2019-2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1.1根式.docx

第1课时根式1理解n次方根、n次根式的概念2正确运用根式运算性质化简、求值3体会分类讨论思想、符号化思想的作用1根式的概念一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且nN*.(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为，负数没有偶次方根(3)0的任何次方根都是0，记作0.式子叫做根式，其中n(n>1，且nN*)叫做根指数，a叫做被开方数2根式的性质根据n次方根的意义，可以得到：(1)()na.(2)当n是奇数时，a；当n是偶数时，|a|温馨提示：()n中当n为奇数时，aR；n为偶数时，a0，而()中aR.1若x43，这样的x有几个，如何表示？答案有2个，表示为2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)任意实数的奇次方根只有一个()(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数()(3)当nN*时，()n都有意义()(4)3.()答案(1)(2)(3)(4)题型一根式的意义【典例1】下列说法正确的个数是()16的4次方根是2；的运算结果是2；当n为大于1的奇数时，对任意aR都有意义；当n为大于1的偶数时，只有当a0时才有意义A1B2 C3D4(2)已知m102，则m等于()A.BC.D思路导引利用n次方根的概念求解解析(1)16的4次方根应是2；2，所以正确的应为.(2)m102，m是2的10次方根m.答案(1)B(2)Dn(n>1)次方根的个数及符号的确定(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个(2)根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：当n为偶数时，为非负实数；当n为奇数时，的符号与a的符号一致针对训练116的平方根为_，27的5次方根为_解析(4)216，16的平方根为4.27的5次方根为.答案42若有意义，则实数x的取值范围是_解析要使有意义，则需x20，即x2.因此实数x的取值范围是2，)答案2，)题型二简单根式的化简与求值【典例2】化简下列各式：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .思路导引利用的性质进行化简解(1) 2.(2) |10|10.(3) 3.(4) |ab|根式的化简求值注意以下2点(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论针对训练3计算下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .解(1) 4.(2) |3|3.(3) (1)(1)2.(4) |2xy|题型三有限制条件的根式化简【典例3】设x1,2，化简()4.思路导引借助根式的性质去掉根号并化简解()4()41x2，x10，x20.原式(x1)|x2|(x1)(2x)1.变式若本例中的“x1,2”改为“x2,3”，其他条件不变，化简求值解()4()42x3，x1>0，x20，原式(x1)|x2|x1x22x3.有限制条件根式的化简策略(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负针对训练4若n<m<0，则等于()A2mB2nC2mD2n解析原式|mn|mn|，n<m<0，mn<0，mn>0，原式(mn)(mn)2m.答案C5设2<x<2，求的值解原式|x1|x2|，2<x<2，当2<x<1时，原式(x1)(x2)2x1，当1x<2时，原式x1(x2)3，原式课堂归纳小结1一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况n为奇数时，n次方根只有一个；n为偶数时，正数的n次方根有两个，负数没有偶次方根.2.掌握两个公式：(1)()na；(2)n为奇数，a，n为偶数，|a|1以下说法正确的是()A正数的n次方根是正数B负数的n次方根是负数C0的n次方根是0(nN*)Da的n次方根是解析当n为偶数时，正数的n次方根为一正一负，故A错误；当n为偶数时，负数的n次方根无意义，故B错误；当nN*时，0的n次方根为0，故C正确；当n为偶数，a<0时，无意义，故D错误答案C281的4次方根是()A2B2C3D3解析(3)481，81的4次方根为3.答案D3下列各式正确的是()A. B.aC.Da01解析，|a|，a01，条件为a0.故A、B、D错答案C4已知4a1，则实数a的取值范围是_解析|4a1|4a1，4a10，a.答案5已知ab，求的值解因为ab.所以a，b，所以a0，b0，所以ab0，所以原式|ab|ab(ab)ab0.课后作业(二十五)复习巩固一、选择题1已知x56，则x等于()A.B.CD解析由x56可知x.答案B2下列各式正确的是()A.3 B.aC.2 D.2解析由于3，|a|, 2，故A、B、D错误答案C3.的值是()A0B2(ab)C0或2(ab)Dab解析若ab，则原式abab2(ab)，若a<b，则原式baab0，故选C.答案C4若2<a<3，化简的结果是()A52aB2a5C1D1解析由于2<a<3，所以2a<0,3a>0，所以原式a23a1.故选C.答案C5当有意义时，化简的结果为()A2x5B2x1C1D52x解析由有意义得x2.所以|x2|x3|(2x)(3x)1.答案C二、填空题6若x0，则|x|_.解析x0，原式|x|x|1.答案17化简：(1<b<2)_.解析原式1(1<b<2)答案18若，则实数a的取值范围为_解析|2a1|，12a.因为|2a1|12a，故2a10，所以a.答案三、解答题9化简：(1) (e2.7)；(2) .解(1)原式ee1ee12e5.4.(2)原式|x2|x2|.当x2时，原式(2x)(x2)2x；当2<x<2时，原式(2x)(x2)4；当x2时，原式(x2)(x2)2x.综上，原式10已知a<b<0，n>1，nN*，化简.解a<b<0，ab<0，ab<0.当n是奇数时，原式(ab)(ab)2a；当n是偶数时，原式|ab|ab|(ba)(ab)2a.综合运用11下列式子中成立的是()AaBaCaDa解析要使a有意义，则a0，故a(a)，故选C.答案C12.等于()A4B2C2D4解析(2)(2)4.答案D13化简()2的结果是()A1aB2(1a)Ca1D2(a1)解析有意义，a10，即a1.()2(a1)|1a|(1a)(a1)(a1)(1a)a1，故选C.答案C14设f(x)，若0<a1，则f_.解析f.由于0<a1，所以a.故fa.答案a15求使等式(3a)成立的实数a的取值范围解|a3|.要使等式(3a)成立，必须有即3a3.故a的取值范围是3,3