2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2.1简单的三角恒等变换.docx

第1课时简单的三角恒等变换1了解半角公式及推导过程2能利用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简及证明3掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用1半角公式降幂公式半角公式sin2sin cos2cos tan2tan 2.辅助角公式asinxbcosxsin(x)(其中tan)判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)sin15 .()(2)cos15.()(3)tan.()(4)倍、半是相对而言的，可以看成2的半角，2可以看成4的半角()答案(1)(2)(3)(4)题型一求值问题【典例1】已知sin，<<，求sin，cos，tan的值思路导引由是的二倍，可以运用二倍角公式，同时注意的范围解<<，sin，cos，且<<，sin，cos，tan2.解决给值求值问题的思路方法(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值针对训练1已知sincos，450<<540，求tan的值解由题意得2，即1sin，得sin.450<<540，cos，tan2.题型二三角函数式的化简【典例2】化简：(180<<360)思路导引利用二倍角公式将角转化为角，注意被开方式子的正负解原式.又180<<360，90<<180，cos<0，原式cos.变式若本例中式子变为：(<<0)，求化简后的式子解原式.因为<<0，所以<<0，所以sin<0，所以原式cos.化简问题中的“3变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径如升幂、降幂、配方、开方等针对训练2已知<<，化简：.解原式，<<，<<.cos<0，sin>0.原式cos.题型三三角恒等式的证明【典例3】求证：.思路导引注意到tan2，故可先变形(即用分析法证明)，再证明变形后式子的另一端也等于tan2.证明要证原式，可以证明.左边tan2，右边tan2，左边右边，原式得证证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法针对训练3求证：2cos().证明因为sin(2)2cos()sinsin()2cos()sinsin()coscos()sin2cos()sinsin()coscos()sinsin()sin，两边同除以sin得2cos().课堂归纳小结1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式2对半角公式的三点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos的值及相应的条件，便可求出sin，cos，tan.(3)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2，cos2求解开方时需要注意角所在象限.1已知cos，且180<<270，则tan的值为()A2 B2 C. D解析cos，且180<<270sintan2.答案B2下列各式中，值为的是()Asin15cos15 Bcos2sin2C.D. 解析选项A中，sin15cos15sin30；选项B中，cos2sin2cos；选项C中，原式tan60；选项D中，原式cos30.故选B.答案B3若，则化简的结果为()AsincosBsincosCsincosDsincos解析，sin>cos原式sincos.故选B.答案B4已知tan3，则cos等于()A. B C. D解析coscos2sin2.故选B.答案B5化简：.解原式tan.课后作业(五十二)复习巩固一、选择题1设5<<6，cosa，那么sin等于()ABCD解析<<，sin，故选D.答案D2若，则等于()AcossinBcossinCcossinDcossin解析原式|cos|sin|，cos>0，sin<0，原式cossin.答案B3sin，则cos()A B C. D.解析cos2cos21.，cossin.cos221.故选A.答案A4化简()Asin2Bcos2CsinDcos解析4sin2tan4cos2tan4cossin2sin2cos2，原式sin2.答案A5若cos，是第三象限角，则的值为()A B. C2 D2解析由cos，是第三象限角，可得sin.所以.答案A二、填空题6若tanx，则_.解析原式23.答案237._.解析原式4.答案48若tan2tan，则_.解析3.答案3三、解答题9求证：.证明左边右边原等式成立10已知sinsin，coscos，0<<<，求的值解因为(sinsin)22，(coscos)22，以上两式展开两边分别相加得22cos()1，所以cos()，又因为0<<<，<<0，所以.综合运用11已知sincos，则2cos21()A. B. C D解析sincos，两边平方可得1sin2，可得sin2，2cos21cossin2.答案C12若，sin2，则sin等于()A. B. C. D.解析因为，所以2，故cos20，所以cos2.又cos212sin2，所以sin2.又，所以sin，故选D.答案D13设为第四象限角，且，则tan2_.解析为第四象限的角，sin<0，cos>02cos2cos24cos21cos，sin，tan，tan2.答案14化简tan70cos10(tan201)_.解析原式cos102cos102cos10sin(2030)2sin(10)1答案115已知cos2，<<，(1)求tan的值(2)求的值解(1)cos2，解得tan，<<，tan.(2)，<<，tan，sin，cos，4.