2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.4.1正弦函数余弦函数的图象.docx
54.1正弦函数、余弦函数的图象1了解正弦函数、余弦函数的图象2会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象3能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题1正弦曲线正弦函数ysinx，xR的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线2正弦函数图象的画法(1)几何法利用正弦线画出ysinx，x0,2的图象；将图象向左、向右平行移动(每次2个单位长度)(2)五点法画出正弦曲线在0,2上的图象的五个关键点(0,0)，(，0)，(2，0)，用光滑的曲线连接；将所得图象向左、向右平行移动(每次2个单位长度)3余弦曲线余弦函数ycosx，xR的图象叫余弦曲线它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线4余弦函数图象的画法(1)要得到ycosx的图象，只需把ysinx的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cosxsin.(2)用“五点法”：画余弦曲线ycosx在0,2上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，(，1)，(2，1)，再用光滑的曲线连接温馨提示：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ycosx的图象与y轴只有一个交点()(2)将正弦曲线向右平移个单位就得到余弦曲线()(3)函数ysinx，x的图象与函数ycosx，x0,2的图象的形状完全一致()(4)函数ysinx，x2k，2(k1)kZ，且k0的图象与ysinx，x0,2的图象形状完全一致()答案(1)(2)(3)(4)题型一用“五点法”作简图【典例1】用“五点法”作出下列函数的简图(1)ysinx1，x0,2；(2)y2cosx，x0,2思路导引利用“五点法”作函数简图时，应先列表，再描点，再连线解(1)列表：x02sinx01010sinx110121描点连线，如图所示(2)列表：x02cosx101012cosx32123描点连线，如图所示用“五点法”画函数yAsinxb(A0)在0,2上的简图的步骤(1)列表x02sinx01010yy1y2y3y4y5(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，(，y3)，(2，y5)(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来针对训练1利用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y12sinx，x0,2；(2)y1cosx，x0,2解(1)列表：x02sinx0101012sinx13111在直角坐标系中描出五点(0,1)，(，1)，(2，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y12sinx，x0,2的图象如图(2)列表：x02cosx101011cosx01210在直角坐标系中，描出五点(0,0)，(，2)，(2，0)，然后并用光滑的曲线连接起来，就得到y1cosx，x0,2的图象如图题型二正、余弦函数图象的简单应用【典例2】利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合(1)sinx；(2)cosx.思路导引先在0,2上找到使等式成立的关键点，再依据图象或三角函数线找到不等式的解解(1)作出正弦函数ysinx，x0,2的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，kZ.(2)作出余弦函数ycosx，x0,2的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，kZ.用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在0,2上的图象(也可以是，上的图象)；(2)在0,2上或(，上)写出适合三角不等式的解集；(3)根据公式一写出定义域内的解集针对训练2求下列函数的定义域(1)ylg(cosx)；(2)y.解(1)为使函数有意义，则需要满足cosx>0，即cosx<0.由余弦函数图象可知满足条件的x为2k<x<2k，kZ.所以原函数定义域为.(2)为使函数有意义，则需要满足2sinx0，即sinx.由正弦函数图象可知满足条件的x为2kx2k，kZ.所以原函数定义域为.课堂归纳小结1本节课要牢记正、余弦函数图象中“五点”的确定ysinx，x0,2与ycosx，x0,2的图象上的关键五点分为两类：(1)图象与x轴的交点；(2)图象上的最高点和最低点2用“五点法”在0,2内做出正、余弦函数的简图，再通过平移即可得到正、余弦曲线.1用“五点法”画ysinx，x0,2的图象时，下列哪个点不是关键点()A.B.C(，0) D(2，0)解析五个关键点为(0,0)，(，0)，(2，0)，故选A.答案A2对于余弦函数ycosx的图象，有以下三项描述：向左向右无限延伸；与x轴有无数多个交点；与ysinx的图象形状一样，只是位置不同其中正确的有()A0个B1个C2个D3个解析如图所示为ycosx的图象可知三项描述均正确答案D3函数y1sinx，x0,2的大致图象是()解析列表x02sinx010101sinx10121描点与选项比较，可知选B.答案B4在0,2内，不等式sinx<的解集是()A(0，) B.C.D.解析画出ysinx，x0,2的图象如下：因为sin，所以sin，sin.即在0,2内，满足sinx的是x或x.由图可知不等式sinx<的解集是.答案C5画出函数y1sinx，x0,2的图象，并利用图象判断与直线y的交点个数解在同一坐标系内画出y1sinx和y的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.课后作业(四十三)复习巩固一、选择题1用“五点法”作y2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是()A0，2 B0，C0，2，3，4 D0，解析由五点作图法，令2x0，2，解得x0，.答案B2函数ycosx(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为()A.B(，1)C(0,1) D(2，1)解析用五点作图法作出函数ycosx(x>0)的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(，1)答案B3函数ysinx，x的简图是()解析将x代入ysinx中，得ysinsin1.故排除A、B、C，故选D.答案D4使不等式2sinx0成立的x的取值集合是()A.B.C.D.解析2sinx0，sinx，作出ysinx在内的图象，如图所示，则满足条件的x.使不等式成立的x的取值范围为.答案C5方程xsinx0的根有()A0个B1个C2个D无数个解析设f(x)x，g(x)sinx，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程xsinx0仅有一个根答案B二、填空题6已知函数f(x)32cosx的图象经过点，则b_.解析由题意知，b32cos324.答案47不等式cosx<0，x0,2的解集为_解析由ycosx，x0,2的图象知cosx<0的解为.答案8函数ysinx，x0,2的图象与直线y的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2_.解析解法一：ysinx，x0,2的图象与直线y的交点坐标为和，故x1x23.解法二：A、B两点关于x对称，x1x223.答案3三、解答题9用“五点法”作出函数ycos，x的图象解找出五个关键点，列表如下：ux02xycosu10101描点并将它们用光滑的曲线连接起来10求函数y的定义域解由得所以2kx2k，kZ，即函数y的定义域为(kZ)综合运用11函数ycosx|cosx|，x0,2的大致图象为()解析ycosx|cosx|故选D.答案D12方程|x|cosx在(，)内()A没有根B有且仅有一个根C有且仅有两个根D有无穷多个根解析求解方程|x|cosx在(，)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)|x|和g(x)cosx在(，)内的交点个数问题f(x)|x|和g(x)cosx的图象显然有两交点，即原方程有且仅有两个根故选C.答案C13函数f(x)则不等式f(x)>的解集是_解析在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y的图象，由图易得<x<0或2k<x<2k，kN.答案14关于三角函数的图象，有下列命题：ysin|x|与ysinx的图象关于y轴对称；ycos(x)与ycos|x|的图象相同；y|sinx|与ysin(x)的图象关于x轴对称；ycosx与ycos(x)的图象关于y轴对称其中正确命题的序号是_解析对，ycos(x)cosx，ycos|x|cosx，故其图象相同；对，ycos(x)cosx，故其图象关于y轴对称，由作图可知均不正确答案15若函数y2cosx(0x2)的图象和直线y2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积解观察图可知，图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形；有S1S2，S3S4，因此函数y2cosx的图象与直线y2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积，因为|OA|2，|OC|2，所以S矩形OABC224.所以所求封闭图形的面积为4.
