2019-2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.2.2指数函数的性质及其应用.docx

第2课时指数函数的性质及其应用1掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断2能借助指数函数图象及单调性比较大小3会解简单的指数方程、不等式4了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法1指数函数值与1的大小关系(1)a>1时，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1.(2)0<a<1时，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1.2对称关系函数yax与yax的图象关于y轴对称3图象位置关系底数a的大小决定了图象相对位置的高低(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”作出直线x1，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序(2)在y轴左侧，图象正好相反如图所示的指数函数的底数的大小关系为0<d<c<1<b<a.1指数函数yax(a>0且a1)的函数值随自变量有怎样的变化规律？答案当a>1时，若x>0，则y>1；若x<0，则0<y<1.当0<a<1时，若x>0，则0<y<1；若x<0，则y>12判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若0.3a>0.3b，则a>b.()(2)函数y3x2在0，)上为增函数()(3)函数y2在其定义域上为减函数()(4)若am>1，则m>0.()答案(1)(2)(3)(4)题型一利用指数函数的单调性比较大小【典例1】比较下列各组数的大小：(1)0.70.3与0.70.4；(2)2.51.4与1.21.4；(3)1.90.4与0.92.4.思路导引(1)利用指数函数的单调性比较；(2)利用指数函数的图象比较；(3)借助中间量1进行比较解(1)y0.7x在R上为减函数，又0.3>0.4，0.70.3<0.70.4.(2)在同一坐标系中作出函数y2.5x与y1.2x的图象，如图所示由图象可知2.51.4>1.21.4.(3)1.90.4>1.901，092.4<0.901，1.90.4>0.92.4.比较幂的大小的3种类型及方法(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如0或1)来比较针对训练1已知a0.80.7，b0.80.9，c1.20.8，则a，b，c的大小关系是()Aa>b>cBb>a>cCc>b>aDc>a>b解析函数y0.8x在R上为减函数，0.80.7>0.80.9，即a>b.又0.80.7<1,1.20.8>1，0.80.7<1.20.8，即a<c.c>a>b.选D.答案D题型二解简单的指数不等式【典例2】(1)解不等式：3x12；(2)已知ax23x1<ax6(a>0，且a1)，求x的取值范围思路导引(1)化为同底的指数不等式，再利用单调性求解；(2)分a>1与0<a<1两种情况解不等式解(1)21，原不等式可以转化为3x11.yx在R上是减函数，3x11，x0.故原不等式的解集是x|x0(2)分情况讨论：当0<a<1时，函数f(x)ax(a>0，且a1)在R上是减函数，x23x1>x6，x24x5>0，解得x<1或x>5；当a>1时，函数f(x)ax(a>0，且a1)在R上是增函数，x23x1<x6，x24x5<0，解得1<x<5.综上所述，当0<a<1时，x<1或x>5；当a>1时，1<x<5.指数不等式的求解策略(1)形如ax>ay的不等式：可借助yax的单调性求解如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况讨论(2)形如ax>b的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解针对训练2已知32x10.5，求实数x的取值范围解由32x10.5，得32x130.5.函数y3x在R上为增函数，2x10.5，得x.故x的取值范围是.3若a5x>ax7(a>0且a1)，求x的取值范围解当a>1时，a5x>ax7，且函数yax为增函数，5x>x7，解得x<.当0<a<1时，a5x>ax7，且函数yax为减函数，5x<x7，解得x>.综上所述，当a>1时，x的取值范围为.当0<a<1时，x的取值范围为.题型三指数型函数的单调性【典例3】已知函数f(x)x22x.(1)判断函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)的值域思路导引由函数ux22x和函数yu的单调性判断解(1)令ux22x，则原函数变为yu.ux22x(x1)21在(，1上单调递减，在1，)上单调递增，又yu在(，)上单调递减，yx22x在(，1上单调递增，在1，)上单调递减(2)ux22x(x1)211，yu，u1，)，0<u13，原函数的值域为(0,3变式若本例“f(x)x22x”改为“f(x)2|2x1|”，其他条件不变，如何求解？解(1)设u|2x1|，由函数y2u和u|2x1|的定义域为R，故函数y2|2x1|的定义域为R.u|2x1|在上单调递减，上单调递增，而y2u是增函数，y2|2x1|在上单调递减，在上单调递增(2)u|2x1|0，2u1.原函数的值域为1，)指数型函数单调性的解题技巧(1)关于指数型函数yaf(x)(a>0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性它由两个函数yau，uf(x)复合而成(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过f(u)和(x)的单调性，利用“同增异减”的原则，求出yf(x)的单调性，即若yf(u)与u(x)的单调性相同(同增或同减)，则yf(x)为增函数，若yf(u)与u(x)的单调性相反(一增一减)，则yf(x)为减函数针对训练4求函数f(x)3x22x3的单调区间解由题意可知，函数yf(x)3x22x3的定义域为实数集R.设ux22x3(xR)，则y3u，故原函数是由ux22x3与y3u复合而成y3u是增函数，而ux22x3(x1)24在x(，1上是增函数，在1，)上是减函数f(x)的单调递增区间为(，1，单调递减区间为1，).题型四指数函数的实际应用【典例4】某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求yf(x)的表达式，并写出此函数的定义域解现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为2002005%200(15%)；经过2年后木材的蓄积量为200(15%)200(15%)5%200(15%)2万立方米；经过x年后木材的蓄积量为200(15%)x万立方米故yf(x)200(15%)x，xN*.解决指数函数应用题的流程(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式(3)解模：运用数学知识解决问题(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论针对训练5春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了_天解析假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y2x1，当x20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半答案19课堂归纳小结1比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am<c且c<bn，则am<bn；若am>c且c>bn，则am>bn.2解简单指数不等式问题的注意点(1)形如ax>ay的不等式，可借助yax的单调性求解如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解3研究yaf(x)型单调区间时，要注意a>1还是0<a<1.当a>1时，yaf(x)与f(x)单调性相同当0<a<1时，yaf(x)与f(x)单调性相反.1下列判断正确的是()A2.52.5>2.53B0.82<0.83C2<D0.90.3>0.90.5解析函数y0.9x在R上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.答案D2若2a1<32a，则实数a的取值范围是()A(1，) B.C(，1) D.解析函数yx在R上为减函数，2a1>32a，a>.答案B3设<b<a<1，则()Aaa<ab<baBaa<ba<abCab<aa<baDab<ba<aa解析由已知条件得0<a<b<1，ab<aa，aa<ba，ab<aa<ba.答案C4函数y1x的单调增区间为()A(，)B(0，)C(1，)D(0,1)解析设t1x，则yt，则函数t1x的递减区间为(，)，即为y1x的递增区间答案A5已知函数f(x)2x22x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在0,3上的值域解(1)函数y2x22x的定义域是R.令ux22x，则y2u.当x(，1时，函数ux22x为增函数，函数y2u是增函数，所以函数y2x22x在(，1上是增函数当x1，)时，函数ux22x为减函数，函数y2u是增函数，所以函数y2x22x在1，)上是减函数综上，函数y2x22x的单调减区间是1，)，单调增区间是(，1(2)由(1)知f(x)在0,1上单调递增，在1,3上单调递减，且f(0)1，f(1)2，f(3)，所以f(x)maxf(1)2，f(x)minf(3)，所以f(x)的值域为.课内拓展课外探究指数函数与函数的单调性、奇偶性指数函数本身不具有奇偶性，但由指数函数复合而成的某些函数具有奇偶性，这类复合函数的单调性由指数函数的单调性决定1“yf(ax)”型函数的单调性【典例1】如果函数ya2x2ax1(a>0，且a1)在1，1上有最大值14，试求a的值解令tax(t>0)，则原函数可化为y(t1)22，其图象的对称轴为直线t1.若a>1，因为x1,1，所以t，则y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3或a5(舍去)若0<a<1，因为x1,1，所以t，则y(t1)22在上单调递增，所以ymax2214，解得a或a(舍去)综上可知，a的值为3或.点评解决二次函数与指数函数的综合问题，本质上考查的还是闭区间上的二次函数的最值问题在处理时可以利用换元法将指数函数换成tax的形式，再利用定义域和函数yax的单调性求出t的范围，此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了2“yf(ax)”型函数的奇偶性【典例2】设函数f(x)，(1)证明函数f(x)是奇函数；(2)证明函数f(x)在(，)内是增函数；(3)求函数f(x)在1,2上的值域解(1)证明：函数的定义域为R，关于原点对称f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数(3)因为函数f(x)在(，)内是增函数，所以函数f(x)在1,2上也是增函数，所以f(x)minf(1)，f(x)maxf(2).所以函数f(x)在1,2上的值域为.点评指数函数是一类具有特殊性质和实际应用价值的初等函数，利用函数的图象和性质可以研究符合指数函数的图象与性质的综合问题课后作业(二十八)复习巩固一、选择题1若函数f(x)(12a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.解析由已知，得0<12a<1，解得0<a<，即实数a的取值范围是.故选B.答案B2若0.72x10.7x24，则x的取值范围是()A1,3B(，13，)C3,1D(，31，)解析函数y0.7x在R上为减函数，且0.72x10.7 x24，2x1x24，即x22x30.解得1x3，故选A.答案A解析构造指数函数yx(xR)，由该函数在定义域内单调递减，可得b<c；又yx(xR)与yx(xR)之间有如下结论：当x>0时，有x>x，故，a>c，故a>c>b.答案A4设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x<0时，f(x)()Aex1Bex1Cex1Dex1解析由题意知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x<0时，x>0，则f(x)ex1f(x)，得f(x)ex1.故选D.答案D5已知函数f(x)a2x(a>0且a1)，当x>2时，f(x)>1，则f(x)在R上()A是增函数B是减函数C当x>2时是增函数，当x<2时是减函数D当x>2时是减函数，当x<2时是增函数解析令2xt，则t2x是减函数，因为当x>2时，f(x)>1，所以当t<0时，at>1.所以0<a<1，所以f(x)在R上是增函数，故选A.答案A二、填空题6满足方程4x2x20的x值为_解析设t2x(t>0)，则原方程化为t2t20，t1或t2.t>0，t2舍去t1，即2x1，x0.答案07函数y3x22x的值域为_解析设ux22x，则y3u，ux22x(x1)211，所以y3u31，所以函数y3x22x的值域是.答案8用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗_次解析经过第一次漂洗，存留量为总量的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的2，经过第三次漂洗，存留量为原来的3，经过第x次漂洗，存留量为原来的x，故解析式为yx.由题意，x，4x100,2x10，x4，即至少漂洗4次答案4三、解答题9某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)(参考数据：1.01291.113,1.012101.127)解(1)1年后该城市人口总数为：y1001001.2%100(11.2%)；2年后该城市人口总数为：y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2；3年后该城市人口总数为：y100(11.2%)3；x年后该城市人口总数为：y100(11.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y100(11.2%)101001.01210112.7(万人)10已知函数f(x)ax24x3.(1)若a1时，求函数f(x)的单调增区间；(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值解(1)当a1时，f(x)x24x3，令g(x)x24x3(x2)27，由于g(x)在(2，)上递减，yx在R上是减函数，f(x)在(2，)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(2，)(2)令h(x)ax24x3，f(x)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1；因此必有解得a1，故当f(x)有最大值3时，a的值为1.综合运用11函数f(x)(a>0，且a1)是R上的减函数，则a的取值范围是()A(0,1) B. C. D.解析由单调性定义，f(x)为减函数应满足：，即a<1，故选B.答案B12函数y32x23x1，x1，)的值域为_解析令3xt，由x1，)，得t3，)yt22t1(t1)22(31)2214.故所求函数的值域为14，)答案14，)13要使yx1m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是_解析解法一：函数yx图象向右平移1个单位得到函数yx1的图象(如图所示过点(0,2)，当m<0时，再向下平移|m|个单位就可以得到函数yx1m的图象要使yx1m的图象不经过第一象限，需要有m2.解法二：由题意得，因为0<<1，所以函数yx1m是减函数，由函数图象不经过第一象限知，当x0时，y2m0，解得m2，故m的取值范围是(，2答案(，215已知定义域为R的函数f(x)a(aR)是奇函数(1)求a的值；(2)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明你的结论；(3)求函数f(x)在R上的值域解(1)若存在实数a使函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)0，得a1.当a1时，f(x)1.f(x)1111f(x)，f(x)为R上的奇函数存在实数a1，使函数f(x)为R上的奇函数(3)f(x)1中，3x1(1，)，(0,2)f(x)的值域为(1,1)