中考数学总复习一点通(代数部分).doc

第一部分代数1-1 实数的运算知识考点：实数的运算贯穿于初中数学的始终，是学好初中代数的基础。熟练掌握实数的运算法则、运算律以及运算顺序并能正确、灵活地运用它们解决计算问题是学好数学的关键。精典例题：【例1】填空：1111 ； ； ；（为正整数） ； ； ； 。分析： （1）根据同号两数、异号两数相加、减、乘、除的法则，先确定符号，再算绝对值。（2）多个因数相乘时，由负因数个数的奇偶先定符号，再将绝对值相乘，乘方时注意负数的偶次方为正，奇次方为负，先乘方，再乘除。（3）合理运用乘法分配律和使用可使运算显得更加简便。答案：4、1、1、5、6、4096、【例2】计算：（1） （2）（3）分析： （1）题可将改写成，然后用加法的交换律、结合律将整数和分数分别放在一起便得结果；（2）题善于使用乘法分配律的顺逆两用，可使运算简便；（3）题注意混合运算的顺序，不能先算。答案：（1）11109；（2）110；（3）【例3】已知，求的值。分析：利用0，0，0（为自然数）等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得、的值，代入后本题得以解决。答案：3探索与创新：【问题一】下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第个图形是由个正方形组成的，通过观察可以发现：（1）第四个图形中火柴棒的根数是 ； （2）第个图形中火柴棒的根数是 。分析：观察各个图形的根数与图形个数之间的关系，并由此归纳出第个图形中火柴棒的根数。答案：（1）13；（2）【问题二】有一列数1、2、3、4、5、6、，当按顺序从第2个数到第6个数时，共数了 个数；当按顺序从第个数到第个数（）时，共数了 个数。分析：探索规律，发现规律形式的考题是近年来中考热点题型。本题中，从第2个数数到第6个数时，共数了2、3、4、5、6这5个数，而5621，同样从第3个数数到第7个数时共数了3、4、5、6、7这5个数，而5731，依此类推，不难探索其规律。答案：5、跟踪训练：一、填空题：1、计算： ； 。2、计算： ； 。3、计算： 。4、如果，那么 。5、若，则 。 6、如果5，3，比较大小： 7、计算： 。二、选择题：1、一个数的平方是正数，则这个数是（ ）A、正数 B、负数 C、不为零的数 D、非负数2、下列计算错误的是（ ）A、 B、C、 D、3、计算等于（ ）A、 B、 C、2 D、24、设，则、的大小关系是（ ）A、 B、 C、 D、5、按规律找数：40.2；80.3；120.4，则第四个数为（ ）A、120.5 B、160.4 C、160.5 D、不能确定三、计算与解答题：（能简算的要简算）1、计算：（1） （2）（3）2、从56起，逐次加1得到一连串整数，56、55、54、53、52、，问：（1）第100个整数是什么？（2）求这100个整数的和。3、观察下列算式：请你将探索出的规律用自然数（1）表示出来是 。4、探索规律：计算下列各式： 从以上过程中把你探索到的规律用式子表示出来，并证明你的结论。5、（1）根据 可得 如果，则奇数的值为 。（2）观察式子：；按此规律计算 。6、探究数字黑洞：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来。无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的摩掌。臂如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力？通过认真观察、分析、，你一定能发现它的奥秘。1-2 整式知识考点：整式是初中代数的基础知识，也是学习分式、根式的基础；去添括号法则，合并同类项、乘法公式及幂的运算法则是本节的重点。在运算中根据题目特征，灵活运用公式是本节知识的关键。精典例题：【例1】填空：1、单项式的系数是 ，次数是 。2、若为三次二项式，则 。3、计算： ； ； ； 。4、已知与是同类项，则 ， 。5、如果，则 。6、当 时，是完全平方式。7、计算： 。答案：1、1，6；2、8；3、，2； 4、，；5、108；6、8或2；7、【例1】选择题：1、下列计算正确的是（ ）A、 B、C、 D、2、如果长方形的周长为，一边长为，则另一边长为（ ） A、 B、 C、 D、3、如果多项式与的和是单项式，下列与的正确关系为（ ） A、 B、 C、0或0 D、4、化简得（ ） A、 B、 C、 D、分析：3题求得两个多项式的和为，要使这个二次二项式为单项式，令即可；4题将式子前面变形为，使乘入后，能连锁反应地使用平方差公式，这种技巧比较有代表性。 答案：1、D；2、C；3、B；4、D【例3】列代数式填空：1、某校学生给“希望小学”邮寄每册元的图书240册，若每册图书的邮费为书价的5，则共需邮费 元。2、托运行李公斤（为整数），的费用为元，现托运第一个1公斤需付2元，以后每增加1公斤（不足1公斤按1公斤计算）需增加5角，则托运行李的费用 。3、如图：在ABC中，A、B的对边分别为、，且C900，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 。 答案：1、；2、；3、探索与创新：【问题一】某公司计划砌一个形状如图1所示的喷水池，经人建议改为如图2所示的形状，且外圆半径不变，只是担心原来准备好的材料不够。请你比较两种方案，哪一种需要的材料多？分析：比较两种方案的材料，就是比较两个图形的周长。解：设大圆直径为，周长为 ，4个小圆直径分别为、，周长分别为、，则，所以大圆周长与4个小圆周长之和相等，即两种方案用料一样多。【问题二】某玩具厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有（0）个成品，且每个车间每天都生产（0）个成品，质检科派出若干名质检员星期一、星期二检查其中两个车间原有和这两天生产的所有成品，然后星期三至星期五检查另两个车间原有的和本周生产的所有成品。假定每个检验员每天检查的成品数相同。（1）这若干名检验员1天检验多少个成品？（用含、的代数式表示）（2）试求用表示的关系式；（3）若1名质检员1天能检验个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？解：（1）这若干名检验员1天能检验或或。 （2）依题意得：，化简得： 另解：，化简得：（3）7.5（名） 另解：7.5（名） 答：质检科至少要派出8名检验员。跟踪训练：一、填空题：1、多项式是五次三项式，则正整数可以取值为 。2、3、计算： ； ； ； ；4、如果是完全平方式，则 。5、若与是同类项，则 。6、若，则 ， 。7、五个连续奇数中间一个是，则这五个连续奇数的和为 。8、某城市一年漏掉的水，相当于新建一个自来水厂，据不完全统计，全市至少有个水龙头、个抽水马桶漏水。如果一个关不紧的水龙头一个月漏掉立方米水，一个抽水马桶一个月漏掉立方米水，那么一个月造成的水流失量至少是 立方米。二、选择题：1、如果，则的值为（ ） A、6 B、1 C、5 D、82、下列计算正确的是（ ）A、 B、C、 D、3、已知的值为3，则代数式的值为（ ）A、0 B、7 C、9 D、34、受季节影响，某种商品每年按原售价降低10后，又降价元，现在每件售价元，那么该商品每件的原售价为（ ） A、 B、 C、 D、5、如图：正六边形ABCDEF的边长为，分别以C、F为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ） A、 B、 C、 D、三、计算题：1、 2、3、 4、四、解答题：1、已知，求的值。2、（1）观察下列各式：通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是 。（2）观察下列各式： 由规律可得 。3、当时，的值为2，求当时，这个代数式的值。4、本市出租车的收费标准为：3千米以内（含3千米）收费5元，超过3千米的部分每千米收费1.20元（不足1千米按1千米计算），另加收0.60元的返空费。 （1）设行驶路程为千米（3且取整数），用表示出应收费元的代数式； （2）当收费为10.40元时，该车行驶路程不超过多少千米？路程数在哪个范围内？1-3 因式分解知识考点：因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。精典例题：【例1】分解因式：（1） （2） （3） （4）分析：因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。当某项完全提出后，该项应为“1”注意，分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。答案：（1）； （2）； （3）； （4）【例2】分解因式：（1） （2） （3）分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。答案：（1）；（2）；（3）【例3】分解因式：（1）； （2） （3）分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。答案：（1）（三、一分组后再用平方差） （2）（三、二分组后再提取公因式） （3）（三、二、一分组后再用十字相乘法）【例4】在实数范围内分解因式：（1）； （2）答案：（1） （2）【例5】已知、是ABC的三边，且满足，求证：ABC为等边三角形。分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证，从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式，即可得证，将原式两边同乘以2即可。略证： 即ABC为等边三角形。探索与创新：【问题一】 （1）计算： 分析：此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。 解：原式 （2）计算：分析：分解后，便有规可循，再求1到2002的和。解：原式 200220011999199831 2 005 003【问题二】如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么 可以取那些值？分析：由于为整数，而且在整数范围内可以分解因式，因此可以肯定能用形如型的多项式进行分解，其关键在于将8分解为两个数的积，且使这两个数的和等于，由此可以求出所有可能的的值。答案：的值可为7、7、2、2跟踪训练：一、填空题：1、； 。2、分解因式： ； ； 。3、计算：1998×2002 ， 。4、若，那么 。5、如果为完全平方数，则 。6、满足，分解因式 。二、选择题：1、把多项式因式分解的结果是（ ）A、 B、 C、 D、2、如果二次三项式可分解为，则的值为（ ）A、1 B、1 C、2 D、23、若是一个完全平方式，那么的值是（ ）A、24 B、12 C、±12 D、±244、已知可以被在6070之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）A、61、63 B、61、65 C、61、67 D、63、65三、解答题：1、因式分解：（1） （2）（3） （4）（5）2、已知，求的值。3、计算：4、已知、是ABC的三边，且满足，试判断ABC的形状。阅读下面解题过程：解：由得： 即 ABC为Rt。 试问：以上解题过程是否正确： ；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ；错误原因是 ；本题的结论应为 。1-4 分式知识考点：分式运算是初中代数计算的综合运用，它与整式运算相比，步骤增多，符号变化复杂，方法比较灵活。了解分式的概念，熟练掌握分式的基本性质，并能灵活运用它进行分式的约分、通分及计算是解题的关键。精典例题：【例1】（1）当为何值时，分式有意义？（2）当为何值时，分式的值为零？分析：判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论而不能讨论化简后的分式；在分式中，若B0，则分式无意义；若B0，则分式有意义；分式的值为零的条件是A0且B0，两者缺一不可。答案：（1）2且1；（2）1【例2】计算：（1） （2）（3）分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要化为最简分式或整式。答案：（1）；（2）；（3）【例3】计算：（1） （2） 分析：对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。（1）题可以将看作一个整体，然后用分配律进行计算；（2）题可采用逐步通分的方法，即先算，用其结果再与相加，依次类推。答案：（1）； （2）【例4】（1）已知，求的值。（2）当、时，求 的值。分析：分式的化简求值，应先分别把条件及所求式子化简，再把化简后的条件代入化简后的式子求值。略解：（1）原式 原式 （2）， 原式【例5】（1）已知（0，0），求的值。（2）已知，求的值。分析：分式的化简求值，适当运用整体代换及因式分解可使问题简化。略解：（1）原式 或 当时，原式3；当时，原式2（2），0 7探索与创新：【问题一】 先阅读下列文字，再解答下列问题：初中数学课本中有这样一段叙述：“要比较与的大小，可先求出与的差，再看这个差是正数、负数还是零。”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了。试问：甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购粮用去100元。（1）假设、分别表示两次购粮的单价（单位：元千克）。试用含、的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款 元；乙两次共购买 千克的粮食；若甲两次购粮的平均单价为每千克元，乙两次购粮的平均单价为每千克元，则 ； 。（2）规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲乙两人的购粮方式哪一个更合算些？并说明理由。解：（1）第一次购买粮食付款元，第二次购买粮食付款元，两次共付款元。乙第一次购买粮食千克，第二次购买粮食千克，故两次共购买粮食千克。平均单价；（2）要判断谁更合算，就是判断、的大小，小的更合算些。且0而00故乙的购粮方式更合算。【问题二】 已知、为实数，且满足，求的值。解：由题设有，可解得2，2 4【问题三】已知，求的值。解：设 ，即 整理得： 1或 当1时，原式8；当时，原式1 8或1跟踪训练：一、填空题：1、当 时，分式有意义。 当 时，分式的值为零。 当 时，分式的值为负数。 当 时，分式的值为1。2、计算： 。 。 。 。3、已知。则分式的值为 。4、若0，则 。5、若分式的值是整数，则整数的值是 。6、请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数值代入求值： 。7、已知，则 。8、若，则 。9、若，则 。10、若恒成立，则AB 。11、若，则 。12、已知，且0，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 。二、选择题：1、在代数式、中，分式的个数是（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2、已知的值为零，则的值是（ ） A、1或 B、1或 C、1 D、13、甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（ ） A、 B、 C、 D、随所取盐水重量而定4、已知、满足等式，则用的代数式表示得（ ） A、 B、 C、 D、5、已知，（），则的值为（ ） A、0 B、1 C、2 D、不能确定6、已知，则代数式的值是（ ） A、1999 B、2000 C、2001 D、20027、已知是整数，且为整数，则所有符合条件的的值的和为（ ） A、12 B、15 C、18 D、20三、计算题： 1、 2、 3、 4、四、阅读下面题目的计算过程： （1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。 （2）错误原因是 。 （3）本题的正确结论是 。五、应用题：学校用一笔钱买奖品，若以一支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品，若以一支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品，问这笔钱全部用来买钢笔或笔记本，可买多少？1-5二次根式与运算知识考点：数的开方是学习二次根式、一元二次方程的准备知识，二次根式是初中代数的重要基础，应熟练掌握平方根的有关概念、求法以及二次根式的性质。精典例题：【例1】填空题：（1）的平方根是 ；的算术平方根是 ；的算术平方根是 ；的立方根是 。（2）若是的立方根，则 ；若的平方根是±6，则 。（3）若有意义，则 ；若有意义，则 。（4）若，则 ；若，则 ；若，则 ；若有意义，则的取值范围是 ；（5）若有意义，则 。（6）若0，则 ；若0，化简 。答案：（1），；（2），6；（3），2； （4）0，0，1且0；（5）； （6），【例2】选择题：1、式子成立的条件是（ ）A、3 B、1 C、13 D、132、下列等式不成立的是（ ） A、 B、 C、 D、3、若2，化简的正确结果是（ ） A、1 B、1 C、 D、4、式子（0）化简的结果是（ ） A、 B、 C、 D、 答案：DDDA【例3】解答题：（1）已知，求的值。（2）设、都是实数，且满足，求的值。分析：解决题（1）的问题，一般不需要将的值求出，可将等式两边同时平方，可求得，再求的值，开方即得所求代数式的值；题（2）中，由被开方数是非负数得，但分母，故，代入原等式求得的值。略解：（1）由得：， 故 （2） 解得， 1【例4】已知，求的值。 分析：直接代入求值比较麻烦，可考虑把代数式化简再求值，并且、的值的分母是两个根式，且互为有理化因式，故必然简洁且不含根式，的值也可以求出来。解：由已知得：， 原式探索与创新：【问题一】比较与的大小；与的大小；与的大小；猜想与的大小关系，并证明你的结论。分析：先将各式的近似值求出来，再比较大小。 1.7321.4140.318，1.41410. 414 同理：， 根据以上各式二次根式的大小有理由猜测： 证明： 又 【问题二】阅读此题的解答过程，化简：（）解：原式 问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。分析：此题是阅读形式的题，要找出错误的原因，错误容易产生在由根式变为绝对值，绝对值再化简出来这两步，所以在这两步特别要注意观察阅读。解：（1）；（2）化简时，忽视了0的条件；（3） 跟踪训练：一、填空题：1、的平方根是 ；的算术平方根是 ；的立方根是 ；2、当 时，无意义；有意义的条件是 。3、如果的平方根是±2，那么 。4、最简二次根式与是同类二次根式，则 ， 。5、如果，则、应满足 。6、把根号外的因式移到根号内： ；当0时， ； 。7、若，则 。8、若0，化简： 。9 、 ；10、 二、选择题：1、如果一个数的平方根与它的立方根相同，那么这个数是（ ） A、±1 B、0 C、1 D、0和12、在、中，最简二次根式的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、43、下列说法正确的是（ ） A、0没有平方根 B、1的平方根是1 C、4的平方根是2 D、的算术平方根是34、的算术平方根是（ ）A、6 B、6 C、 D、5、对于任意实数，下列等式成立的是（ ）A、 B、 C、 D、6、设的小数部分为，则的值是（ ）A、1 B、是一个无理数 C、3 D、无法确定7、若，则的值是（ ）A、 B、 C、2 D、8、如果1，则的值是（ ）A、 B、 C、 D、19、二次根式：；中最简二次根式是（ ） A、 B、 C、 D、只有10、下列各式正确的是（ ）A、 B、（0，0）C、的绝对值是 D、11、下列各式中与（）是同类二次根式的是（ ） A、 B、 C、 D、12、下列等式或说法中正确的个数是（ ）； 的一个有理化因式是； ； 。A、0个 B、1个 C、2个 D、3个13、已知，则与的关系是（ ） A、 B、 C、 D、14、下列运算正确的是（ ）A、 B、 C、 D、三、计算题： 1、； 2、； 3、。四、已知，求的值。五、计算：。六、先化简，再求值：，其中。六、已知是的算术平方根，是的立方根，求AB的次方根的值。七、已知正数和，有下列命题： （1）若，则1； （2）若，则； （3）若，则3； 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若，则 。八、由下列等式：2 ，3 ，4 ，所提示的规律，可得出一般的结论是 。九、阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。 已知为实数，化简： 解：原式 2-1 方程与一次方程（组）及解法知识考点：了解等式和方程、一元一次方程（组）的概念，掌握等式的基本性质，能正确熟练地解一元一次方程，会对方程的解进行检验。明确解方程组的基本思想是化归思想，并能用加减消元法和代入消元法解一次方程组。精典例题：【例1】解方程：分析：依据方程的同解原理，突出基本步骤，去分母时防止漏乘，注意移项时要改变符号。答案： 【例2】若关于的方程：与方程的解相同，求的值。分析：由“解相同”的定义，将方程的解代入第一个方程，建立一个关于的方程，解之即可。答案：4【例3】在代数式中，当2，3，4时，它的值是零；当3，6，4时，它的值是4；求、的值。分析：由代数式值的定义得关于、的二元一次方程组，侧重分析如何选择使用加减法或代入法消元。答案：探索与创新：【问题一】要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（ ）A、5种 B、6种 C、8种 D、10种略解：首先把实际问题转化成数学问题，设需2元、1元的人民币各为、张（、为非负数），则有：，05且为整数0、1、2、3、4、5。答案：B【问题二】如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点的路程（单位：千米）。一学生从A处出发以2千米小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时。（1）当他沿着路线ADCEA游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长；（2）若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑其它因素）。略解：（1）设CE线长为千米，列方程可得0.4。（2）分ADCBEA环线和ADCEBEA环线计算所用时间，前者4.1小时，后者3.9小时，故先后者。跟踪训练：一、填空题：1、若25，则 。2、如果与的值互为相反数，则 。3、已知是方程组的解，则 。二、选择题：1、若单项式与是同类项，则（ ） A、2 B、±2 C、2 D、42、已知方程组与有相同的解