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椭圆复习专讲椭圆复习专讲1.设设P是椭圆是椭圆 上的点上的点.若若F1、F2是椭圆的两个焦是椭圆的两个焦点，则点，则|PF1|+|PF2|等于等于( )(A)4 (B)5 (C)8 (D)1022xy125162.椭圆椭圆 的焦距等于的焦距等于2，则，则m的值为的值为( )(A)5或或3 (B)8 (C)5 (D)1622xy1m4【解析解析】选选D.由题意知由题意知a=5,|PF1|+|PF2|=2a=10.【解析解析】选选A.当当m4时，时，m-4=1,m=5,当当0m4时，时，4-m=1,m=3.3.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长轴上，且长轴长为为12，离心率为，离心率为 则椭圆方程为则椭圆方程为( )13， 22222222xyxyA1B11441283620 xyxyC1D132363632 【解析解析】选选D.D.设标准方程为：设标准方程为： (a(ab b0)0)，由已知得由已知得2a=12,a=6,2a=12,a=6,又又c=2,bc=2,b2 2=a=a2 2-c-c2 2=32=32，方程为方程为2222xy1abc1ea3，22xy1.3632 椭圆的定义、标准方程椭圆的定义、标准方程【例例1 1】(2019(2019日照模拟日照模拟) )已知已知F F1 1、F F2 2是椭圆是椭圆C C： (a(ab b0)0)的两个焦点，的两个焦点，P P为椭圆为椭圆C C上的一点，且上的一点，且 PF1PF2,若若PFPF1 1F F2 2的面积为的面积为9 9，则，则b=_.b=_.【审题指导审题指导】关键抓住点关键抓住点P P为椭圆为椭圆C C上的一点，从而有上的一点，从而有| |PF1 1|+|+|PF2 2|=2a, |=2a, 再利用再利用 PF1PF2进而得解进而得解. .12222xy1ab【自主解答自主解答】设设|PF|PF1 1|=r|=r1 1,|PF,|PF2 2|=r|=r2 2, , 则则 2r2r1 1r r2 2=(r=(r1 1+r+r2 2) )2 2-(r-(r1 12 2+r+r2 22 2) ) =4a=4a2 2-4c-4c2 2=4b=4b2 2, , 答案：答案：3 31222212rr2a,rr4c ,1 22PFF1 21Srrb9,b3.2 【规律方法规律方法】1.1.焦点三角形：焦点三角形： 椭圆上一点椭圆上一点P P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为为“焦点三角形焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求余弦定理可求|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |；通过整体代入可求其面积；通过整体代入可求其面积等等. .2.2.求椭圆的标准方程主要用待定系数法，用待定系数法求椭圆方求椭圆的标准方程主要用待定系数法，用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：程的一般步骤是：(1)(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x x轴上，还是在轴上，还是在y y轴上，还轴上，还是两个坐标轴都有可能是两个坐标轴都有可能. .(2)(2)设方程：根据上述判断设方程设方程：根据上述判断设方程 (a(ab b0)0)或或 (a(ab b0).0).(3)(3)找关系：根据已知条件，建立关于找关系：根据已知条件，建立关于a a、b b、c c的方程组的方程组. .(4)(4)得椭圆方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求得椭圆方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. .2222xy1ab2222xy1ba提醒：提醒：当椭圆焦点位置不明确而无法确定时，可设为当椭圆焦点位置不明确而无法确定时，可设为 (m(m0,n0,n0,mn)0,mn)，也可设为，也可设为AxAx2 2+By+By2 2=1(A=1(A0,B0,B0 0且且AB).AB).22xy1mn 椭圆几何性质的确定与应用椭圆几何性质的确定与应用【例例2 2】(2019(2019福建高考福建高考) )若点若点O O和点和点F F分别为椭圆分别为椭圆 的中的中心和左焦点，点心和左焦点，点P P为椭圆上的任意一点，则为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为的最大值为( )( )(A)2 (B)3(A)2 (B)3(C)6 (D)8(C)6 (D)8【审题指导审题指导】关键是将关键是将OP FP用点用点P P的坐标表示，再利用点的坐标表示，再利用点P P在椭圆在椭圆上，转化成一个变量的函数求最大值，但要注意点上，转化成一个变量的函数求最大值，但要注意点P P的坐标的取值范的坐标的取值范围围. .222xy14322xy143【自主解答自主解答】选选C.C.由椭圆由椭圆 可得点可得点F(-1(-1，0)0)，点点O(0O(0，0)0)，设，设P(x,y)(-2x2),P(x,y)(-2x2),则则OP FP=当且仅当当且仅当x=2x=2时，时，OP FP取得最大值取得最大值6.6.22223(1)4xxxyxx2213(2)244xxx【规律方法规律方法】1.1.椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆例如对椭圆 有有-axa,-byb,0e1-axa,-byb,0eb0)(ab0)的两个焦点分别为的两个焦点分别为F F1 1、F F2 2，斜率为，斜率为k k的直线的直线l l过左焦点过左焦点F F1 1且与椭圆的交点且与椭圆的交点为为A A、B B，与，与y y轴的交点为轴的交点为C C，若，若B B为线为线段段CFCF1 1的中点，且的中点，且|k| |k| 求椭圆离心率求椭圆离心率e e的取值范围的取值范围. .2222xy1ab14,2【审题指导审题指导】关键是找到关键是找到k k与与a a、b b、c c的关系，进而利的关系，进而利用用b b2 2=a=a2 2-c-c2 2, , 得到得到k k与与e e的关系，从而利用的关系，从而利用k k的范围，的范围，构建构建e e的不等式求解的不等式求解. .【规范解答规范解答】设设F F1 1(-c(-c，0)0)，则直线，则直线l l的方程为的方程为y=k(x+c).y=k(x+c).令令x=0 x=0得得y=kcy=kc，点点C C的坐标为的坐标为(0(0，kc)kc)，从而点，从而点B B的坐的坐标为标为( ).( ).点点B B在椭圆上，在椭圆上，cea，ck c22，2222222222222222222ck c14a4bck ck e1e4.4a1e4 ac4e1ek.e，即， 即222424e1e147k,2e22e17e80又，即，解得解得 e e2 28.8.又又0e0e2 21,1, e e2 211， e1.eb0)(ab0)与直线方程与直线方程y=kx+by=kx+b联立消联立消去去y y，整理成形如，整理成形如AxAx2 2+Bx+C=0(A0)+Bx+C=0(A0)的形式的形式. .则则: :2222xy1ab2.2.直线被椭圆截得的弦长公式，直线被椭圆截得的弦长公式，设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )两点，则两点，则22122212122122212122AB1kxx1kxx4x x1(1) yyk11yy4y yk.k为直线斜率提醒：提醒：解决直线与椭圆的位置关系问题时，常利用数形结合、根与解决直线与椭圆的位置关系问题时，常利用数形结合、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法. .1.(20191.(2019西安模拟西安模拟) )椭圆椭圆x x2 2+my+my2 2=1=1的焦点在的焦点在y y轴上，长轴轴上，长轴长是短轴长的两倍，则长是短轴长的两倍，则m m的值为的值为( )( ) 11A B C 2 D 442221a,b1,m1m,4 11a,b 1,2,mm 22yx1,1m【解析解析】选选A.将原方程变形为将原方程变形为由题意知由题意知 故选故选A.2.(20192.(2019厦门模拟厦门模拟) )若椭圆上存在点若椭圆上存在点P P，使得点，使得点P P到两个到两个焦点的距离之比为焦点的距离之比为2121，则此椭圆离心率的取值范围是，则此椭圆离心率的取值范围是( )( )【解题提示解题提示】关键是由题意找到关键是由题意找到a a与与c c间的大小关系间的大小关系. .【解析解析】选选D.D.设设P P到两个焦点的距离分别为到两个焦点的距离分别为2k,k,2k,k,根据椭根据椭圆定义可知：圆定义可知：3k=2a,3k=2a,又结合椭圆的性质可知，椭圆上的又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为点到两个焦点距离之差的最大值为2c,2c,即即k2c,2a6c,k2c,2a6c,即即 又又0e1,0eb0)(ab0)的两个焦的两个焦点分别为点分别为F F1 1、F F2 2，过，过F F2 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P P，若若F F1 1PFPF2 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )( ) 221A B C 22 D21222b2c,a222ac2c,aa21.2b(c,)a，【解析解析】选选D.D.不妨设点不妨设点P P在在x x轴上方，坐标为轴上方，坐标为F1PF2F1PF2为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，|PF2|=|F1F2|,|PF2|=|F1F2|,即即 即即1-e2=2e1-e2=2e，故椭圆的离心率是，故椭圆的离心率是4.(20194.(2019温州模拟温州模拟) )已知椭圆已知椭圆C C的中心在坐标原点，椭圆的中心在坐标原点，椭圆的两个焦点分别为的两个焦点分别为(-4(-4，0)0)和和(4(4，0)0)，且经过点，且经过点(5(5，0)0)，则该椭圆的方程为则该椭圆的方程为_._.【解析解析】由题意知椭圆的焦点在由题意知椭圆的焦点在x x轴上，且轴上，且c=4,a=5,c=4,a=5,bb2 2=a=a2 2-c-c2 2=9.=9.则椭圆的标准方程为则椭圆的标准方程为22xy1.2595.(20195.(2019新课标全国卷新课标全国卷) )设设F F1 1,F,F2 2分别是椭圆分别是椭圆E E： =1(0b1)=1(0b1)的左，右焦点，过的左，右焦点，过F F1 1的直线的直线l l与与E E相交于相交于A A，B B两点，两点，且且|AF|AF2 2|,|AB|,|BF|,|AB|,|BF2 2| |成等差数列成等差数列. .(1)(1)求求|AB|AB|；(2)(2)若直线若直线l l的斜率为的斜率为1 1，求，求b b的值的值. .222yxb43【解析】【解析】(1)(1)由椭圆定义知由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,|AF2|+|AB|+|BF2|=4,又又2|AB|=|AF2|+|BF2|,2|AB|=|AF2|+|BF2|,得得|AB|= .|AB|= .21b .(2)l(2)l的方程为的方程为y=x+c,y=x+c,其中其中c=c=设设A(x1,y1),B(x2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2),则则A A，B B两点坐标满足方程组两点坐标满足方程组 化简得化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.则则x1+x2= x1+x2= x1x2=x1x2=因为直线因为直线ABAB的斜率为的斜率为1 1，所以所以|AB|= |x2-x1|,|AB|= |x2-x1|,即即 = |x2-x1|.= |x2-x1|.则则解得解得b=b=222yxc,yx1b22 c,1b2212b.1b22432242121 22 222 284(1 b )4(1 2b )8b(xx )4xx,9(1 b )1 b(1 b )2.2
