2020年中考数学 压轴综合题汇编练习 二次函数 （含答案）.docx

2020中考数学 压轴综合题汇编 二次函数 （含答案）1. 如图，抛物线yx2x2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.第1题图 (1)求点A，B，C的坐标；(2)将ABC绕AB中点M旋转180，得到BAD.求点D的坐标；判断四边形ADBC的形状，并说明理由；(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P，使BMP与BAD相似，若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当y0时，0x2x2，解得：x11，x24，则A(1，0)，B(4，0)，当x0时，y2，故C(0，2)；(2)如解图，过点D作DEx轴于点E，将ABC绕AB中点M旋转180得到BAD，DECO2，AOBE1，OEOBBE413，D(3，2)；四边形ADBC是矩形理由如下：将ABC绕AB中点M旋转180，得到BAD，ACBD，ADBC，四边形ADBC是平行四边形，AC，BC2，AB5，AC2BC2AB2，ACB是直角三角形，ACB90，平行四边形ADBC是矩形；第1题解图 (3)存在满足条件的点P的坐标为(1.5，1.25)、(1.5，1.25)、(1.5，5)、(1.5，5)【解法提示】由题意可得：BD，AD2，则，当BMPADB时，BM2.5，PM1.25，故P1(1.5，1.25)或P2(1.5，1.25)，当BMPBDA时， ，BM2.5，PM5，可得P3(1.5，5)或P4(1.5，5)，综上所述，点P的坐标为(1.5，1.25)，(1.5，1.25)，(1.5，5)，(1.5，5)2. 已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A(1，0)，B(m，0)，与y轴交于点C.(1)若m3，求抛物线的解析式，并写出其对称轴；(2)如图，在(1)的条件下，设抛物线对称轴交x轴于点D，在对称轴左侧抛物线上有一点E，使SEACSDAC，求点E的坐标；(3)如图，设F(1，4)，FGy轴于点G，在线段OG上是否存在点P，使OBPFPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由第2题图解：(1)当m3时，点B的坐标为(3，0)，把A(1，0)，B(3，0)代入yx2bxc中得，解得，抛物线的解析式为yx22x3，对称轴为x1；(2)如解图，连接AC，第2题解图点A(1，0)，C(0，3)，设AC的函数表达式为ykxb，将A、C坐标代入得，解得，直线AC解析式为y 3x3，过点D(1，0)且平行于AC的直线L1为：y3x3，直线AC向上平移6个单位得到直线L1，将直线AC向上平移620个单位得到直线L2：y3x17，联立方程组 ， 解得，(不合题意，舍去)点E坐标为(4，5)；(3)设点P(0，y)，第2题解图当m<0时，如解图所示，则POBFGP，得，my24y(y2)24，4<y<0，4m<0，当m>0时，如解图所示，第2题解图易证POBFGP，得，m y2 4y (y2)24，4<y<0，0<m4，综上所述，m的取值范围是4m4，且m0.3. 如图，在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，CDE的面积为S1，BCE的面积为S2，求的最大值；过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得CDF中的某个角恰好等于BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由解：(1)根据题意得A(4，0)，C(0，2)，yx2bxc过A、C两点，yx2x2；(2)如解图，令y0，则x2x20，第3题解图x14，x21，B(1，0)，过D作DMx轴交AC于M，过B作BNx轴交AC于N，DMBN，DMEBNE，令D(a，a2a2)，M(a，a2)，DM a2a2(a2)a22a，B(1，0)，N(1，)，BN，(a2)2，当a2时，取最大值为；第3题解图 如解图，A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)，由勾股定理得AC2，BC，AB5，AC2BC2AB2，ABC是以ACB为直角的直角三角形，取AB中点P，连接CP，P(，0)，PAPCPB，CPO2BAC，tanCPOtan(2BAC).情况1：如解图，作QAAC，QHAH，当DCF2BAC时，即QCA2BAC，tanQCA，AQ，AHQCOA90，HQAQAH90，QAHCAO90，HQACAO，AHQCOA.，即，AH，HQ，Q(，)，又C(0，2)，设直线QC的解析式为ymxn，将Q、C坐标代入ymxn中得，解得QC：yx2，联立直线QC与抛物线的解析式，得，解得x10(舍)，x22，xD2；情况2：如解图，当FDC2BAC时，作QADF，Q在CD延长线上，QHx轴于点H，第3题解图 即AQC2BAC，tanAQC，AQ，QHAAOC，AH，HQ3，OHAOAH4，Q(，3)，又C(0，2)，设直线QC的解析式为y mxn，将Q、C坐标代入ymxn中得，解得，QC：yx2，联立直线QC与抛物线的解析式得，解得x10(舍去)，x2，xD，综上所述，D点的横坐标为2或.4. 如图，已知二次函数y1 x2bxc的图象与x轴交于B(2，0)、C两点，与y轴交于点A(0，6)，直线AC的函数解析式为y2 mxn.第4题图 (1)求二次函数的解析式；(2)过线段OC上任意一点(不含端点)作y轴的平行线，交AC于点E，与二次函数图象交于点F，求线段EF的最大值；(3)在抛物线上是否存在一点P，使得ACP是以AC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)二次函数y1 x2bxc的图象过点A(0，6)，点B(2，0)，解得，二次函数的解析式为y1 x22x6；(2)y1 x22x6的对称轴为直线x 2，又B(2，0)与C关于直线x 2对称，C(6，0)，将点A(0，6)，点C(6，0)代入直线AC的函数解析式y2 mxn，得，解得，直线AC的函数解析式为y2 x6，点E在AC上，点F在抛物线上，设E(x，x6)，则F(x，x22x6)，0<x<6，且EF平行于y轴，EF (x6)(x22x6) x23x (x3)2，当x 3时，EF有最大值；(3)假设在抛物线上存在一点P，使得ACP是以AC为底边的等腰三角形， 如解图，设AC中点是Q，第4题解图A(0，6)，C(6，0)，Q(3，3)，PA PC，AQ CQ，OA OC，PQ经过原点(0，0)，设直线PQ的解析式为y kx, 把Q(3，3)代入，得3 3k，解得k 1，直线PQ的解析式为y x，联立得，解得或，故所求点P的坐标为P1(1，1)，P2(1，1)5. 如图，直线y x2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y ax2bx2经过点A、B、C，且点B的坐标是(1，0)(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC上一个动点，DEAC，交直线AC下方的抛物线于点E，EGx轴于点G，交AC于点F，请求出DF的最大值；(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点H，点P是射线CH上的一点，当ABP是直角三角形时，请直接写出点P的坐标. 第5题图解：(1)由y x2知，A(4，0)，抛物线y ax2bx2经过A(4，0)、B(1，0)两点，解得，抛物线的解析式为y x2x2；(2)EFx轴，点E在抛物线上，点F在线段AC上，设点E的坐标是(m，m2m2)(0<m<4)，则点F的坐标是(m，m2)，EF (m2)(m2m2)m22m(m2)22，由y x2知，C(0，2)，在RtOAC中，AC 2，OCAC1，由题意得，FDECOA 90，FEDCAO，EFDACO，DFEF OCAC1，DF(m2)2(0<m<4)，当m 2时，DF取得最大值；(3)点P的坐标为(0，2)，(3，2)，(4，)【解法提示】A(4，0)，B(1，0)，H(，0)，设直线CP的解析式为y mxn，把C(0，2)，H(，0)，代入得，解得，射线CH的解析式为y x2(x0)，当BPA 90时，如解图，设P(t，t2)，则PB2 (t1)2(t2)2，PA2 (t4)2(t2)2, PB2PA2 AB2，(t1)2(t2)2(t4)2(t2)2 52，整理得t23t 0，解得t1 0，t2 3，此时P点坐标为(0，2)或(3，2)；当BAP 90时，如解图，则PAx轴，P点的横坐标为4，当x 4时，y x2 ，则P(4，)，第5题解图综上所述，满足条件的P点坐标为(0，2)或(3，2)或(4，)6. 如图，对称轴为直线x 的抛物线经过B(2，0)、C(0，4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；(3)如图，若M是线段BC上一动点，在x轴上是否存在一点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由第6题图解：(1)抛物线的对称轴为直线x ，设抛物线的解析式为：y a(x)2k(a0)， 抛物线经过点B(2，0)，C(0，4)，解得：，抛物线的解析式为：y2(x)2，化为一般式为y2x22x4.(2)在第一象限内抛物线上取一点P，连接CP，BP，AC，过点P作PFx轴于点F，交BC于点E，如解图，第6题解图设直线BC的解析式为y dxt(d0)，直线经过点B(2，0)，C(0，4)，解得，直线BC的解析式为y2x4，P为第一象限内抛物线上一点，设P点坐标为(n，2n22n4)，则E点坐标为(n，2n4)，PE PFEF 2n22n42n4 2n24n，SBPC SBPESCPE PEBFPEOF PEOB2n24n，S四边形COBPSOCBSBPC 242n24n2(n1)26，当n 1时，S四边形COBP最大 6，(3)存在点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形点Q坐标为(48，0)或(，0)理由如下：分以下两种情况：(i)如解图所示：当BQM 90时，第6题解图CMQ90，只能CM MQ，由(2)得：直线BC的解析式为y 2x4.设M点坐标为(m，2m4)(0<m<2)，则MQ 2m4，OQ m，BQ 2m，在RtOBC中，BC 2，MQOC，QMB OCB，MQB COB，BMQBCO， ，即 ，BM (2m) 2m，CM BCBM 2(2m) m，CM MQ，2m4 m，m 48，Q(48，0)(ii)如解图所示：当QMB 90时，第6题解图CMQ 90，只能CM MQ，设M(m，2m4)(0<m<2)，过点M作MNx轴于N，则ON m，MN 2m4，NB 2m，由(i)得：BM 2m，CM m，QBM OBC，QMB COB 90，RtBOCRtBMQ， ，即 ，MQ 2(2m) 42m，m 42m，m ，M(，)，MNx轴于N，QMBC，QMNNMB 90，NMBNBM 90，QMN NBM，又BNM MNQ 90，RtBNMRtMNQ， ，即 ，NQ ，OQ NQON ，Q(，0)综上所述，符合条件的点Q为(48，0)或(，0)7. 如图，抛物线y ax23xc经过A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；(3)在(2)在条件下，m的最大值为抛物线上点D的纵坐标(D不与C重合)，在x轴上找一点E，使以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出E点坐标第7题图解：(1)抛物线y ax23xc经过A(1，0)，B(4，0)两点，解得：a 1，c 4.抛物线的解析式为y x23x4.(2)将x 0代入抛物线的解析式得：y 4，C(0，4)设直线BC的解析式为y kxb.将B(4，0)，C(0，4)代入得：，解得：k 1，b 4，直线BC的解析式为：y x4.过点P作x的垂线与直线BC交于点Q，如解图：第7题解图点P的横坐标为t，P(t，t23t4)，Q(t，t4)PQt23t4(t4)t24t.mt24t(t2)24(0<t<4)当t 2时，m的最大值为4；(3)点E为(1，0)或(7，0)【解法提示】将y 4代入抛物线的解析式得：x23x4 4.解得：x1 0，x2 3.点D与点C不重合，点D的坐标为(3，4)又C(0，4)，CDx轴，CD 3.当BE CD 3时，以B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形点E(1，0)或(7，0)8. 如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过点A(1，0)、B(3，0) 和C(0，3)第8题图 (1)求抛物线的解析式；(2)设点P是x轴上一动点，以CP为边，在CP的右侧作正方形CPQM.设P点的坐标为(t，0)，用含t的代数式表示Q点的坐标；(3)在(2)的条件下，随着点P的运动，是否存在这样的正方形CPQM，有两个顶点同时在抛物线上，如果存在，请求点P的坐标；如果不存在，请说明理由解：(1)设抛物线的解析式为：ya(x1)(x3)，代入点C(0，3)，得33a.a1，y(x1)(x3)x22x3，抛物线的解析式为yx22x3；(2)如解图，过点Q作QEx轴，垂足为点E.第8题解图四边形CPQM是正方形，PCPQ，CPQPQM90，CPOEPQEPQPQE90，CPOPQE，CPOPQE(AAS)，PEOC3，QEOP，点P的坐标为(t，0)，点Q的坐标为(t3，t)；(3)存在理由如下：如解图，过点M作MFy轴，垂足为点F，与(2)同理可以证出CPOMCF，FMOC3，CFOP，点M的坐标为(3，3t)已知点C在抛物线上，则当点P在抛物线上时，则点P与点A或与点B重合，此时t1或3；当点Q在抛物线上时，把点Q(t3，t)代入y x22x3，得t(t3)22(t3)3，解得：t10，t25；当点M在抛物线上时，把点M(3，3t)代入yx22x3，得3t963，解得t3.综上，当点P的坐标分别为(5，0)、(3，0)、(1，0)、(0，0)、(3，0)时，正方形CPQM有两个顶点同时在抛物线上9. 如图，直线y -x3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y ax2bxc与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x 2.第9题图 (1)求该抛物线的解析式；(2)连接PB、PC，求PBC的面积；(3)连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)y x3与x轴、y轴相交于B、C两点，C(0，3)，B(3，0)，抛物线的对称轴为：x 2，可设二次函数的解析式为：y a(x2)2k(a0)，把B(3，0)、C(0，3)两点代入，得，解得，抛物线的解析式为：y (x2)21，即y x24x3.(2)y x24x3 (x2)21，P(2，1)，又B(3，0)、C(0，3)，PC2 2242 20，PB2 (32)212 2，BC2 3232 18.PB2BC2 PC2，PBC是直角三角形SPBC PB BC 33.(3)设存在点Q(m，0)，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似，易证ABC ABP 45，Q点在B点左边，则m<3，于是AB 2，BC 3，BQ 3m，BP ，当 时，QBPABC，则 ，解得m ，Q(，0)；当 时，PBQABC，则 ，解得m 0，Q(0，0)，故存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似NQ点的坐标为Q(，0)或Q(0，0)10. 在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线yax2(a0)上两个不同的动点，其中A在第二象限，B在第一象限第10题图(1)如图所示，当直线AB与x轴平行，AOB90且AB2时，求此抛物线的解析式和A，B两点的横坐标的乘积；(2)如图所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，AOB仍为90时，A，B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若直线y2x2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交y轴于点D，且BPCOCP，求点P的坐标解：(1)如解图，抛物线关于y轴对称，ABx轴，AB2，第10题解图ACBC1，AOB90，ACBCOC，A(1，1)，B(1，1)，xA xB111.把B(1，1)，代入yax2，得a1，抛物线解析式为yx2；(2)A、B两点的横坐标的乘积是1.证明：如解图，过点A、B作AM、BN分别垂直x轴于点M、N，第10题解图设B(b，b2)，A(c，c2)，AOB90，AOMOAMAOMBON，OAMBON，又AMOONB90，AOMOBN，即，b2c2bc，b、c均不能为0，bc1，即A、B两点的横坐标的乘积是1；(3)如解图，作PGy轴于点G，第10题解图设直线AB解析式为ykxt，A(c，c2)，B(b，b2)，bc 1，A(，)，把B(b，b2)，A(，)代入直线AB解析式ykxt，得，得b2bkk，(b)(b)(b)k，b0，kb，把kb代入，得b2b21t，t1，即D(0，1)，当x0时，y2x22，即C(0，2)，设P(x，2x2)，则PGx，OG2x2，DC3，GD OGOD2x3，BPCOCP，DPDC3，在RtPGD中，PG2DG2PD2，即x2(2x3)29，解得x10(舍去)，x2，y2x2，P(，).