2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念.docx

52.1三角函数的概念1能用三角函数的定义进行计算2熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号，并能进行简单的应用3会利用诱导公式一进行有关计算1任意角的三角函数的定义前提如图，设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)定义正弦点P的纵坐标y叫做的正弦，记作sin，即ysin余弦点P的横坐标x叫做的余弦，记作cos，即xcos正切把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作tan，即tan(x0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为正弦函数ysinx(xR)余弦函数ycosx(xR)正切函数ytanx温馨提示：(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定(3)要明确sinx是一个整体，不是sin与x的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的2三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦3诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等1若角与的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin与sin，cos与cos，tan与tan之间有什么关系？答案sinsin，coscos，tantan2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若720，则coscos.()(2)若sinsin，则.()(3)已知是三角形的内角，则必有sin>0.()(4)任意角的正弦值sin、余弦值cos、正切值tan都有意义()答案(1)(2)(3)(4)题型一任意角的三角函数的定义及其应用【典例1】(1)若角的终边经过点P(5，12)，则sin_，cos_，tan_.(2)已知角的终边落在直线xy0上，求sin，cos，tan的值思路导引利用三角函数的定义求解解析(1)x5，y12，r13，则sin，cos，tan.(2)直线xy0，即yx，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(1，)，则r2，所以sin，cos，tan；在第四象限取直线上的点(1，)，则r2，所以sin，cos，tan.答案(1)(2)见解析求任意角的三角函数值的2种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值方法二：第一步，取点：在角的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)；第二步，计算r：r|OP|；第三步，求值：由sin，cos，tan(x0)求值在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用 针对训练1已知角的终边经过点P(1，1)，则sin的值为()A.B.C.D解析的终边经过点P(1，1)，sin.答案D2已知角的终边与单位圆的交点为(y<0)，则sintan_.解析的终边与单位圆的交点为，2y21，即y2.又y<0，y.sin，tan，sintan.答案题型二三角函数在各象限的符号问题【典例2】判断下列各式的符号：(1)sin105cos230；(2)cos3tan.思路导引利用三角函数在各象限的符号判断解(1)因为105，230分别为第二、三象限角，所以sin105>0，cos230<0.于是sin105cos230<0.(2)因为<3<，所以3是第二象限角，所以cos3<0，又因为是第三象限角，所以tan>0，所以cos3tan<0.判断三角函数值正负的2个步骤(1)定象限：确定角所在的象限(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断注意：若sin>0，则的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上针对训练3设是第三象限角，且满足sin，则角为第_象限角解析因为是第三象限角，所以2k<<2k，kZ，所以k<<k，kZ，所以角为第二、四象限角又因为sin，所以sin<0，所以为第四象限角答案四题型三诱导公式一的应用【典例3】求下列各式的值：(1)costan；(2)sin810tan1125cos420.思路导引利用诱导公式将角化到0360范围内，再求解解(1)原式costancostan1.(2)原式sin(236090)tan(336045)cos(36060)sin90tan45cos6011.(1)公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等利用它可将大角转化为0,2)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的(2)熟记一些特殊角的三角函数值针对训练4计算下列各式的值：(1)sin(1395)cos1110cos(1020)sin750；(2)sincostan4.解(1)原式sin(436045)cos(336030)cos(336060)sin(236030)sin45cos30cos60sin30.(2)原式sincostan(40)sincos0.课堂归纳小结1正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数2角的三角函数值的符号只与角所在象限有关，角所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”3公式一的理解(1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相等，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律(2)公式一的作用利用诱导公式一可把负角的三角函数化为02间角的三角函数，亦可把大于2的角的三角函数化为02间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.1已知角的终边经过点(4,3)，则cos()A.B.CD解析x4，y3，r5，cos，故选D.答案D2sin的值等于()A.BC.D解析sinsinsin，选A.答案A3若sin<0且tan>0，则的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析由于sin<0，则的终边在第三或第四象限或y轴非正半轴上，又tan>0，则的终边在第一或第三象限，所以的终边在第三象限答案C4已知角的终边经过点P(m，6)，且cos，则m_.解析cos<0，角应为第二或第三象限角，又y6<0，为第三象限角，m<0又，m8.答案85求值：tan405sin450cos750.解tan405sin450cos750tan(36045)sin(36090)cos(72030)tan45sin90cos3011课后作业(三十九)复习巩固一、选择题1已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则tan的值为()ABCD解析由正切函数的定义可得，tan.答案A2若<<0，则点Q(cos，sin)位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析因为<<0，所以cos>0，且sin<0，所以点Q(cos，sin)在第四象限，选D.答案D3若角的终边过点(2sin30，2cos30)，则sin的值等于()A.BCD解析x2sin301，y2cos30，r2，sin，选C.答案C4若sin<cos，且sincos<0，则角的终边位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析由条件可知cos>0，sin<0，则为第四象限角，故选D.答案D5给出下列函数值：sin(1000)；cos；tan2，其中符号为负的个数为()A0 B1 C2 D3解析sin(1000)sin(108080)sin80>0cos>0<2<，tan2<0，只有符合，选B.答案B二、填空题6tan等于_解析tantantan.答案7设a<0，角的终边经过点P(3a,4a)，则sin2cos的值等于_解析a<0，角的终边经过点P(3a,4a)，点P与原点的距离r5a，sin，cos，sin2cos.答案8若角的终边落在直线xy0上，则_.解析角的终边在直线xy0上角的终边落在二、四象限角平分线上，且|sin|cos|若在第二象限，sin>0，cos<00若在第四象限，sin<0，cos>00.答案0三、解答题9化简下列各式：(1)sincoscos(5)tan；(2)a2sin810b2cos9002abtan1125.解(1)原式sincoscos110111.(2)原式a2sin90b2cos1802abtan(336045)a2b22abtan45a2b22ab(ab)2.10已知角的终边上一点P(，m)，且sinm.求cos与tan.解由题意得sinm，若m0，则cos1，tan0.若m0，则m.当m时，cos，tan；当m时，cos，tan.综合运用11sin2cos3tan5的值()A大于0 B小于0C等于0 D不能确定解析2 rad为第二象限角，sin2>0；3 rad为第二象限角，cos3<0；5 rad为第四象限角，tan5<0，sin2cos3tan5>0，选A.答案A12若ABC的两内角A，B满足sinAcosB<0，则此三角形的形状为()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定解析由题意知0<A<，0<B<，sinA>0.又sinAcosB<0，cosB<0，<B<，该三角形为钝角三角形答案B13已知角的终边经过点(3a9，a2)，且sin>0，cos0，则实数a的取值范围是_解析点(3a9，a2)在角的终边上，sin>0，cos0，解得2<a3.答案(2,314sincostan的值为_解析sincostansincostansincostan10.答案015已知，且lgcos有意义(1)试判断角是第几象限角；(2)若角的终边上一点是M，且|OM|1(O为坐标原点)，求m的值及sin的值解(1)因为，得|sin|sin，且sin0，所以sin<0.由lgcos有意义可知cos>0，所以角是第四象限角(2)因为|OM|1，所以2m21，解得m.又是第四象限角，故m<0，从而m.由正弦函数的定义可知，sin.