全等三角形解题方法.doc
#+略说全等三角形解题方法 证明三角形全等的基本思路在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为：证明三角形全等的方法、平移法构造全等三角形例如图所示，四边形中，平分，若，求证：。分析：利用角平分线构造三角形，将转移到，而与互补，从而证得。主要方法是：“线、角进行转移”。图证明：在上截取，在与中， （SAS） , , ， , , .、翻折法构造全等三角形例如图所示，已知中，平分，求证：。证明： 平分，将沿翻折后，点图 2落在上的点，则有，在与中， （SAS） , 已知中， , , , 。3、旋转法构造全等三角形图 3例3 如图3所示，已知点、分别在正方形的边与上，并且平分，求证：。分析：本题要证的和不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将绕点旋转到，则，=，从而将转化为线段，再进一步证明即可。证明略。4、延长法构造全等三角形图 4例4 如图4所示，在中，求证：。分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。本题可延长至，使，构造，然后证明，就可得。5、截取法构造全等三角形图 5例5 如图5所示，在中，边上的高为，又，求证：。分析：欲证明，可以在上截取一线段等于，再证明另一线段等于。如果截取（如图所示），则可认为而沿翻折而来，从而只需证明即可。证明略。构造全等三角形解题的技巧 全等三角形是初中几何三角形中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。 友情提示：证明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt）。一、见角平分线试折叠，构造全等三角形 例1 如图1，在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC。求证：B：C=2：1。证法一：在线段AC上截取AE=AB，连接DE。在ABD和AED中，AE=AB，1=2，AD=AD，ABDAED。DE=DB，B=AED。AB+BD=AC，AE+DE=AC。又AE+CE=AC，DE=CE。C=EDC。AED=C+EDC，AED=2C，即B=2C。B：C=2：1。 图1证法二：延长AB到F，使BF=BD，连接DF。F=BDF。ABC=F+BDF，ABC=2F。AB+BD=AC，AB+BF=AC，即AF=AC。在ADF和ADC中，AF=AC，1=2，AD=AD，ADFADC。F=C。又ABC=2F，ABC=2C，即ABC：C=2：1。 图2点评：见到角平分线时，既可把ABD沿AD折叠变成AED，也可把ACD沿AD折叠变成AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。练习：如图3，ABC中，AN平分BAC，CNAN于点N，M为BC中点，若AC=6，AB=10，求MN的长。 图3提示：延长CN交于AB于点D。则ACNADN，AD=AC=6。又AB=10，则BD=4。可证为BCD的中位线。点评：本题相当于把ACN沿AN折叠成AND。 二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形 例2 如图4，AD为ABC中BC上的中线，BF分别交AC、AD于点F、E，且AF=EF，求证：BE=AC。 图4证明：延长AD到G，使DG=AD，连接BG。AD为BC上的中线，BD=CD，在ACD和GBD中，AD=DG，ADC=BDG，BD=CD，ACDGBD。AC=BG，CAD=G。AF=EF，CAD=AEF。G=AEF=BEG，BE=BG，AC=BG，BE=AC。点评：见中线AD，将其延长一倍，构造GBD，则ACDGBD。 例3 如图5，两个全等的含有、角的三角极ADE和ABC如图放置，E、A、C三点在同一直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC 图5试判断EMC的形状，并说明理由。解析：EMC为等腰直角三角形。理由：分别延长CM、ED，使其相交于点N，可证BCMDNM。则BC=DN，CM=NM。由于DEAACB，则DE=AC，AE=BC，DE+DN=AC+AE。即EN=EC，则ENC为等腰直角三角形。CM=NM，EMCN，则可知EMC为等腰直角三角形。注：本题也可取EC的中点N，连接MN，利用梯形中位线定理来证明。亦可连接AM，利用角的度数来证明。练习1：如图6，在平行四边形ABCD中，E为AD中点，连接BE、CE，BEC=， 图6求证：（1）BE平分ABC。（2）若EC=4，且，求四边形ABCE的面积。提示：见图中所加辅助线，证ABEDFE。练习2：ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB的取值范围为多少？注：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。则BDECDA。BE=AC=5，DE=AD=7。在ABE中，BE=5，AE=14。利用三角形三边关系可求线段AB的取值范围为：9<AB<19。 三、构造全等三角形，证线段的和差关系例4 如图7，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且1=2。 图7求证：BE+DF=AE。证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG。在ABG和ADF中，AB=AD，ABG=D=，BG=DF，ABGADF。G=AFD，4=1。1=2，4=2。ABCD，AFD=2+3=4+3=GAE。又G=AFD，G=GAE。AE=GE。EG=BE+BG=BE+DF，BE+DF=AE。从以上几例可以看出，全等三角形在证明中具有出奇制胜的作用。在解决有关角平分线、中点、线段的和差的问题时，通过添加辅助线构造全等三角形的办法，不仅能使问题迎刃而解，而且有助于学生创新思维的培养，提高学生的数学思维能力和分析能力。 见到角平分线时，既可把ABD沿AD折叠变成AED，也可把ACD沿AD折叠变成AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。
