人教A版必修2第四章圆与方程检测.docx

第四章检测圆与方程题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在空间直角坐标系中，点M(2,4,5)在平面xOy的射影是()A. (0,4,5)B. (2,4,0)C. (2,0,5)D. (0,0,5)2. 已知圆M:x2+y22ay=0a>0截直线x+y=0所得弦长是22，则a的值为( )A. 2B. 2C. 6D. 33. 已知圆M:x2+y24y=0，则N:x12+y12=1，则圆M与圆N的公切线条数是( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知圆C与直线xy=0及xy4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的标准方程为( )A. x+12+y12=2B. x12+y+12=2C. x12+y12=2D. x+12+y+12=25. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为(>0,1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面，我们来研究与此相关的一个问题，已知圆：x2+y2=1和点A(12,0)，点B(1,1)，M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为( )A. 6B. 7C. 10D. 116. 方程表示的曲线图形是( )A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y4=0相切，则圆C面积的最小值为( )A. 45B. 34C. (6-25)D. 548. 设点M(x0,1)，若在圆O:x2+y2=1上存在点N，使得OMN=45，则x0的取值范围为( )A. 1,1B. 12,12C. 2,2D. 22,229. 已知方程x2+y22mx4y+5m=0所表示的曲线是圆，则实数m的取值范围是( )A. (1,4)B. (,1)(4,+)C. (4,+)D. (,1)10. 已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2+y22y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A. 3B. 212C. 22D. 211. 已知圆C1：(x2)2+(y3)2=1，圆C2：(x3)2+(y4)2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为( )A. 524B. 171C. 622D. 1712. 空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点距离是()A. 62B. 3C. 32D. 63二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 圆(x1)2+(y1)2=1上的点到直线xy=2的最大距离是_14. 若圆x2+y22ax+a2=2和x2+y22by+b2=1外离，则a，b满足的条件是_15. 由动点P(x,y)引圆O：x2+y2=4的两条切线，切点为A，B，若APB=90，则点P的轨迹方程是_16. 圆心在直线x2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知三点A(3,2)，B(5,3)，C(1,3)，以点P(2,1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程18. 求与圆x2+y22x+4y+1=0同心，且与直线2xy+1=0相切的圆的方程19. 已知圆C：x2+y2=4(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线方程；(2)若直线l过点P(1,2)，且与圆C相交所截得的弦长为23，求直线l的方程20. 已知圆M:x2+(y4)2=1，直线l:2xy=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B(1)若APB=60，求P点的坐标;(2)若点P的坐标为(1,2)，过点P作一条直线与圆M交于C，D两点，当|CD|=2时，求直线CD的方程;(3)求证：经过A，P，M三点的圆与圆M的公共弦必过定点，并求出此定点的坐标21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆M:x2+y212x14y+60=0及其上一点A(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2)设点T(t,0)满足存在圆M上的两点P和Q，使得四边形ATPQ为平行四边形，求实数t的取值范围22. 已知圆心为C的圆经过A(1,1)和B(2,2)，且圆心在直线l:x+y1=0上.(1)求圆C的标准方程；(2)设点P在圆上，点Q在直线xy+5=0上，求|PQ|的最小值；(3)若直线kxy+5=0被圆C截得的弦长为8，求k 的值答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间直角坐标系下点的射影，属于基础题根据空间直角坐标系的特征解答即可【解答】解：空间直角坐标系中，点M(2,4,5)在平面xOy 的射影是(2,4,0)，故选B2.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆相交时弦长问题，以及点到直线的距离公式，由题意求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，根据弦长公式列出方程求出a的值【解答】解：圆x2+(ya)2=a2，由题意得，圆心坐标是(0,a)，半径r=a，圆心到直线x+y=0的距离d=|a|2=2a2，由弦长公式可得22=2a2(2a2)2，解得a=2故选B3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查两个圆的位置关系和公切线的条数，属于基础题先求出圆心距，然后和半径和、半径差的绝对值比较得到两圆的位置关系，就可以得到公切线条数【解答】解：由已知：圆M的圆心和半径为M0,2,r1=2，圆N的圆心和半径为N1,1,r2=1，所以圆心距d=2,r1r2<d<r1+r2，所以这两个圆相交，所以公切线条数是2，故选B4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆的标准方程，直线与圆相切以及点到直线的距离公式，属于基础题首先根据题意设圆心坐标为(a,a)，再由直线与圆相切利用圆心到直线的距离为半径，求出a和半径r，即可得到圆的方程【解答】解：圆心在直线x+y=0上设圆心坐标为(a,a)，圆C与直线xy=0相切，圆心(a,a)到直线xy=0的距离为|2a|2=r，同理圆心(a,a)到直线xy4=0的距离为|2a4|2=r，联立得，a=1，r2=2，圆C的方程为(x1)2+(y+1)2=2故选B5.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆的标准方程及与圆有关的最值问题，将圆O变为与A和另外一点的距离之比为2的圆，求出这点坐标即可求解【解答】解：设C(a,0)满足|NC|NA|=2，设N(x,y)，则(xa)2+y2(x+12)2+y2=2，化简得3x2+3y2+(4+2a)x=a21，令2a+4=0得a=2，即C(2,0)，所以当a=2时，N的轨迹为x2+y2=1，与圆O相同，所以M满足2|MA|=|MC|，所以2|MA|+|MB|=|MB|+|MC|BC|，此时线段BC与圆O有交点，能取到等号，而|BC|=10，所以2|MA|+|MB|的最小值为10故选C6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查与圆相关的轨迹问题，属于中档题由题意得x1，图象不包括点1,0，排除法即可得到正确答案【解答】解：由题意可得x10x2+y21>0,即x1x2+y2>1，排除选项A，B，x=1,y0，所以图象不包括点1,0，所以排除选项C，故选D7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，点C向直线做垂线，垂足记为E，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，点C向直线做垂线，垂足记为E，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小，此时圆的直径即为O(0,0)到直线2x+y4=0的距离d，d=|4|22+12=45，此时r=12d=25，圆C的面积的最小值为：Smin=252=45故选A8.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由题意画出图形如图：点M(x0,1)，要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得OMN=45，则OMN的最大值大于或等于45时一定存在点N，使得OMN=45，而当MN与圆相切时OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M到M之间的区域满足MN=1，x0的取值范围是1,1故选A9.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆的方程，属于基础题写出圆的标准方程xa2+yb2=r2中r>0，则r2>0，即可求m的取值范围【解答】解：方程x2+y22mx4y+5m=0化为：(xm)2+(y2)2=m25m+4，方程表示圆的方程，所以m25m+4>0，解得：m<1或m>4即实数m的取值范围是(,1)(4,+)故选B10.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求|PC|的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值【解答】解：圆C：x2+y22y=0的圆心(0,1)，半径是r=1，由圆的性质知：S四边形PACB=2SPBC，四边形PACB的最小面积是2，SPBC的最小值=1=12rd(d是切线长)d最小值=2当切线长最小时，|PC|最小而圆心到直线的距离就是|PC|的最小值，12+22=51+k2=5k>0，k=2故选：D11.【答案】A【解析】【分析】本题考查点与圆的位置关系的应用，难度一般先求|PC1|+|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1(2,3)，则(|PC1|+|PC2|)min=|C1C2|=52，即可求解【解答】解：由题意知C1(2,3)，C2(3,4)，两圆的圆心均在第一象限，半径分别为1，3，先求|PC1|+|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1(2,3)，则(|PC1|+|PC2|)min=|C1C2|=52，所以(|PM|+|PN|)min=52(1+3)=524故选A12.【答案】A【解析】【分析】本题考查点到坐标轴的距离，设P(x,y，z)，由题意可知x2+y2=1,y2+z2=1,x2+z2=1,可得x2+y2+z2=32，进而即可得到结果【解答】解：设P(x,y，z)，由题意可知x2+y2=1,y2+z2=1,x2+z2=1,x2+y2+z2=32x2+y2+z2=62故选A13.【答案】1+2【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查圆上的点到直线的距离问题，属于基础题先求出圆心到直线的距离，取最大值时，再加上半径，取最小值时，再减去半径【解答】解：圆(x1)2+(y1)2=1的圆心为(1,1)，圆心到直线xy=2的距离为|112|1+1=2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1+2故答案为1+214.【答案】a2+b2>3+22【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题，将原方程化为标准方程可得圆心和半径，由圆心之间的距离大于半径之和可得【解答】解：分别记两圆为C1,C2，将圆C1,C2分别化为标准方程得，xa2+y2=2,x2+yb2=1，所以两圆的圆心分别为a,0,0,b，半径分别为2,1，由两圆外离可得a2+b2>2+1，平方可得：a2+b2>3+22故答案为a2+b2>3+2215.【答案】x2+y2=8【解析】【分析】本题主要考查了求轨迹方程的问题，考查直线与圆的位置关系，属基础题，先设点P的坐标为(x,y)，则可得|PO|，根据APB=90，判断出|PO|=22，把|PO|代入整理后即可得到答案【解答】解：设点P的坐标为(x,y)，则|PO|=x2+y2，APB=90，在直角三角形OAP中，|PO|=22+22=22，x2+y2=22，即x2+y2=8故答案为x2+y2=816.【答案】(x2)2+(y1)2=4【解析】【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式，属于中档题由圆心在直线x2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可【解答】解：设圆心为(2t,t)，半径为r=|2t|，圆C截x轴所得弦的长为23，t2+3=4t2，t=1，圆C与y轴的正半轴相切，t=1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，(x2)2+(y1)2=4，故答案为：(x2)2+(y1)2=417.【答案】解：要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|的中间值因为|PA|=10，|PB|=13，|PC|=5，所以|PA|<|PB|<|PC|，所以圆的半径r=|PB|=13故所求圆的方程为(x2)2+(y+1)2=13【解析】本题考查圆的标准方程根据题意，圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|的中间值，因而可确定出半径，继而写出结果18.【答案】解：其圆心为(1,2)，所以所求圆的圆心坐标为(1,2)，因为直线与所求圆相切，所以所求圆的半径为：r=|2+2+1|22+1=5，所以所求圆的方程为：(x1)2+(y+2)2=5【解析】本题是基础题，考查直线与圆相切的关系的应用，圆的方程的求法，考查计算能力求出圆的圆心坐标，利用圆与直线相切，求出圆的半径，即可得到圆的方程19.【答案】解：(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y2=k(x1)，即kxy+2k=0，则|2k|k2+1=2， 解得，k1=0，k2=43，故所求的切线方程为y=2或4x+3y10=0(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为(1,3)和(1,3)，这两点的距离为23，满足题意，当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y2=m(x1)，即mxym+2=0，设圆心到此直线的距离为d，则23=24d2，d=1，1=|m+2|m2+1，m=34，此时直线方程为3x4y+5=0，综上所述，所求直线方程为3x4y+5=0或x=1【解析】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程的求法，以及点到直线的距离公式，考查计算能力，注意直线的斜率不存在的情况(1)设出切线方程，利用点到直线的距离等于半径，求出k，即可求出过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；(2)通过弦长23，半径与弦心距满足勾股定理，求出直线的斜率，然后求直线l的方程20.【答案】解：(1)因为APB=60，圆M的半径为1，所以在RtAPM中，APM=30，|AM|=r=1，所以|PM|=2|AM|=2，设P点坐标为(a,2a)，则|PM|=a2+(2a-4)2=2，解得a=2或a=65，所以P(2,4)或P(65,125). (2)由条件可知圆心到直线CD的距离易知直线CD的斜率存在，设直线CD的方程为y2=k(x1)，则由点到直线的距离公式得|k+2|k2+1=22，解得k=7或k=1，所以直线CD的方程为x+y3=0或7x+y9=0(3)证明：设P(a,2a)，过A，P，M三点的圆即以PM为直径的圆，其方程为x(xa)+(y4)(y2a)=0，整理得x2+y2ax4y2ay+8a=0，与x2+(y4)21=0相减得公共弦的方程为(42a)yax+8a15=0，即(x2y+8)a+4y15=0，令4y-15=0,-x-2y+8=0,解得x=12,y=154,所以两圆的公共弦过定点12,154【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查两圆的公共弦，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题(1)由条件可知|PM|=2，建立方程，可求P点坐标;(2)由条件可知圆心到直线CD的距离d=22，设直线CD的方程，可得结论;(3)经过A、P、M三点的圆与圆M相减，可得公共弦，即可求出结论21.【答案】解：(1)N在直线x=6上，设N(6,n)，圆N与x轴相切，圆N为：(x6)2+(yn)2=n2，n>0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y212x14y+60=0，即圆M：(x6)2+(x7)2=25，|7n|=|n|+5，解得n=1，圆N的标准方程为(x6)2+(y1)2=1(2)四边形ATPQ为平行四边形，TA=PQ,P、Q在圆M上，|PQ|10,|TA|=(t2)2+4210,解得：2221t2+221，故实数t的取值范围为2221,2+221【解析】本题考查圆的标准方程的求法，直线方程的求法，以及实数范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用(1)设N(6,n)，则圆N为：(x6)2+(yn)2=n2，n>0，从而得到|7n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程(2)根据圆的弦长小于等于直径得到关于t的不等式，即可求出t的取值范围22.【答案】解：(1)设圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2，则圆经过点A(1,1)和B(2,2)，且圆心在直线l：x+y1=0上，1a2+1b2=r22a2+2b2=r2a+b1=0，a=3，b=2，r=5，圆的标准方程为(x3)2+(y+2)2=25；(2)圆心C到直线xy+5=0的距离为d=|3+2+5|2=52>5，直线与圆C相离，|PQ|的最小值为dr=525(3)由条件可知：圆心C到直线kxy+5=0的距离为d=5242=3根据点到直线的距离公式得|3k+2+5|k2+1=3，解得：k=2021【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，待定系数法是求圆的标准方程的重要方法，直线与圆的位置关系问题通常利用垂径定理解决(1)设圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2，利用圆经过点A(1,1)和B(2,2)，且圆心在直线l：x+y1=0上，建立方程组，求出a，b，r，即可得出圆心为C的圆的标准方程；(2)求出圆心C到直线xy+5=0的距离，即可求|PQ|的最小值；(3)根据直线kxy+5=0被圆C所截得的弦长为8，求出圆心C到直线kxy+5=0的距离，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求k的值第13页，共13页