2019-2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.3幂函数.docx

33幂函数1理解幂函数的概念2掌握yx(1，1,2,3)的图象与性质3理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题1幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数2常见幂函数的图象与性质温馨提示：幂函数在区间(0，)上，当a>0时，yx是增函数；当<0时，yx是减函数1y2x2和y是幂函数吗？答案不是2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx0(x0)是幂函数()(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)()(3)幂函数的图象都不过第二、四象限()(4)当>0时，yx是增函数()答案(1)(2)(3)(4)题型一幂函数的概念【典例1】(1)在函数y，yx2，y2x，y1，y2x2，yx中，是幂函数的是()ABCD(2)已知幂函数y(m2m1)xm22m3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域思路导引紧扣幂函数的定义求解解析(1)幂函数是形如yx(为常数)的函数，是1的情形，是2的情形，是的情形，所以都是幂函数；是指数函数，不是幂函数；中x2的系数是2，所以不是幂函数；是常函数，不是幂函数所以只有是幂函数故选C.(2)y(m2m1)x m22m3为幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，m22m33，则yx3，且有x0；当m1时，m22m30，则yx0，且有x0.故所求幂函数的解析式为yx3或yx0，它们的定义域都是x|x0答案(1)C(2)见解析判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.针对训练1下列函数中不是幂函数的是()AyByxCy22xDyx1解析函数y22x4x不是幂函数，故选C.答案C2若幂函数f(x)满足f(9)3，则f(100)_.解析设f(x)x，由f(9)3，得93，f(x)x，f(100)10010.答案10题型二幂函数的图象与性质【典例2】已知幂函数f(x)x的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间思路导引求出，结合图象确定定义域和值域解由f(2)，得2，解得2，所以f(x)x2.f(x)的图象如图所示，定义域为(，0)(0，)，单调减区间为(0，)，单调增区间为(，0)变式(1)本例条件不变，试判断f(x)的奇偶性(2)本例中点P变为，判断函数f(x)的奇偶性与单调性解(1)由f(x)(x)2x2f(x)，得f(x)是偶函数(2)由f(8)，得8，解得，所以f(x)x，其定义域为(，0)(0，)，是奇函数，在(，0)和(0，)上都是减函数解决幂函数图象问题应把握的2个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)(2)依据图象确定幂指数与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于yx1或yx或yx3)来判断针对训练3如图，图中曲线是幂函数yx在第一象限的大致图象，已知取2，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的的值依次为()A2，2B2，2C，2,2，D2，2，解析令x2，则22>2>2>22，故相应于曲线C1，C2，C3，C4的值依次为2，2.故选B.答案B4如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则()A1<n<0<m<1Bn<1,0<m<1C1<n<0，m>1Dn<1，m>1解析在(0,1)内取x0，作直线xx0，与各图象有交点，则“点低指数大”如图，0<m<1，n<1.答案B题型三利用幂函数的性质比较大小【典例3】(1)比较下列各题中两个值的大小：思路导引构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小(2)因为yx在定义域0，)上是增函数，所以解得1m<.故实数m的取值范围为.比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数(2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小针对训练5比较下列各组数的大小：6已知幂函数f(x)x，若f(a1)<f(102a)，则a的取值范围是_解析f(x)x(x>0)，易知f(x)在(0，)上为减函数，又f(a1)<f(102a)，解得3<a<5.答案(3,5)课堂归纳小结1幂函数yx的底数是自变量，指数是常数2幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小3简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)1.(2)如果>0，幂函数在0，)上有意义，且是增函数(3)如果<0，幂函数在x0处无意义，在(0，)上是减函数.1下列函数是幂函数的是()Ay5xByx5Cy5xDy(x1)3解析函数y5x是指数函数，不是幂函数；函数y5x是正比例函数，不是幂函数；函数y(x1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数yx5是幂函数答案B2设a20.3，b30.2，c70.1，则a，b，c的大小关系为()Ac<a<bBa<c<bCa<b<cDc<b<a解析a20.380.1，b30.290.1，c70.1，由幂函数yx0.1在(0，)上单调递增，可知c<a<b.答案A3函数yx的图象是()解析由幂函数yx的性质知，图象过点(0,0)，(1,1)，故排除A，D.因为yx中0<<1，所以函数图象在第一象限内上凸递增，排除C.故选B.答案B4已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f_.解析设幂函数为yx(为常数)函数f(x)的图象过点(4,2)，24，f(x)x，f.答案5已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，)上是减函数，求f(x)的解析式解幂函数yx3m9在(0，)上是减函数，3m9<0，即m<3.又mN*，m1,2.又y33m9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数，3m9是偶数m1.f(x)x6.课后作业(二十三)复习巩固一、选择题1下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()解析yx，其定义域为R，值域为0，)，故定义域与值域不同答案D2设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aa>b>cBc>a>bCa<b<cDb>c>a解析构造幂函数yx，x>0，由该函数在定义域内单调递增，知1>a>b；又c2>1，知a<c.故c>a>b.答案B3函数yx的图象大致是图中的()解析函数yx是奇函数，且>1，函数在R上单调递增故选B.答案B4若幂函数y(m23m3)xm22m3的图象不过原点，且关于原点对称，则()Am2Bm1Cm2或m1D3m1解析根据幂函数的概念，得m23m31，解得m1或m2.若m1，则yx4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m2，则yx3，其图象不过原点，且关于原点对称答案A5下列结论中，正确的是()A幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)B幂函数的图象可以出现在第四象限C当幂指数取1,3，时，幂函数yx是增函数D当1时，幂函数yx在其整个定义域上是减函数解析当幂指数1时，幂函数yx1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，)上都有定义，且yx(R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当>0时，yx是增函数，故C正确；当1时，yx1在区间(，0)，(0，)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误故选C.答案C二、填空题6若yax是幂函数，则该函数的值域是_解析由已知yax是幂函数，得a1，所以yx，所以y0，故该函数的值域为0，)答案0，)7函数y3x2的图象过定点_解析依据幂函数yx性质，x1时，y1恒成立，所以函数y3x2中，x1时，y1恒成立，即过定点(1,1)答案(1,1)8已知当x(1，)时，函数yx的图象恒在直线yx的上方，则的取值范围是_解析由幂函数的图象特征知>1.答案(1，)三、解答题9已知幂函数yf(x)的图象过点，试求出此函数的解析式，判断奇偶性解设yx(R)，图象过点，2，f(x)x.函数yx，定义域为(0，)，函数为非奇非偶函数10已知幂函数yf(x)x2m2m3，其中mx|2<x<2，xZ，满足：是区间(0，)上的增函数；对任意的xR，都有f(x)f(x)0.求同时满足，的幂函数f(x)的解析式，并求x0,3时f(x)的值域解因为mx|2<x<2，xZ，所以m1,0,1.因为对任意xR，都有f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数当m1时，f(x)x2只满足条件而不满足条件；当m1时，f(x)x0条件、都不满足当m0时，f(x)x3条件、都满足，且在区间0,3上是增函数所以x0,3时，函数f(x)的值域为0,27综合运用11已知幂函数f(x)x3m5(mN)在(0，)上是减函数，且f(x)f(x)，则m可能等于()A0B1C2D3解析f(x)在(0，)上是减函数，3m5<0(mN)，则m0或m1，当m0时，f(x)x5是奇函数，不合题意当m1时，f(x)x2是偶函数，因此m1，故选B.答案B12在同一坐标系内，函数yxa(a0)和yax的图象可能是()解析当a<0时，函数yax是减函数，且在y轴上的截距>0，yxa在(0，)上是减函数，A、D项均不正确对于B、C项，若a>0则yax是增函数，B项错，C项正确，故选C.答案C13.如图所示，曲线C1与C2分别是函数yxm和yxn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()An<m<0Bm<n<0Cn>m>0Dm>n>0解析由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.当x2时，2m>2n，所以n<m<0.答案A14已知函数f(x)x在(，0)上是增函数，在(0，)上是减函数，那么最小的正整数_.解析取值验证1时，yx0，不满足；2时，yx，在(0，)上是减函数它为奇函数，则在(，0)上也是减函数，不满足；3时，yx满足题意答案315已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上函数是减函数，求满足(a1)<(32a)的a的取值范围解函数yx3m9在(0，)上单调递减，3m9<0，解得m<3.又mN*，m1,2.又函数图象关于y轴对称，3m9为偶数故m1.有(a1)<(32a).又yx在(，0)，(0，)上均递减，a1>32a>0或0>a1>32a或a1<0<32a.解得<a<或a<1.故a的取值范围为(，1)