，则r2=（r1）2+22，解得，r=，即F的半径为；（3）解：AG=AD+2CD证明：作FRAD于R，则FRC=90°，又FEC=C=90°，四边形RCEF是矩形，EF=RC=RD+CD，FRAD，AR=RD，EF=RD+CD=AD+CD，AG=2FE=AD+2CD例1.2.3已知：AB为O的直径，AB=2，弦DE=1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在O上运动且保持长度不变，O的切线DF交BC于点F（1）如图1，若DEAB，求证：CF=EF；（2）如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由【答案】见解析【解析】证明：如图1，连接OD、OE，AB=2，OA=OD=OE=OB=1，DE=1，OD=OE=DE，ODE是等边三角形，ODE=OED=60°，DEAB，AOD=ODE=60°，EOB=OED=60°，AOD和OE是等边三角形，OAD=OBE=60°，CDE=OAD=60°，CED=OBE=60°，CDE是等边三角形，DF是O的切线，ODDF，EDF=90°60°=30°，DFE=90°，DFCE，CF=EF；（2）相等；如图2，点E运动至与点B重合时，BC是O的切线，O的切线DF交BC于点F，BF=DF，BDF=DBF，AB是直径，ADB=BDC=90°，FDC=C，DF=CF，BF=CF随堂练习随练1.1如图，AB、CD是O的直径，BE是O的弦，且BECD，过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC（1）求证：BC平分ABP；（2）求证：PC2=PBPE；（3）若BEBP=PC=4，求O的半径【答案】见解析【解析】解：（1）BECD，1=3，又OB=OC，2=3，1=2，即BC平分ABP；（2）如图，连接EC、AC，PC是O的切线，PCD=90°，又BEDC，P=90°，1+4=90°，AB为O直径，A+2=90°，又A=5，5+2=90°，1=2，5=4，P=P，PBCPCE，即PC2=PBPE；（3）BEBP=PC=4，BE=4+BP，PC2=PBPE=PB（PB+BE），42=PB（PB+4+PB），即PB2+2PB8=0，解得：PB=2，则BE=4+PB=6，PE=PB+BE=8，作EFCD于点F，P=PCF=90°，四边形PCFE为矩形，PC=FE=4，FC=PE=8，EFD=P=90°，BECD，DE=BC，在RtDEF和RtBCP中，RtDEFRtBCP（HL），DF=BP=2，则CD=DF+CF=10，O的半径为5随练1.2如图示AB为O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D 求证：CEBF； 若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OCAB）【答案】见解析【解析】证明：连接AC，BE，作直线OC，如图所示：BE=EF，F=EBF；AEB=EBF+F，F=AEB，C是的中点，AEC=BEC，AEB=AEC+BEC，AEC=AEB，AEC=F，CEBF；解：DAE=DCB，AED=CEB，ADECBE，即，CBD=CEB，BCD=ECB，CBECDB，即，CB=2，AD=6，AB=8，点C为劣弧AB的中点，OCAB，AG=BG=AB=4，CG=2，BCD的面积=BDCG=×2×2=2随练1.3将一副三角板RtABD与RtACB（其中ABD=90°，D=60°，ACB=90°，ABC=45°）如图摆放，RtABD中D所对直角边与RtACB斜边恰好重合以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点 E，分别连接EB，EC（1）求证：EC平分AEB；（2）求的值【答案】见解析【解析】（1）证明：RtACB中，ACB=90°，ABC=45°，BAC=ABC=45°，AEC=ABC，BEC=BAC，AEC=BEC，即EC平分AEB；（2）解：如图，设AB与CE交于点MEC平分AEB，在RtABD中，ABD=90°，D=60°，BAD=30°，以AB为直径的圆经过点E，AEB=90°，tanBAE=，AE=BE，=作AFCE于F，BGCE于G在AFM与BGM中，AFM=BGM=90°，AMF=BMG，AFMBGM，随练1.4如图，AB是O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CEOB，交O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AFPC于点F，连接CB（1）求证：CB是ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当时，求劣弧的长度（结果保留）【答案】见解析【解析】（1）证明：OC=OB，OCB=OBC，PF是O的切线，CEAB，OCP=CEB=90°，PCB+OCB=90°，BCE+OBC=90°，BCE=BCP，BC平分PCE（2）证明：连接ACAB是直径，ACB=90°，BCP+ACF=90°，ACE+BCE=90°，BCP=BCE，ACF=ACE，F=AEC=90°，AC=AC，ACFACE，CF=CE（3）解：作BMPF于M则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，BMCPMB，BM2=CMPM=3a2，BM=a，tanBCM=，BCM=30°，OCB=OBC=BOC=60°，的长随练1.5如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（s）（t0），以点M为圆心，MB长为半径的M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；（2）当t为何值时，线段EN与M相切？（3）若M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围【答案】见解析【解析】解：（1）连接MF四边形ABCD是菱形，AB=AD，ACBD，OA=OC=6，OB=OD=8，在RtAOB中，AB=10，MB=MF，AB=AD，ABD=ADB=MFB，MFAD，BF=（0t8）（2）当线段EN与M相切时，易知BENBOA，t=t=s时，线段EN与M相切（3）由题意可知：当0t时，M与线段EN只有一个公共点当F与N重合时，则有t+2t=16，解得t=，关系图象可知，t8时，M与线段EN只有一个公共点综上所述，当0t或t8时，M与线段EN只有一个公共点随练1.6如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O（1）若AP=1，则AE=；（2）求证：点O一定在APE的外接圆上；当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值【答案】见解析【解析】（1）解：四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，A=B=EPG=90°，PFEG，AB=BC=4，OEP=45°，AEP+APE=90°，BPC+APE=90°，AEP=PBC，APEBCP，即，解得：AE=；故答案为：；（2）证明：PFEG，EOF=90°，EOF+A=180°，A、P、O、E四点共圆，点O一定在APE的外接圆上；解：连接OA、AC，如图1所示：四边形ABCD是正方形，B=90°，BAC=45°，AC=，A、P、O、E四点共圆，OAP=OEP=45°，点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=AC=2，即点O经过的路径长为2；（3）解：设APE的外接圆的圆心为M，作MNAB于N，如图2所示：则MNAE，ME=MP，AN=PN，MN=AE，设AP=x，则BP=4x，由（1）得：APEBCP，即，解得：AE=xx2=（x2）2+1，x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=×1=，即APE的圆心到AB边的距离的最大值为随练1.7如图，动点M在以O为圆心，AB为直径的半圆弧上运动（点M不与点A、B 及 的中点F 重合），连接OM过点M 作MEAB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，过点M作O的切线交射线DC于点N，连接BM、BN（1）探究：如图一，当动点M在上运动时；判断OEMMDN是否成立？请说明理由； 设=k，k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；设MBN=，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如图二，当动点M 在 上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论（均不必说明理由）【答案】见解析【解析】解：（1）OEMMDN成立，理由如下：四边形BCDE是正方形，BE=BC，EBC=CDE=BCD=BED=90°，EOM+EMO=90°，MN是O的切线，MNOM，OMN=90°，DMN+EMO=90°，EOM=DMN，OEMMDN；k值为定值1；理由如下：作BGMN于G，如图一所示：则BGOM，BGN=BGM=90°，OMB=GBM，OB=OM，OBM=OMB，OBM=GBM，在BME和BMG中，BMEBMG（AAS），EM=GM，BE=BG，BG=BC，在RtBGN和RtBCN中，RtBGNRtBCN（HL），GN=CN，EM+NC=GM+NC=MN，k=1；设MBN=，为定值45°；理由如下：BMEBMG，RtBGNRtBCN，EBM=GBM，GBN=CBN，MBN=EBC=45°，即=45°；（2）（1）中的三个结论保持不变；理由同（1），作BGMN于G，如图二所示随练1.8如图，已知O的半径长为1，AB、AC是O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC（1）求证：OADABD；（2）当OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；（3）记AOB、AOD、COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长【答案】见解析【解析】（1）证明：如图1中，在AOB和AOC中，AOBAOC，C=B，OA=OC，OAC=C=B，ADO=ADB，OADABD（2）如图2中，当ODC=90°时，BDAC，OA=OC，AD=DC，BA=BC=AC，ABC是等边三角形，在RtOAD中，OA=1，OAD=30°，OD=OA=，AD=，BC=AC=2AD=COD=90°，BOC=90°，BC=， OCD显然90°，不需要讨论综上所述，BC=或（3）如图3中，作OHAC于H，设OD=xDAODBA，AD=，AB=，S2是S1和S3的比例中项，S22=S1S3，S2=ADOH，S1=SOAC=ACOH，S3=CDOH，（ADOH）2=ACOHCDOH，AD2=ACCD，AC=ABCD=ACAD=，（）2=（），整理得x2+x1=0，解得x=或，经检验：x=是分式方程的根，且符合题意，OD=自我总结 课后作业作业1已知ABC的内切圆O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若，如图1，（1）判断ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长 【答案】见解析【解析】解：（1）ABC为等腰三角形，ABC的内切圆O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，CFE=CEF=BDO=BEO=90°，四边形内角和为360°，EOF+C=180°，DOE+B=180°，EOF=DOE，B=C，AB=AC，ABC为等腰三角形；（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，等腰三角形ABC中，AEBC，E是BC中点，BE=CE，在RtAOF和RtAOD中，RtAOFRtAOD，AF=AD，同理RtCOFRtCOE，CF=CE=2，RtBODRtBOE，BD=BE，AD=AF，BD=CF，DFBC，AE=4，AM=4×=作业2如图1，O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），ABC=30°，过点P作PDOP交O于点D（1）如图2，当PDAB时，求PD的长；（2）如图3，当时，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE求证：DE是O的切线；求PC的长【答案】见解析【解析】解：（1）如图2，连接OD，OPPD，PDAB，POB=90°，O的直径AB=12，OB=OD=6，在RtPOB中，ABC=30°，OP=OBtan30°=6×=2，在RtPOD中，PD=；（2）证明：如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，DBC=ABC=30°，ABD=60°，OB=OD，OBD是等边三角形，ODFB，BE=AB，OB=BE，BFED，ODE=OFB=90°，DE是O的切线；由知，ODBC，CF=FB=OBcos30°=6×=3，在RtPOD中，OF=DF，PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），CP=CFPF=33作业3如图，点A，B，C，D是直径为AB的O上的四个点，C是劣弧的中点，AC与BD交于点E（1）求证：DC2=CEAC；（2）若AE=2，EC=1，求证：AOD是正三角形；（3）在（2）的条件下，过点C作O的切线，交AB的延长线于点H，求ACH的面积【答案】见解析【解析】（1）证明：C是劣弧的中点，DAC=CDB，ACD=DCE，ACDDCE，DC2=CEAC；（2）证明：AE=2，EC=1，AC=3，DC2=CEAC=1×3=3，DC=，连接OC、OD，如图所示：C是劣弧的中点，OC平分DOB，BC=DC=，AB是O的直径，ACB=90°，AB=2，OB=OC=OD=DC=BC=，OCD、OBC是正三角形，COD=BOC=OBC=60°，AOD=180°2×60°=60°，OA=OD，AOD是正三角形；（3）解：CH是O的切线，OCCH，COH=60°，H=30°，BAC=90°60°=30°，H=BAC，AC=CH=3，AH=3，AH上的高为BCsin60°=，ACH的面积=作业4如图，ABC内接于O，CD平分ACB交O于D，过点D作PQAB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD（1）求证：PQ是O的切线；（2）求证：BD2=ACBQ；（3）若AC、BQ的长是关于x的方程x+=m的两实根，且tanPCD=，求O的半径【答案】见解析【解析】（1）证明：PQAB，ABD=BDQ=ACD，ACD=BCD，BDQ=ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则OBD=ODB，O=2DCB=2BDQ，在OBD中，OBD+ODB+O=180°，2ODB+2O=180°，ODB+O=90°，PQ是O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是O的切线，BDQ=DCB=ACD=BCD=BAD，AD=BD，DBQ=ACD，BDQACD，BD2=ACBQ；（3）解：方程x+=m可化为x2mx+4=0，AC、BQ的长是关于x的方程x+=m的两实根，ACBQ=4，由（2）得BD2=ACBQ，BD2=4，BD=2，由（1）知PQ是O的切线，ODPQ，PQAB，ODAB，由（1）得PCD=ABD，tanPCD=，tanABD=，BE=3DE，DE2+（3DE）2=BD2=4，DE=，BE=，设OB=OD=R，OE=R，OB2=OE2+BE2，R2=（R）2+（）2，解得：R=2，O的半径为2作业5如图，已知AB是圆O的直径，弦CDAB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N（1）求证：CA=CN；（2）连接DF，若cosDFA=，AN=2，求圆O的直径的长度【答案】见解析【解析】（1）证明：连接OF，则OAF=OFA，如图所示ME与O相切，OFMECDAB，M+FOH=180°BOF=OAF+OFA=2OAF，FOH+BOF=180°，M=2OAFMEAC，M=C=2OAFCDAB，ANC+OAF=BAC+C=90°，ANC=90°OAF，BAC=90°C=90°2OAF，CAN=OAF+BAC=90°OAF=ANC，CA=CN（2）连接OC，如图2所示cosDFA=，DFA=ACH，=设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，CA=CN，NH=a，AN=a=2，a=2，AH=3a=6，CH=4a=8设圆的半径为r，则OH=r6，在RtOCH中，OC=r，CH=8，OH=r6，OC2=CH2+OH2，r2=82+（r6）2，解得：r=，圆O的直径的长度为2r=作业6如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP（1）求证：AP=BQ；（2）当BQ=4时，求长（结果保留）；（3）若APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围【答案】见解析【解析】（1）证明：连接OQAP、BQ是O的切线，OPAP，OQBQ，APO=BQO=90°，在RtAPO和RtBQO中，RtAPORtBQO，AP=BQ（2）RtAPORtBQO，AOP=BOQ，P、O、Q三点共线，在RtBOQ中，cosB=，B=30°，BOQ=60°，OQ=OB=4，COD=90°，QOD=90°+60°=150°，优弧的长=，（3）APO的外心是OA的中点，OA=8，APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4OC8作业7如图，在O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE（1）求证：AC2=AEAB；（2）过点B作O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设O半径为4，点N为OC中点，点Q在O上，求线段PQ的最小值【答案】见解析【解析】证明：（1）如图1，连接BC，CD为O的直径，ABCD，A=ABC，EC=AE，A=ACE，ABC=ACE，A=A，AECACB，AC2=AEAB；（2）PB=PE，理由是：如图2，连接OB，PB为O的切线，OBPB，OBP=90°，PBN+OBN=90°，OBN+COB=90°，PBN=COB，PEB=A+ACE=2A，COB=2A，PEB=COB，PEB=PBN，PB=PE；（3）如图3，N为OC的中点，ON=OC=OB，RtOBN中，OBN=30°，COB=60°，OC=OB，OCB为等边三角形，Q为O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，Q为OP与O的交点时，PQ最小，A=COB=30°，PEB=2A=60°，ABP=90°30°=60°，PBE是等边三角形，RtOBN中，BN=2，AB=2BN=4，设AE=x，则CE=x，EN=2x，RtCNE中，x2=22+（2x）2，x=，BE=PB=，RtOPB中，OP=，PQ=，则线段PQ的最小值是作业8如图，已知ABC内接于O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DEBC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与O交于点G，设GAB=，ACB=，EAG+EBA=，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：30°40°50°60°120°130°140°150°150°140°130°120°猜想：关于的函数表达式，关于的函数表达式，并给出证明：（2）若=135°，CD=3，ABE的面积为ABC的面积的4倍，求O半径的长【答案】见解析【解析】解：（1）猜想：=+90°，=+180°连接OB，由圆周角定理可知：2BCA=360°BOA，OB=OA，OBA=OAB=，BOA=180°2，2=360°（180°