流动稳定性ppt课件.ppt
线性稳定性理论线性稳定性理论一、一、 稳定性基本概念稳定性基本概念流体中的不稳定性流体中的不稳定性K-H不稳定性不稳定性A. K-H (Kelvin-Helmholtz）不稳定性）不稳定性 自由剪切流自由剪切流的的无粘无粘不稳定性不稳定性混合层混合层 K-H不稳定性不稳定性K-H不稳定性的关键：不稳定性的关键：速度剖面有拐点速度剖面有拐点 已知某运动状态；已知某运动状态；在此基础上施加微小扰动；在此基础上施加微小扰动；如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定，否则为不稳定如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定，否则为不稳定注: 本PPT摘录自力学所李新亮CFD讲义自然界中自然界中 K-H不稳定性图片不稳定性图片智利塞尔扣克岛智利塞尔扣克岛的卡门涡街的卡门涡街澳大利亚澳大利亚Duval山上空的云山上空的云 KelvinHelmholtz instability clouds in San Francisco佛兰格尔岛周围的卡佛兰格尔岛周围的卡门涡街门涡街高速流低速流自由剪切层受到扰动界面变形后的情况自由剪切层受到扰动界面变形后的情况 K-H不稳定性的产生机理不稳定性的产生机理受阻减速，压力升高，受阻减速，压力升高，产生高压区产生高压区高压导致变高压导致变形加剧形加剧B. T-S (Tollmien-Schlichting) 不稳定性不稳定性不可压不可压 壁面剪切流壁面剪切流的的粘性粘性不稳定性不稳定性C. R-T (Reyleigh-Taylor)不稳定性不稳定性 重力带来的不稳定性重力带来的不稳定性R-T (Reyleigh-Taylor)不稳定性不稳定性重重介介质质轻轻介介质质D Bernard热对流不稳定性热对流不稳定性Barnard 热对流热对流的胞格结构的胞格结构二、二、 稳定性问题的常用数学方法稳定性问题的常用数学方法 线性稳定性分析线性稳定性分析Step 1: 得到线性化的扰动方程得到线性化的扰动方程0PU控制方程为：控制方程为：已知其具有解已知其具有解 0U0P0U令令：UUU00)(UUU0PP舍弃高阶小量，得到线性化的舍弃高阶小量，得到线性化的扰动方程扰动方程0UL（1）xuuxuuxuuxuuuuxuuxuu) () (000000 例如：例如： 平板的平板的Blasius解，槽道的解，槽道的Poiseuille 解解线性方程线性方程Step 2: 求解求解 的特征值问题的特征值问题什么条件下具有非零解，非零解如何？什么条件下具有非零解，非零解如何？通常假设在某些方向具有周期性，转化为一维通常假设在某些方向具有周期性，转化为一维问题问题)()(tzxieyUU0UL数值方法：数值方法： 将将 （1） 离散离散代数方程代数方程何时有非零解，何时有非零解， 非零解如何？非零解如何？ 特征值问题特征值问题xAx0)(xIA0Bx什么条件下有什么条件下有非零解？非零解？特征值问题计算量巨大，目特征值问题计算量巨大，目前通常只能处理一维问题前通常只能处理一维问题三、三、 稳定性问题示例稳定性问题示例 不可压缩槽道流动不可压缩槽道流动的线性稳定性（的线性稳定性（LST）理论）理论 (以二维为例以二维为例)uuuuu2Re10pt uuuStep 1: 获得线性化扰动方程获得线性化扰动方程 令令：Re2, 0,12xpvyuPoiseuille解：解： ppp(2)代入方程（代入方程（2），并舍去高阶小量得到线性化的），并舍去高阶小量得到线性化的扰动方程扰动方程xuuxuuxuuxuuuuxuuxuu) () (uuuuuuu 2Re10pt（3）1） 控制方程及边界条件控制方程及边界条件研究扰动发展的空间模式和时间模式扰动源)()( )( )( txieypyvyupvu空间模式：空间模式： 任一点的扰动具有时间周期性任一点的扰动具有时间周期性 符合物理条件符合物理条件 假设扰动具有如下形式：假设扰动具有如下形式：沿流向及时间方向具有波动特性沿流向及时间方向具有波动特性称为称为Tolmien-Schlichting（T-S）波）波任意扰动可分解为正弦波的叠加任意扰动可分解为正弦波的叠加 线性系统各成分无线性系统各成分无相互作用相互作用 可独立研究可独立研究为实数为实数iri为复数为复数 扰动波的振幅沿流向指数变化扰动波的振幅沿流向指数变化xieAxA)0(/ )(空间增长率中性0扰动衰减0扰动增长0i时间模式：时间模式： 扰动具有流向的周期性扰动具有流向的周期性 假设一窗口沿流向运动，研究窗口内扰动的演化假设一窗口沿流向运动，研究窗口内扰动的演化为实数为实数为复数为复数iri 扰动波的振幅虽时间变化扰动波的振幅虽时间变化tieAtA)0(/ )(时间增长率中性扰动衰减扰动增长000i以时间模式为例：以时间模式为例：)(Re1)(Re1022222222yvxvypxvutvyuxuxpyuvxuutuyvxu)()( )( )( txieypyvyupvu0yvuiuypivyuuuii)(Re1 222)()()(,txitxitxieuitueyuyueuixuvyypvuii )(Re1 222（4）（5）（6）线性偏微方程（线性偏微方程（3）转化成为含参数的线性常微方程组（）转化成为含参数的线性常微方程组（4）-（6）谱方法的常谱方法的常规做法规做法通过消元法，转化为更高阶的常微方程通过消元法，转化为更高阶的常微方程 （不是必须的）（不是必须的）常用做法，通常还可以常用做法，通常还可以反向为之：反向为之： 高阶方程转高阶方程转化为低阶方程组化为低阶方程组)4()5(iy消去p yviu1vyuyuivyRe222222222Orr-Sommerfeld（O-S) 方程方程22224422222yyy其中：最终，控制方程为最终，控制方程为O-S方程：方程：vyuyuivyRe222222222边界条件：边界条件：1y0y1y0 v0yvui0 u0yvy=1 （固壁）:y=0 （中心线，对称）（中心线，对称）：033yvyv可以取计算域可以取计算域-1,1,使用固壁边界条件；使用固壁边界条件；也可以取计算域也可以取计算域-1,0,使用固壁及对称使用固壁及对称边界条件边界条件流函数形式的流函数形式的O-S方程方程xvyu,引入流函数，使得：引入流函数，使得：计算出计算出 后，利用公式后，利用公式0yvuiuypivyuuuii)(Re1 222计算其他两个量计算其他两个量v 则：则：)()( txiey令：iv 常数倍满足的方程及边界条件与满足的方程及边界条件与 完全相同完全相同。v 如果 恒大于（或恒小于0），则必有 小知识：小知识： 关于关于O-S方程方程vyuyuivyRe2222222221） O-S方程适用于不可压方程适用于不可压平行流平行流的稳定性问题的稳定性问题 （不仅槽道流）（不仅槽道流）2） 准平行流准平行流 （流线沿（流线沿x方向接近平行）也可使用（例如边界层流动）方向接近平行）也可使用（例如边界层流动）3）如果舍去粘性（左端）项，则方程称为）如果舍去粘性（左端）项，则方程称为Rayleigh方程方程0Re1Rayleigh拐点定理：拐点定理： Rayleigh方程存在不稳定解的必要条件是速度型存在拐点。即存在某点方程存在不稳定解的必要条件是速度型存在拐点。即存在某点 使得使得sy022syyu若存在无粘不稳定性，该项必有0点。022222vyuyu01122222*dyvyuyuv分部积分，并取虚部，得：01122 dyucuvci/cu 0/iic01122 dyucuv不存在非稳定解2） O-S方程的解法方程的解法 数学表述数学表述 奇性（特征值）问题：奇性（特征值）问题： 参数参数 为何值时，方程有非零解？为何值时，方程有非零解？非零解如何？非零解如何？vyuyuivyRe222222222,Re,0),(Re,F0i时间发展槽道湍流：时间发展槽道湍流： (通常通常) 给定给定Re及及 ，问，问 取何值时，取何值时，O-SO-S方方程有非零解？程有非零解？iri增长率求解步骤：求解步骤： 1） 将将O-S方程离散，得到线性代数方程组方程离散，得到线性代数方程组 离散方法：离散方法： 差分法、有限元法、谱方法、差分法、有限元法、谱方法、打靶法打靶法 2） 求求 ，使得该方程有非零解（奇性或特征，使得该方程有非零解（奇性或特征值问题）值问题）. 0)(xATnvvvx),. ,(210)(A求出求出局部法：只求出一个局部法：只求出一个 全局法：计算出全部的全局法：计算出全部的
