2019-2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.2对数函数的性质及其应用.docx

第2课时对数函数的性质及其应用1掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法2会解简单的对数不等式3掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法4了解反函数的概念及它们的图象特点1对数函数值的符号规律(1)a>1时，当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0.(2)0<a<1时，当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<0.可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于1或同小于1，“异”指一个大于1一个小于1.2对称关系(1)函数y与ylogax的图象关于x轴对称(2)函数yax与ylogax的图象关于直线yx对称3反函数指数函数yax(a>0，且a1)和对数函数ylogax(a>0，且a1)互为反函数1函数yax与ylogax中，它们的定义域、值域、单调性有何关系？答案指数函数yax的定义域R是函数ylogax的值域，函数yax的值域是函数ylogax的定义域，且a>1时，yax与ylogax均为增函数，0<a<1时均为减函数2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ylog0.2x的图象与函数ylog0.2x的图象关于y轴对称()(2)若0<a<1，b>1，则logab<0.()(3)函数ylog3x与y3x互为反函数()(4)若logax>logbx，则a>b.()答案(1)(2)(3)(4)题型一比较对数值的大小【典例1】比较下列各组中两个值的大小：(1)ln0.3，ln2；(2)log30.2，log40.2；(3)log3，log3；(4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a1)思路导引利用对数单调性比较大小解(1)因为函数ylnx是增函数，且0.3<2，所以ln0.3<ln2.(2)解法一：因为0>log0.23>log0.24，所以<，即log30.2<log40.2.解法二：如图所示，由图可知log40.2>log30.2.(3)因为函数ylog3x是增函数，且>3，所以log3>log331.因为函数ylogx是增函数，且>3，所以log3<log1.所以log3>log3.(4)当a>1时，函数ylogax在(0，)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2；当0<a<1时，函数ylogax在(0，)上是减函数，又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性，如典例1(1)(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化，如典例1(2)(3)底数和真数都不同，找中间量，如典例1(3)(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论，如典例1(4)针对训练1比较下列各题中两个值的大小：(1)lg6，lg8；(2)log0.56，log0.54；解(1)因为函数ylgx在(0，)上是增函数，且6<8，所以lg6<lg8.(2)因为函数ylog0.5x在(0，)上是减函数，且6>4，所以log0.56<log0.54.(4)取中间值1，log23>log221log55>log54，log23>log54.题型二求解对数不等式【典例2】(1)已知loga>1，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x1)，求x的取值范围解(1)由loga>1得loga>logaa.当a>1时，有a<，此时无解当0<a<1时，有<a，从而<a<1.a的取值范围是.(2)函数ylog0.7x在(0，)上为减函数，由log0.72x<log0.7(x1)得解得x>1.x的取值范围是(1，)常见对数不等式的2种解法(1)形如logax>logab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助ylogax的单调性求解. 针对训练2不等式log2(2x3)>log2(5x6)的解集为()A(，3) B.C.D.解析由得<x<3.答案D3已知loga(3a1)恒为正，求a的取值范围解由题意知loga(3a1)>0loga1.当a>1时，ylogax是增函数，解得a>，a>1；当0<a<1时，ylogax是减函数，解得<a<.<a<.综上所述，a的取值范围是(1，).题型三形如ylogaf(x)的函数的单调性【典例3】求函数ylog0.7(x23x2)的单调区间思路导引先求定义域，再根据复合函数的单调性求解解因为x23x2>0，所以x<1或x>2.所以函数的定义域为(，1)(2，)，令tx23x2，则ylog0.7t，显然ylog0.7t在(0，)上是单调递减的，而tx23x2在(，1)，(2，)上分别是单调递减和单调递增的，所以函数ylog0.7(x23x2)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(2，)求对数型函数单调区间的方法(1)求形如ylogaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)>0，先求定义域(2)求此类型函数单调区间的两种思路：利用定义求解；借助函数的性质，研究函数tf(x)和ylogat在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定ylogaf(x)的单调性针对训练4求函数y (1x2)的单调区间解要使y (1x2)有意义，则1x2>0，x2<1，则1<x<1，因此函数的定义域为(1,1)令t1x2，x(1,1)当x(1,0时，x增大，t增大，y t减小，x(1,0时，y (1x2)是减函数；当x0,1)时，y (1x2)是增函数故函数y (1x2)的单调增区间为0,1)，函数的单调递减区间为(1,0.题型四与对数函数有关的值域问题【典例4】求下列函数的值域：(1)ylog2(|x|4)；(2)f(x)log2(x24x12)思路导引求出真数的范围，利用对数函数的单调性求解解(1)因为|x|44，所以log2(|x|4)log242，所以函数的值域为2，)(2)因为x24x12(x2)21616，所以0<x24x1216，故log2(x24x12)log2164，函数的值域为(，4变式若本例(2)函数改为“f(x)3x，x2,4”，如何求解？解令tx，则yt23t2，2x4，即2t1.可知y2在2，1上单调递减当t2时，y取最大值为10；当t1时，y取最小值为4.原函数的值域为4,10对数型函数值域的求解技巧(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解(2)形如ylogaf(x)，yaf(x)2bf(x)c型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧针对训练5求函数ylog(x24x3)的值域解由x24x3>0，解得1<x<3，函数的定义域是(1,3)设ux24x3(1<x<3)，则u(x2)21.1<x<3，0<u1，则y0，即函数的值域是0，)6求函数ylog2(2x)log2x的最大值和最小值解ylog2(2x)log2x(1log2x)log2x2.x2，即1log2x1，当log2x时，ymin；当log2x1时，ymax2.课堂归纳小结1比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0<a<1两类进行讨论.2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.1若函数yf(x)是函数y3x的反函数，则f的值为()Alog23Blog32C.D.解析由题意可知f(x)log3x，所以flog3log32，故选B.答案B2设alog43，blog53，clog45，则()Aa>c>bBb>c>aCc>b>aDc>a>b解析alog43<log441；clog45>log441，由对数函数的性质可知log53<log43，b<a<c，故选D.答案D3关于函数f(x) (12x)的单调性的叙述正确的是()Af(x)在内是增函数Bf(x)在内是减函数Cf(x)在内是增函数Df(x)在内是减函数解析由于底数(0,1)，所以函数f(x) (12x)的单调性与y12x的单调性相反由12x>0，得x<，所以f(x)log(12x)的定义域为.因为y12x在(，)内是减函数，所以f(x)在内是增函数，故选C.答案C4不等式的解集为_解析由得2<x<1.答案x|2<x<15求函数y(log2x)24log2x5(1x2)的最值解令tlog2x，则0t1且yt24t5，由二次函数的图象可知，函数yt24t5在0,1上为减函数，2y5.故ymax5，ymin2.课内拓展课外探究对数函数与函数的单调性、奇偶性对数函数本身不具有奇偶性，但由对数函数复合而成的某些函数具有奇偶性，这类函数的单调性由对数函数的单调性决定【典例】已知函数f(x)loga(a>0，且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求使f(x)>0的x的取值范围解(1)由>0，得1<x<1，故f(x)的定义域为(1,1)(2)f(x)logalogaf(x)，又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，f(x)是奇函数(3)当a>1时，由loga>0loga1，得>1.所以0<x<1.当0<a<1时，由loga>0loga1，得0<<1，所以1<x<0.故当a>1时，x的取值范围是x|0<x<1；当0<a<1时，x的取值范围是x|1<x<0点评对数函数是一类具有特殊性质的初等函数，利用函数的图象和性质可以研究符合对数函数的图象性质的综合问题课后作业(三十二)复习巩固一、选择题1若lg(2x4)1，则x的取值范围是()A(，7B(2,7C7，)D(2，)解析lg(2x4)1，0<2x410，解得2<x7，x的取值范围是(2,7，故选B.答案B2已知实数alog45，b0，clog30.4，则a，b，c的大小关系为()Ab<c<aBb<a<cCc<a<bDc<b<a解析由题知，alog45>1，b01，clog30.4<0，故c<b<a.答案D3已知，则()An<m<1Bm<n<1C1<m<nD1<n<m解析因为0<<1，所以m>n>1，故选D.答案D4函数f(x)的单调递增区间是()A.B(0,1C(0，)D1，)解析f(x)的图象如右图所示，由图象可知单调递增区间为1，)答案D5函数f(x)log2(x24x12)的值域为()A3，)B(3，)C(，3)D(，3解析ux24x12(x2)288，且2>1f(x)log283.答案A二、填空题6设函数yax的反函数为f(x)，则f(a1)与f(2)的大小关系是_解析因为yax的反函数为f(x)，f(x)logax.当a>1时，a1>2, f(x)logax是单调递增函数，则f(a1)>f(2)；当0<a<1时，a1<2, f(x)logax是单调递减函数，则f(a1)>f(2)综上f(a1)>f(2)答案f(a1)>f(2)7设a>1，函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，则a_.解析a>1，f(x)logax在a,2a上递增，loga(2a)logaa，即loga2，2，a4.答案48函数f(x) (|x|)的单调递增区间为_解析由|x|>0，得<x<，所以函数f(x)的定义域为(，)函数u|x|在0，)上为减函数，且函数yu为减函数，函数f(x)的单调递增区间为0，)答案0，)三、解答题9求函数f(x)log2(4x)log4，x的值域解f(x)log2(4x)log4(log2x2)(log2x)2log2x2设log2xt.x，t1,2，则有y(t2t2)，t1,2，因此二次函数图象的对称轴为t，它在上是增函数，在上是减函数，当t时，有最大值，且ymax.当t2时，有最小值，且ymin2.f(x)的值域为.10已知yloga(2ax)在0,1上是x的减函数，求a的取值范围解设t2ax，则ylogat.a>0，t2ax为定义域上的减函数，由复合函数单调性，得ylogat在定义域上为增函数，a>1，又函数t2ax>0在0,1上恒成立，则2a0即可a2.综上，a的取值范围是(1,2综合运用11函数f(x)lg的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数解析f(x)的定义域为R，f(x)f(x)lglglglg10，f(x)为奇函数，选A.答案A12若函数f(x)loga(2x1)(a>0，且a1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调减区间是()A.B.C(，0)D(0，)解析当x时，2x1(0,1)，所以0<a<1.又因为f(x)的定义域为，y2x1在上为增函数，所以f(x)的单调减区间为.答案B13已知f(x)lg，x(1,1)，若f(a)，则f(a)_.解析因为f(x)lglg1，所以f(x)f(x)0，f(a)f(a)0，故f(a).答案14函数y的单调递减区间是_解析ylogu，ux24x12.令ux24x12>0，得2<x<6.x(2,2)时，ux24x12为增函数，ylogu在定义域上为减函数，函数的单调减区间是(2,2)答案(2,2)15已知函数f(x)loga(1x)loga(x3)，其中0<a<1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为4，求a的值解(1)要使函数有意义，则有解得3<x<1，所以函数的定义域为(3,1)(2)函数可化为：f(x)loga(1x)(x3)loga(x22x3)loga(x1)24，因为3<x<1，所以0<(x1)244.因为0<a<1，所以loga(x1)24loga4，即f(x)minloga4，由loga44，得a44，所以a4.