2019-2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3.2一元二次不等式的应.docx

第2课时一元二次不等式的应用1会解简单的分式不等式2会解不等式恒成立问题3会利用一元二次不等式解决一些实际问题.1如何判断二次函数yax2bxc(a>0)的图象与x轴的相关位置？答案二次函数yax2bxc(a>0)的图象与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax2bxc0的判别式b24ac三种取值情况(>0，0，<0)来确定2若一元二次不等式ax2x1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？答案结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2x1>0的解集为R，则，解得a，所以不存在a使不等式ax2x1>0的解集为R题型一解简单的分式不等式【典例1】解下列不等式：(1)<0；(2)2.思路导引等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求得解(1)由<0，得>0，此不等式等价于(x2)(x1)>0，原不等式的解集为x|x<2或x>1(2)解法一：移项得20，左边通分并化简得0，即0，它的同解不等式为x<2或x5.原不等式的解集为x|x<2或x5解法二：原不等式可化为0，此不等式等价于或解得x5，解得x<2，原不等式的解集为x|x<2或x5(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解针对训练1解下列不等式：(1)0；(2)>1.解(1)原不等式可化为解得x<或x，原不等式的解集为.(2)解法一：原不等式可化为或解得或3<x<，原不等式的解集为.解法二：原不等式可化为>0，化简得>0，即<0，(2x1)(x3)<0，解得3<x<.原不等式的解集为.题型二有关一元二次不等式恒成立的问题【典例2】已知不等式ax2(a1)xa1<0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围思路导引原不等式对所有的实数x都成立，即原不等式(关于x)的解集为R.注意到二次项的系数为参数a，故应分a0与a0两种情况分类讨论解若a0，则原不等式为x1<0，即x>1，不合题意，故a0.令yax2(a1)xa1，原不等式对任意xR都成立，二次函数yax2(a1)xa1的图象在x轴的下方，a<0且(a1)24a(a1)<0，即a<.变式若将本例改为：不等式ax2(a1)xa10的解集为空集，如何求a的取值范围？解不等式ax2(a1)xa10的解集为空集，即不等式ax2(a1)xa1<0的解集为R，也就是不等式ax2(a1)xa1<0对任意的xR恒成立故a的取值范围是a<.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2bxc>0，它的解集为R的条件为一元二次不等式ax2bxc0，它的解集为R的条件为一元二次不等式ax2bxc>0的解集为的条件为针对训练2设a0，不等式ax2xa>0的解集为R，求实数a的取值范围解由题意得，解得：a>.a的取值范围为a>.题型三一元二次不等式的实际应用【典例3】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳锐10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围思路导引(1)按“税收收购总金额税率”可建立y与x的函数关系式；(2)将不等关系用不等式表示，从而求解解(1)降低税率后的税率为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%)万元依题意：y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0<x<10)(2)原计划税收为200a10%20a(万元)依题意得：a(1002x)(10x)20a83.2%，化简得，x240x840，42x2.又0<x<10，0<x2，x的取值范围是0<x2.一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”针对训练3在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲0.1x0.01x2，S乙0.05x0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任解由题意列出不等式S甲0.1x0.01x2>12，S乙0.05x0.005x2>10.分别求解，得x<40，或x>30.x<50，或x>40.由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任课堂归纳小结1解不等式的过程实际上就是不断转化的过程，是同解不等式的逐步代换，基本思路是：代数化、分式整式化、有理化、低次化、低维化，最后转化到可解的常见一元一次不等式、一元二次不等式上来.2.当一元二次不等式ax2bxc>0(a>0)的解集为R时，意味着ax2bxc>0恒成立由图象可知：关于这类恒成立问题只需考虑开口方向与判别式即可.1不等式>0的解集是()Ax|3<x<2 Bx|x>2Cx|x<3或x>2 Dx|x<2或x>3解析不等式>0(x2)(x3)>0的解集是x|x<3或x>2，所以C选项是正确的答案C2若集合Ax|12x13，B，则AB()Ax|1x<0 Bx|0<x1Cx|0x2 Dx|0x1解析Ax|1x1，Bx|0<x2，ABx|0<x1答案B3若不等式x2mx>0的解集为R，则实数m的取值范围是()Am>2 Bm<2Cm<0或m>2 D0<m<2解析由题意得m24<0，即m22m<0，解得0<m<2.答案D4已知不等式x2ax4<0的解集为空集，则a的取值范围是()A4a4 B4<a<4Ca4或a4 Da<4或a>4解析依题意应有a2160，解得4a4，故选A.答案A5某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y300020x0.1x2(0<x<240，xR)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是()A100台 B120台 C150台 D180台解析300020x0.1x225xx250x300000，解得x200(舍去)或x150.答案C课后作业(十四)复习巩固一、选择题1不等式>0的解集是()A.B.C.D.解析>0(4x2)(3x1)>0x>或x<，此不等式的解集为.答案A2不等式<1的解集是()Ax|x>1 Bx|1<x<2C.D.解析原不等式等价于1<0<0(x1)(12x)<0(2x1)(x1)>0，解得x<1或x>.答案C3不等式2的解集是()A.B.C.D.解析原不等式等价于即.答案D4在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A15x30 B12x25C10x30 D20x30解析设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，y40x，xy300，x(40x)300，x240x3000，10x30.答案C5设集合Pm|4<m<0，Qm|mx2mx1<0，xR，则下列关系式成立的是()APQBQPCPQDPQQ解析对Q：若mx2mx1<0对xR恒成立，则：当m0时，1<0恒成立当m0时，解得4<m<0.由得Qm|4<m0，故PQ.答案A二、填空题6不等式3的解集为_解析3300x(2x1)0且x0，解得x<0或x.答案7若不等式x24x3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是_解析由题意，知x24x3m0对一切实数x恒成立，所以(4)243m0，解得m.答案m8若关于x的不等式x2axa>0的解集为R，则实数a的取值范围是_；若关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析由1<0即a24(a)<0得4<a<0；由20即a24(3a)0得a6或a2.答案4<a<0a6或a2三、解答题9解下列分式不等式：(1)1；(2)<0.解(1)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且x0，解得x<或x4.原不等式的解集为.(2)由<0得>0，此不等式等价于(x1)>0，解得x<或x>1，原不等式的解集为.10若不等式(a2)x22(a2)x4<0的解集为R，求实数a的取值范围解当a20，即a2时，原不等式为4<0，所以a2时成立当a20时，由题意得即解得2<a<2.综上所述可知：2<a2.综合运用11在R上定义运算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是_.解析根据定义得(xa)(xa)(xa)1(xa)x2xa2a，又(xa)(xa)<1对任意的实数x都成立，所以x2xa1a2>0对任意的实数x都成立，所以<0，即14(a1a2)<0，解得<a<.答案<a<12若集合Ax|ax2ax1<0，则实数a的值的集合为_解析当a0时，满足题意；当a0时，应满足解得0<a4.综上可知，a值的集合为a|0a4答案a|0a413已知关于x的不等式<0的解集是，则a_.解析<0(ax1)(x1)<0，根据解集的结构可知，a<0且，a2.答案214已知2x3时，不等式2x29xa<0恒成立，则a的取值范围为_解析当2x3时，2x29xa<0恒成立，当2x3时，a<2x29x恒成立令y2x29x.2x3，且对称轴方程为x，ymin9，a<9.a的取值范围为a<9.答案a<915某地区上年度电价为0.8元/kWh，年用电量为a kWh，本年度计划将电价降低到0.55元/kWh至0.75元/kWh之间，而用户期望电价为0.4元/kWh.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)该地区电力的成本价为0.3元/kWh.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注：收益实际用电量(实际电价成本价)解(1)设下调后的电价为x元/kWh，依题意知，用电量增至a，电力部门的收益为y(x0.3)(0.55x0.75)(2)依题意，有整理，得解此不等式，得0.60x0.75.当电价最低定为0.60元/kWh时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.