五年级(上册)数学知识材料点归纳.doc

*人教版小学数学五年级（上册）各单元【知识点】第一单元小数乘法1、 小数乘整数的计算方法：1、先将小数转化成整数 2、再按照整数乘法的计算方法算出积 3、最后确定积的小数点的位置。4、如果积的小数部分末尾若出现0，要去掉小数末尾的0，使小数成为最简形式。二、小数乘小数的算理及计算方法：（1）按照整数乘法算出积，再点小数点；（2）点小数点时，看因数中一共有几位小数，有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点；（3）积的小数位数如果不够，在前面用0补足，再点小数点；（4）积的小数部分末尾有0的要把0去掉。三、积与因数的关系 一个因数（0除外）乘大于1的数，积比原来的因数大；一个因数（0除外）乘小于1的数，积比原来的因数小。四、求一个数的小数倍数是多少的问题的解题方法：用乘法计算，即用这个数乘小数倍数。五、小数乘法的常用验算方法：（1）根据因数与积的大小关系检验；（2）交换两个因数的位置，重新计算；（3）用计算器验算。六、用“四舍五入”法求积的近似数：1、先算出积,然后看要保留数位的下一位,再按“四舍五入法”求出结果,用“”表示；2、用四舍五入法保留一定的小数位数。四舍五入法：小于5，把它和右边的数全舍去，改写成0 大于5，向前进1，再把它和右面的数全舍去，改写成0由于小数的末尾去掉0和加上0，小数的大小不变，所以取小数的近似数时不用把数改写成0，直接去掉。2.2052 (保留整数)2.2052.2 (保留一位小数)2.2052.21 (保留两位小数)3、 如果求得的近似数要保留数位的数字是9而后一位数字又大于5需要进1,这时就要依次进一用0占位。如6.597 保留两位小数为6.60。特别注意：在保留整数、（一位、两位、三位）小数、省略（亿万十分位、百分位）后面的尾数、精确到（亿万十分位、百分位）这类题目，都可以用划圆圈的方法来完成。七、乘除法运算定律 1、乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。 用字母表示为：ab=ba 例如：8518=1885 2388=88232、 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。用字母表示为：(ab)c=a(bc)注意：乘法结合律的应用基于要熟练掌握一些相乘后积为整十、整百、整千的数。 例如：254=100； 2504=1000； 1258=1000； 12580=100003、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母表示：(a+b)c=ac+bc ，或者是：ac+bc=(a+b)c注意：简便计算中乘法分配律及其逆运算是运用最广泛的一个，一定要掌握它和它的逆运算。 4、个数相乘，如果有接近整十、整百、整千的数，可以将其转化成整十、整百、整千数加（或减）一个数的形式，再用乘法分配律进行计算。八、整数乘法运算定律在小数乘法中的应用：1.整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于小数乘法也适用。2.计算连乘时可应用乘法交换律、结合律将乘积是整数的两个数先乘,再乘另一个数；计算一步乘法时,可将接近整十、整百的数拆成整十整百的数和一位数相加减的算式,再应用乘法分配律简算。3.对于不符合运算定律的算式,可通过变形再进行应用。错点警示:小数乘整数的积的末尾有0时，一定要先点积中的小数点，再去掉积中小数部分 末尾的0。规避策略:牢记计算方法和解题过程，先按整数乘法计算，再数小数位数，确定小数点的位 置，最后去掉小数部分末尾的0。 第二单元位置一、对行和列的认识。1、横排叫做行，竖排叫做列。确定第几列一般是从左往右数，确定第几行一般是从前往后数。二、对数列的认识和表示方法。1、用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对，确定一个物体的位置需要两个数据。2、用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，不要把列和行弄颠倒。3、写数对时，用括号把列数和行数括起来，并在列数和行数之间写个逗号把它们隔开。写作：（列，行）。4、数对的读法：（2，3）可以直接读（2，3）,也可以读作数对（2，3）。5、一组数对只能表示一个位置。6、表示同一列物体位置的数对，它们的第一个数相同；表示同一行物体位置的数对，它们的第二个数相同。8、表示位置有绝招，一组数据把它标。 竖线为列横为行，列先行后不可调。一列一行一括号，逗号分隔标明了。三、物体移动引起数对的变化。1、在方格纸或田字格上，物体左、右移动（向左或向右平移），行数不变，列数等于减去或加上平移的格数；物体上、下移动（向上或向下平移），列数不变，行数等于加上或减去平移的格数。第三单元小数除法知识框架：1、 小数除以整数 *计算法则：按整数除法的法则进行计算，商的小数点要和被 2、一个数除以小数 除数的小数点对齐。如果有余数，要添0再除。（整数部分不够除，商0，点上小数点。（一位一位落数，不够商1就用0占位。） 3、商的近似数。四舍五入法(结合生活实际，具体问题具体分析) 有限小数 如：3.126589 0.15689741236474、循环小数：小数 无限不循环小数 无限小数 无限循环小数5、用计算器探索规律6、解决问题小数除法一、小数除以整数1、小数除法的意义：已知两个因数的（积）与其中的一个因数，求另一个因数的运算。如：0.60.3表示已知两个因数的积0.6与其中的一个因数0.3，求另一个因数的运算。2、小数除以整数的计算方法：（1） 小数除以整数，先安按整数除法的方法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。3、除到被除数的末尾有余数的小数除法：（1）计算除数是整数的小数除法时，除到被除数的末尾仍有余数，根据小数的性质（小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变）在商的个位后点上小数点，在余数后面添0继续除。（2） 小数除以整数如果整数部分不够除，商写上0，点上小数点再除。0在个位起占位作用。二、一个数除以小数1、除数是小数的除法的计算方法：（1）、先移动除数的小数点，使它变成整数。（2）除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足。（3）然后按照除数是整数的小数除法进行计算。易错点：如果被除数的位数不够，在被除数的末尾用0补足。2、除法中的变化规律：（1）商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。（2）除数不变，被除数扩大，商随着扩大。（3）被除数不变，除数缩小，商扩大。3、商和被除数的大小关系：被除数除以一个小于1的除数时，商会比被除数大；被除数除以一个大于1的除数时，商会比被除数小。三、商的近似数1、准确数与近似数准确数：在日常生活和生产实际所遇到的数中，有时可以得到完全准确的数，他们精确，没有误差。如：五（1）班有学生46人，这里的46是准确数。近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，或不可能得到精确的数。如：中国约有13亿人，这里的13就是近似数。2、有效数字：一个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是零的数算起，到这一位数字上，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。例如：0.61660.62，有两个有效数字：6、2。3、求商的近似数时，一般先除到比需要保留的小数位数多一位，在按照“四舍五入”法取商的近似值。易错点：求近似数时，其中小数末尾的“0”不能去掉。4、 循环小数&用计算器探索规律1、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。注意：循环小数必须满足两个条件 2、循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。如6.3232的循环节是32。3、循环小数的表示方法：写循环小数时，可以只写第一个循环节。并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。例如：5.33333 写作： ；6.965986598 写作：3、小数： 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。5、 解决问题先审题，要明白题目中已知什么？要求什么？再根据其关系式进行列出算式，（列算式时多问自己为什么要这样列式）接着进行计算，在计算的过程中，要细心、细心、再细心，最后根据实际情况决定用“进一法”还是“去尾法”。第四单元可能性一、事件发生的可能性有三种情况：可能、不可能和一定。其中，在一定的条件下，一些事情的结果是可以预知或确定的，就可以用“一定”或“不可能”来描述，表示确定现象。而在一定的条件下，一些事情的结果是不可以预知的或不可以确定的，这时就可以用“可能”来描述，表示不确定现象。二、事件发生的可能性大小：当事件的可能性的大小与物体数量相关时，在总数或总体中物体数量越多，出现对应结果的可能性越大；物体数量越少，出现对应结果的可能性就越小。三、根据事件发生的可能性大小判断物体数量的多少：当可能性的大小与物体数量相关时，某事件发生的可能性越大，则该事件对应的物体在总数中所占数量就越多；可能性越小，所占数量就越少。考点：（1）、可能性的大小可以用分数或小数来表示。 例如：从标有1，2，3，4的四张卡片中任抽一张，抽到卡片“1”的可能性是多少？ （2）、设计公平的游戏规则。例如：指针停在斜线、白、黑三种区域的可能性是多少？ （3）、数的排列规律。 例如：桌子有三张卡片，分别写着7、8、9。如果摆出的三位数是单数小强赢，如果提出的三位数是双数，小丽赢，想一想，谁赢的可能性大些？这样公平吗？第五单元简易方程一、对于乘号的书写形式：（1）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“”，也可以省略不写。如：（2）数字和字母相乘，省略乘号时要把数字写在前面。（如b4写作4b）（3）数与数之间的乘号不能省略。注意：aa可以写作：aa(或)，读作：a的平方或a的2次方，表示两个a相乘。2a表示：a+a二、等式的性质：（1）在等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。（2）在方程左右两边同时加、减、乘、除一个不等于0的数，左右两边仍然相等。三、方程和等式的关系：含有未知数的等式叫做方程， （所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。）如：2+3=5是等式，但不是方程。 注意：X=3此类也是方程。四、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。五、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程原理：天平平衡。六、解方程需要注意什么？（每天坚持练习）（1）一定要写解字。（2）等号要对齐，同时运算前左右两边要照抄，解的未知数写在左边。（3）两边乘、除相同数的时候，这个数一定不能为0。七、10个数量关系式：加法：和=加数+加数一个加数=和-另一个加数减法：差=被减数-减数 被减数=差+减数减数=被减数-差乘法：积=因数因数一个因数=积另一个因数除法：商=被除数除数 被除数=商除数 除数=被除数商八、用S表示面积，用C表示周长。（1）如果用a表示正方形的边长，那么：这个正方形的周长：C=a4=4a（省略乘号时，一般把数写在字母前面） 这个正方形的面积：S=aa=（读作：a的平方，表示2个a相乘）（2）如果用a表示长方形的长，b表示宽，那么：这个长方形的周长：C=（a+b）2这个长方形的面积：S=ab=ab九、方程的检验过程：方程左边=. =方程右边 所以，X=. 是方程的解。十、列方程解应用题总结几种情况：（1）比字句。（如：根据比字句找出关系式，列方程） （2）找总量。（如：根据总量找关系式，列方程）（3）相遇问题（如：根据总路程列方程）。（4）根据公式列方程（如：根据公式列方程）。（5）根据不变量列方程。（如：如果每个房间住6人，有20人没床位；如果每房间住8人，正好住满。有多少房间？根据两种方案的不变量“总人数”列方程）。请根据几种情况，找题练习。注意：问题为两个未知量时，一般根据有关倍数的句子，写设。十一、方程解的值的问题：方程的解是一个数值，如x=3，不加单位名称。解方程是一个过程。注意事项： 以下内容除了标明的外，全都是正确的方程习题示例，且没有跳步，请仔细观看其中每步的解题意图。带“*”号的题目不会考查，但了解它们有助于掌握解复杂方程的一般方法，对简单的方程也就自然游刃有余了。一、一步方程只有一步计算的方程，直接逆运算除未知数外的部分。 x514解：x55145 x9 x67解：x6676 x13 3x18解：3x3183 x6 x45解：x4454 x20难点：当未知数出现在减数和除数时，要先逆运算含未知数的部分。 16x9解：16xx9x x916 x99169x7 24x4解：24xx4x 4x24 4x4244x6二、两步方程两步方程中，若是只有同级运算，也可以先计算，后当做一步方程求解。注意要“带符号移动”，增添括号时还要注意符号的变化。 x489.6解： x（84）9.6 2x9.6 2x29.62 x4.8 10x620解：x（106）20 x420 x44204 x16或 x489.6解： x（48）9.6 x0.59.6 x0.50.59.60.5 x4.8如果含有两级运算，就“逆着运算顺序”同时变化，如含有未知数的一边是“先乘后减”，则先逆运算减法（即两边同加），再逆运算乘法（即两边同时除以），依此类推。 x467.8解： x4667.86 x41.8 x441.84 x7.2 2.4x618解：2.4x66186 2.4x24 2.4x2.4242.4 x10 3（x6）6.6解：3（x6）36.63 x62.2 x662.26 x8.2 难点：当未知数出现在减数和除数时，要先把含有未知数的部分看作一个整体（可以看成是一个新的未知数），就相当于简化成了一步方程。 5（7.2x）6解： 5（7.2x）565 7.2x1.2 7.2xx1.2x x1.27.2 x1.21.27.21.2 x6 664x10解：664x6106 64x4 64xx4x 4x64 4x4644 x16* 106x8解：106x6x86x 1086x 6x88108 6x2 6xx2x 62x 2x262 x3例题中，“64x”、“7.2x”和“6x”被看成新的未知数（y），因此原方程就可以看成是6y10，5y6和10y8的形式。三、三步方程（1） 应用乘法分配律，共同因数是已知数的 2.4x2.4836解： 2.4（x8）36 2.4（x8）2.4362.4 x815 x88158 x7或 2.4x2.4836解： 2.4x19.236 2.4x19.219.23619.2 2.4x16.8 2.4x2.416.82.4 x7具有乘法分配律的形式，即两个有共同因数的乘积（或具有相同除数的除法式子）相加或相减，而共同因数（或除数）是已知数的，既可以逆用乘法分配律提取共同因数而将其简化为两步方程，也可以直接算出已知部分而化简。 x44.842解： （x4.8）42 （x4.8）4424 x4.88 x4.84.884.8 x12.8或 x44.842解： x41.22 x41.21.221.2 x43.2 x443.24 x12.8通过比较可以看出，一般来说提取共同因数的方法确实计算量要少一些，不容易算错。（2） 应用乘法分配律，共同因数是未知数的具有乘法分配律的形式，即两个有共同因数的乘积（或具有相同除数的除法式子）相加或相减，而共同因数（或除数）是未知数的，只能逆用乘法分配律提取共同因数而将其简化为两步方程。 2.4x3.6x36解： （2.43.6）x36 6x36 6x6366 x6 * 8x12x4解： （812）x4 20x4 20xx4x 4x20 4x4204 x5 难点：隐藏的因数或错看的未知数容易成为此类问题的难点和易错点。用交换律改变位置便于观察！ 2.4xx7解： 2.4x1x7 （2.41）x7 1.4x7 1.4x1.471.4 x5注意，此为正确解法！ 解： 3.62.4x15 2.4x3.63.6153.6 2.4x11.4 2.4x2.411.42.4 x4.75 2.4x2.416.82.4 x7注意，此为典型错题！ 解： 3.62.4x15 （3.62.4）x15 6x15 6x6156 x2.5 2.4x2.416.82.4 x7此步爱跳过的更容易错！ 此步可以不写 三、其它方程（方程两边都出现未知数的情况）要解决两边都出现未知数的方程，就必须通过“等式的基本性质”，消去一边的未知数，成为我们熟悉的一般形式。因此，常常要将若干个未知数看成整体，共同加上或者减去。 3.2x84.8x解： 3.2x83.2x4.8x3.2x （4.83.2）x8 1.6x8 1.6x1.681.6 x5 95x1510x解： 95x10x1510x10x 95x15 5x99159 5x6 5x565 x1.2 （1） 方程两边都出现未知数的复杂情况（不作要求）难点：方程两边都有未知数，且未知数是除数（即非0），则可以同时乘以未知数（这时方程的两边都各看作一个整体，里面的每一项都要乘以未知数），再消去一边的未知数。* 108x1314x解： （108x）x（1314x）x 10x8xx13x14xx 10x813x14 10x810x13x1410x 3x148 3x1414814 3x6 3x363 x2* 46x9x解： （46x）x（9x）x 4x6xx9xx 4x69 4x6696 4x3 4x434 x0.75四、总结既然“解方程”是要得到形如“x9”这样的“方程的解”，因此就应当将方程中多余的、不想要的部分去掉（通过同时同样的逆运算），而其关键就在于运用“等式的基本性质”只要保证方程两边的同时同样的变化，哪怕绕了大弯，“方程”最终也一定能被解决！附：方程的检验方程的检验作为一种格式存在，只需要记忆即可，平时一般口算代入检验。检验： 方程左边664x 66416 64 10 方程右边 所以，x16是原方程的解。 664x10解：664x6106 64x4 64xx4x 4x64 4x4644 x16格式：1、 “检验：”2、 从“方程左边”写起，先写方程左边的表达式3、 代入方程的解，逐步计算4、 算出答案后，与方程右边的结果比较，得出结论。第六单元多边形面积一、长方形面积、周长关系式：1、 长方形面积=长宽 字母公式：s=ab 2、 长方形周长=(长宽)2 字母公式：c=(ab)2 （长=周长2-宽；宽=周长2-长） 二、长方形中面积、周长与长和宽之间的变化关系： （1）长方形的长加宽等于长方形周长的一半。即 a + b = c 2 （2）当长方形的周长不变时，长与宽的差越大，这个长方形的面积就越小；反之，长与宽的差越小，这个长方形的面积就越大。 （3）当长方形的面积不变时，长与宽的差越大，这个长方形的周长就越长；长与宽的差越小，这个长方形的周长就越短。 （4）长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。三、正方形面积、周长关系式：1、正方形面积=边长边长 字母公式：s= a或者s=aa 2、正方形周长=边长4 字母公式：c=4a 或者c= a4 四、平行四边形1、认识平行四边形和梯形 四边形分类：一类是两组对边分别平行；另一类是只有一组对边平行 平行四边形 长方形 正方形四边形 梯形 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。长方形和正方形是特殊的平行四边形。正方形是特殊的长方形。2、平行四边形的特征：平行四边形容易变形，具有不稳定性；三角形具有稳定性。3、平行四边形面积的计算公式（1）沿着平行四边形任意一条边上的高，将平行四边形分成两部分，再经过平移或者剪拼，可以将平行四边形转化成长方形。通过观察发现，长方形的长是原平行四边形的底，长方形的宽是原平行四边形的高。（2）通过长方形的面积公式，长方形的面积=长宽，我们可以得到平行四边形的面积公式，如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，可以得到平行四边形的面积=底高；字母公式为：S=ah。4、平行四边形面积公式的应用平行四边形的面积公式：S=ah，经过变形得到：a=Sh，h=Sa。在已知平行四边形的底、高和面积中任意两个量时，可求出第三个量。注意：等底等高的平行四边形面积相等。五、三角形部分1. 三角形面积的计算公式（1）用两个完全相同的三角形，经过旋转、平移，可以拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，也可以说成三角形的面积等于拼成的平行四边形的一半。观察可以发现，平行四边形的底和三角形的底相同，平行四边形的高和三角形的高相同。（2）通过平行四边形的面积公式，可以推导出三角形的面积公式。如果S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，三角形的面积=底高2；字母公式为：S=ah2。2、三角形面积公式的应用三角形的面积公式：S=ah2，经过变形得到：a=2Sh，h=2Sa。在已知三角形的底、高和面积三个量中任意两个量，都可以求出第三个量。 注意：等底等高的三角形面积相等。六、梯形1、梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 生活中的梯形：梯子、堤坝的横截面等 平行四边形和梯形的相同点和不同点： 相同点：都是四边形；都有平行的对边 不同点：平行四边形的两组对边平行且相等；梯形有且只有一组对边平行，且平行的这组对边不相等2、平行四边形和梯形各部分名称及高的画法。 为平行四边形和梯形各条边命名 平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 梯形中互相平行的一组对边，较短的边叫做梯形的上底，较长的边叫做梯形的下底，不平行的那组对边，分别叫做梯形的腰。 等腰梯形：两腰相等的梯形。 直角梯形：当一条腰与上底、下底垂直时，这个梯形叫直角梯形。 画高时注意：所画的高要用虚线表示；一定要画垂足符号。3、梯形面积的计算公式（1）梯形面积公式的推导过程： 旋转、平移，将两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。通过观察可以发现，拼成的平行四边形的底等于梯形的上底、下底之和，平行四边形的高等于梯形的高。（2）根据平行四边形面积公式，可以推导出梯形的面积公式。因为平行四边形的面积=底高，所以梯形的面积=（上底下底）高2，用S表示梯形的面积，a、b和h分别表示梯形的上底、下底和高，梯形的面积公式为：S=(a+b)h2。4、梯形面积公式的应用梯形的面积公式：S=(a+b)h2，经过变形得到：h=2S(a+b)，a=2Sh-b，b=2Sh-a。在已知梯形的面积、上底、下底和高四个量中任意三个时，都可以求出第四个量。七、有关规律： 1、 在平行四边形里画一个最大的三角形，这个三角形的面积等于这个平行四边形面积的一半。 2、用细木条钉成一个长方形框架，如果把他拉成一个平行四边形，则它的周长不变，面积变小了，因为底不变，高变小了；如果将平行四边形框架拉成一个长方形，则他们的周长不变，面积变大了。 3、 当三角形和平行四边形面积相等时，若高相等，则三角形的底是平行四边形的2倍，平行四边形的底是三角形的一半。 4、 三角形和平行四边形的面积相等时，若底相等，则三角形的高是平行四边形的2倍，平行四边形的高是三角形的一半。5、 三角形和平行四边形等底等高时，则三角形的面积是平行四边形的一半，平行四边形的面积是三角形的2倍。第七单元植树问题一、两端要栽：间隔数总长间距； 总长间距间隔数；棵数间隔数1；间隔数棵数1例题：1、计划在长600米的一条堤上，从头到尾每隔5米栽一棵树，那么需要准备多少棵树苗？2、在一条大道的一侧从头到尾每隔15米竖一根电线杆，共用电线杆86根，这条大道全长是多少米？3、一块菜地的一边长是800米，要沿边做一道栅栏，需从头到尾等距离栽41个木杆，每两个木杆之间相距多少米？二、两端不栽：间隔数总长间距；总长间距间隔数；棵数间隔数1； 间隔数棵数1例题：1、在相距50米的两楼之间栽一排树，每隔5米栽一棵树，共可栽多少棵树？2、某大学从校门的门柱到公路有一条1000米的小路，每边相隔8米栽一棵白杨，一共可以栽白杨多少棵？3、在一条长2500米的公路两侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若公路两头不架，共需多少根电线杆？三、锯木问题： 段数次数1 次数段数1 总时间每次时间次数（两端不栽）例题：1、一根木材，截成3段要10分钟，如果每截一段的时间相等，那么截成9段需要多少分钟？2、锯一条4米长的圆柱形的钢条，锯5段耗时1小时20分。如果把这条钢条锯成半米长的小段，需要多少分钟？3、截一根18米长的木材，每隔3米截一段，共需截多少次。若共用了30分钟，每截一次需多少分。四、方阵问题：最外层的数目是：边长44或者是（边长1）4整个方阵的总数目是：边长边长例题：1、在一块正方形地四周种树，每边都种了15棵，并且四个顶点都种有一棵树。问这个场地四周共种树多少棵？2、某校五年级学生排成一个实心方阵，最外一层的人数为60人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有学生多少人？3、有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数共48人，最内层人数共24人，这队学生共有多少人？五、封闭的图形钟点问题（例如围成一个圆形、椭圆形）：总长间距间隔数；棵数间隔数例题：1、时钟6点钟敲6下，10秒钟敲完，敲8下需要多少秒？六、上楼问题：楼层数=间隔数+1间隔数=楼层数-1总台阶数=间隔数每层台阶数例题：1、小芳爬楼梯时速度保持不变，从一层到三层用了36秒，若从3层到6层需用多少秒？