2019-2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.3不同函数增长的差异.docx

44.3不同函数增长的差异1尝试将实际问题转化为函数模型2了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异3会根据函数的增长差异选择函数模型1指数函数、对数函数、一次函数的性质2.指数函数、对数函数、一次函数的增长差异(1)在区间(0，)上，函数yax(a>1)，ylogax(a>1)和ykx(k>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上(2)在区间(0，)上随着x的增大，yax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于ykx(k>0)的增长速度，而ylogax(a>1)的增长速度则会越来越慢(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有logax<kx<ax(a>1，k>0)1已知函数f(x)2x，g(x)2x，h(x)log2x.(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？(2)函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？答案(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大(2)各函数增长的速度不同，其中f(x)2x增长得最快，其次是g(x)2x，最慢的是h(x)log2x2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y3x比y2x增长的速度更快些()(2)当x>100时，函数y10x1比ylgx增长的速度快()(3)能用指数型函数f(x)abxc(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数()(4)当a>1，k>0时，在区间(0，)上，对任意的x，总有logax<kx<ax成立()答案(1)(2)(3)(4)题型一不同函数增长的差异【典例1】(1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()Ay10000xBylog2xCyx1000Dyx(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数函数变化的变量是_思路导引借助指数函数、对数函数、一次函数的增长差异作出判断解析(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数yx增长速度最快(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化答案(1)D(2)y2常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型ykxb(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型指数函数模型yax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”(3)对数函数模型对数函数模型ylogax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓(4)幂函数模型幂函数yxn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间针对训练1下列函数中，增长速度最慢的是()Ay6xBylog6xCyx6Dy6x解析对数函数的增长速度越来越慢选B.答案B2有一组数据如下表：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()Avlog2tCvDv2t2解析从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.答案C函数模型的选择问题【典例2】芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：上市时间t50110250种植成本Q15.010.815.0(1)根据表中数据，从下列选项中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数式：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本思路导引要选择最能反映芦荟种植成本与上市时间之间的变化关系的函数式，应该分析各函数的变化情况，通过研究这些函数的变化趋势与表格提供的实际数据是否相符来判断哪个函数是最优函数模型解(1)由表中所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，故用函数Qatb，Qabt，Qalogbt中的任意一个来反映时都应有a0，而上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合，所以应选用二次函数Qat2btc进行描述将表格所提供的三组数据分别代入函数Qat2btc，得解得所以反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Qt2t.故选.(2)当t150(天)时，芦荟种植成本最低，为Q150215010(元/千克)不同函数模型的选取标准(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律针对训练3某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解作出函数y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x的图象(如下图所示)观察图象可知，在区间5,60上，y0.2x，y1.02x的图象都有一部分在直线y3的上方，只有ylog5x的图象始终在y3和y0.2x的下方，这说明只有按模型ylog5x进行奖励才符合学校的要求题型三指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【典例3】函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小思路导引利用指数函数和幂函数的图象和性质进行判断解(1)C1对应的函数为g(x)x3，C2对应的函数为f(x)2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2.由图可知g(6)>f(6)变式若本例条件不变，(2)中结论改为“试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2019)，g(2019)的大小”，如何求解？解因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<8<x2,2019>x2，从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(8)<g(8)当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2019)>g(2019)又因为g(2019)>g(8)，所以f(2019)>g(2019)>g(8)>f(8)由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数针对训练4当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A2x>x2>log2xBx2>2x>log2xC2x>log2x>x2Dx2>log2x>2x解析解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数ylog2x，yx2，y2x，在区间(2,4)上从上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的图象，所以x2>2x>log2x.解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法可取x3，经检验易知选B.答案B5某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致是()解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，yf(x)的图象大致为D中图象答案D课堂归纳小结1四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.2.函数模型的应用(1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论(2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.1下图反映的是下列哪类函数的增长趋势()A一次函数B幂函数C对数函数D指数函数解析从图象可以看出这个函数的增长速率越来越慢，反映的是对数函数的增长趋势答案C2四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)x2，f2(x)2x，f3(x)log2x，f4(x)2x.如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()Af1(x)x2Bf2(x)2xCf3(x)log2xDf4(x)2x解析由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D.答案D3某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(xN*)，该产品的产量y满足()Aya(15%x)Bya5%xCya(15%)x1Dya(15%)x解析经过1年，ya(15%)，经过2年，ya(15%)2，经过x年，ya(15%)x.答案D4某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为yekt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k_，经过5小时，1个病菌能繁殖为_个解析设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2，解得k2ln2，y(5)e(2ln2)5e10ln22101024(个)答案2ln210245某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？解A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，所以100元一年到期的本息和为1002105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100103.09(元)，收益为3.09元通过以上分析，购买B种债券课后作业(三十三)复习巩固一、选择题1在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a，b为待定系数)()AyabxByabxCyax2bDya解析在坐标系中描出各点，可知函数yabx更接近答案B2甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1<v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图示为()解析v1<v2，前半段路程用的时间长，选B.答案B3据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2016年的湖水量为m，从2016年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为()答案C4下面对函数f(x)在区间(0，)上的衰减情况的说法正确的是()Af(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快，h(x)的衰减速度越来越慢Bf(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢，h(x)的衰减速度越来越快Cf(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢，h(x)的衰减速度越来越慢Df(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快，h(x)的衰减速度越来越快解析函数f(x)，g(x)x与h(x)在区间(0，)上的大致图象如右图所示观察图象，可知函数f(x)的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度逐渐变慢；在区间(1，)上衰减较慢，且衰减速度越来越慢同样，函数g(x)的图象在区间(0，)上衰减较慢，且衰减速度越来越慢函数h(x)的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度越来越慢；在区间(1，)上衰减较慢，且衰减速度越来越慢，故选C.答案C5下列函数关系中，可以看作是指数型函数ykax(kR，a>0且a1)的模型的是()A竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系C如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D信件的邮资与其重量间的函数关系解析A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数故选B.答案B二、填空题6小明2017年用8100元买一台笔记本电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一三年后小明这台笔记本还值_元解析三年后的价格为81002400(元)答案24007函数yx2与函数yxlnx在区间(1，)上增长较快的一个是_解析当x变大时，x比lnx增长要快，x2要比xlnx增长得要快答案yx28.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示以下四种说法：前三年产量增长的速度越来越快；前三年产量增长的速度越来越慢；第三年后这种产品停止生产；第三年后产量保持不变其中说法正确的序号是_解析由t0,3的图象联想到幂函数yxa(0<a<1)反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢由t3,8的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以正确答案三、解答题9某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？解设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知y1(5025)x20.5x3000024x30000.y2(5025)x140.5x18x.(1)当x3000时，y142000，y254000，y1<y2，应选择方案二处理污水(2)当x6000时，y1114000, y2108000，y1>y2，应选择方案一处理污水10函数f(x)lgx，g(x)0.3x1的图象如图(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)解(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lgx.(2)当x(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x(x2，)时，g(x)>f(x)综合运用11三个变量y1，y2，y3，随着自变量x的变化情况如下表：x 13 57 9 11y15135 6251715 36456655y2529 245 2189 19685 177149y356.106.61 6.9857.2 7.4则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ()Ay1，y2，y3By2，y1，y3Cy3，y2，y1Dy1，y3，y2解析通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.答案C12一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了，下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时24时)体温的变化情况的是()解析观察选项A中的图象，体温逐渐降低，不符合题意；选项B中的图象不能反映“下午他的体温又开始上升”这一过程；选项D中的图象不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”的过程答案C13.向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是()解析取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半易知B符合题意答案B14若已知16<x<20，利用图象可判断出和log2x的大小关系为_解析作出f(x)x和g(x)log2x的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，>log2x；x4或x16时，log2x；在(4,16)内<log2x；在(16,20)内>log2x.答案>log2x15某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型yax2bxc，乙选择了模型ypqxr，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？解依题意，得即解得所以甲：y1x2x52，又，得pq2pq12，得pq3pq24，得q2.将q2代入式，得p1.将q2，p1代入式，得r50，所以乙：y22x50.计算当x4时，y164，y266；当x5时，y172，y282；当x6时，y182，y2114.可见，乙选择的模型较好