2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.1.2蝗制.docx

51.2弧度制1了解弧度制2能进行角度与弧度的互化3能利用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式进行求解1角的单位制(1)角度制规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制(2)弧度制我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为 rad，那么|.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.2角度与弧度的换算3扇形的弧长公式及面积公式温馨提示：(1)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：l|r，|，r；S|r2，|.1在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？答案不相等这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同2扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？答案扇形的面积公式与三角形的面积公式类似实际上，扇形可看作是一个曲边三角形，弧是底，半径是底上的高3判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)1弧度1.()(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值()(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关()(4)与45终边相同的角可以写成2k45，kZ.()答案(1)(2)(3)(4)题型一角度与弧度的互化【典例1】将下列角度与弧度进行互化(1)20；(2)15；(3)；(4).思路导引角度与弧度的互化关键抓住1 rad和1 rad.解(1)20.(2)15.(3)180105.(4)180396.角度制与弧度制互化的原则牢记180 rad，充分利用1 rad和1 rad进行换算针对训练1630化为弧度为_解析630630.答案23 rad，它是第_象限角解析根据角度制与弧度制的换算，1 rad，则3 rad171.9.分析可得，是第三象限角答案三题型二用弧度制表示终边相同的角【典例2】已知角2010.(1)将改写成2k(kZ,0<2)的形式，并指出是第几象限的角；(2)在区间5，0)上找出与终边相同的角思路导引利用终边相同的角的集合表示解(1)2010201052，又<<，与终边相同，是第三象限的角(2)与终边相同的角可以写成2k(kZ)，又5<0，当k3时，；当k2时，；当k1时，.用弧度制表示终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的集合用弧度可表示为|2k，kZ，这里应为弧度数针对训练3已知800.(1)把改写成2k(kZ,0<2)的形式，并指出是第几象限角；(2)求，使与的终边相同，且.解(1)8003360280，280，800(3)2.与角终边相同，是第四象限角(2)与终边相同的角可写为2k，kZ的形式，而与的终边相同，2k，kZ，又，<2k<，kZ，解得k1，2.题型三扇形的弧长公式及面积公式的应用【典例3】已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形的圆心角的弧度数思路导引利用扇形的弧长公式l|r及面积公式Slr|r2求解解设扇形的圆心角的弧度数为(0<<2)，弧长为l，所在圆的半径为r.依题意得消去l，得r25r40，解得r1或r4.当r1时，l8，此时8 rad>2 rad，故舍去；当r4时，l2，此时 rad，满足题意故 rad.变式若本例条件改为：“已知扇形AOB的周长为10 cm”，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长解设扇形圆心角的弧度数为(0<<2)，弧长为l，半径为r，面积为S，由l2r10得l102r，Slr(102r)r5rr22，0<r<5.当r时，S取得最大值，这时l1025，2.故该扇形的面积的最大值为cm2，取得最大值时圆心角为2 rad，弧长为5 cm.弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，是扇形的圆心角)(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解针对训练4已知扇形的圆心角为108，半径等于30 cm，求扇形的弧长和面积解108108，所以扇形的弧长为106(cm)，扇形的面积为302270(cm2)课堂归纳小结1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式易知：度数rad弧度数，弧度数度数3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.1下列说法中，错误的是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1的角是周角的，1 rad的角是周角的C1 rad的角比1的角要大D用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关解析“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以A正确.1的角是周角的，1 rad的角是周角的，所以B正确因为1 rad>1，所以C正确用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，所以D错误答案D22100化成弧度是()A.B10 C.D.解析21002100.答案A3角的终边所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析4，的终边位于第四象限，故选D.答案D4在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是_rad.解析根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为2 rad.答案25已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为_ cm2.解析设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l2r，从而扇形的周长为l2r4r8，解得r2，则l4.故扇形的面积Slr424 cm2.答案4课后作业(三十八)复习巩固一、选择题1转化为角度是()A300 B600C900 D1200解析由于600，所以选B.答案B2与30角终边相同的角的集合是()A.B.C.D.解析与30角终边相同的角表示为k36030，kZ，化为弧度为2k，kZ，选D.答案D3下列说法正确的是()A在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系B每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应C用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同D120的弧度数是解析A项中，零角的弧度数为0，故A项错误；B项是正确的；C项中，用角度制和弧度制度量零角时，单位不同，但数量相同(都是0)，故C项错误；120对应的弧度数是，故D项错误故选B.答案B4已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A2 B4 C6 D8解析设扇形所在圆的半径为R，则24R2，R21，R1.扇形的弧长为414，扇形的周长为246.故选C.答案C5集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析当k2m，mZ时，2m2m，mZ；当k2m1，mZ时，2m2m，mZ.故选C.答案C二、填空题6将1485表示成2k(0<2，kZ)的形式是_解析14855360315，而315，应填10.答案107若扇形的半径为1，圆心角为3弧度，则扇形的面积为_解析由于扇形面积Sr2312，故扇形的面积为.答案8已知两角和为1弧度，且两角差为1，则这两个角的弧度数分别是_解析设两个角的弧度数分别为x，y.因为1 rad，所以解得所以所求两角的弧度数分别为，.答案，三、解答题9已知1690.(1)把写成2k(kZ，0,2)的形式；(2)求，使与终边相同，且(4，4)解(1)16901440250436025042.(2)与终边相同，2k(kZ)又(4，4)，4<2k<4，<k<(kZ)k2，1,0,1.的值是，.10已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求：(1)这个圆心角所对的弧长；(2)这个扇形的面积解(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，所以半径r，所以这个圆心角所对的弧长l.(2)由(1)得扇形的面积S.综合运用11把表示成2k(kZ)的形式，使|最小的值是()ABC.D.解析2，与是终边相同的角，且此时是最小的答案A12已知集合A|2k(2k1)，kZ，B|44，则AB等于()AB|4C|0 D|4，或0解析A集合中满足B集合范围的只有k0或k1的一部分，即只有D选项满足故选D.答案D13若角，的终边关于直线yx对称，且，则在04内满足要求的_.解析由角，的终边关于直线yx对称，及，可得2k2k，令k0,1可得结果答案，14圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的_倍解析设原来圆的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为，则现在的圆的半径为3r弧长为l，设弧所对的圆心角为，于是lr3r，.答案15如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长解设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则tt2.解得t4.所以第一次相遇时所用的时间是4秒第一次相遇时点P已经运动到角4的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角的终边与圆交点的位置，所以点P走过的弧长为4，点Q走过的弧长为44.