第1章线性规划模型和单纯形法ppt课件.ppt

运筹学运筹学Operations Research第第 1 章章 线性规划模型和单纯形法线性规划模型和单纯形法Linear Programming and Simplex Method1.1 LP的数学模型及标准型的数学模型及标准型1.2 图解法图解法 1.3 单纯形法单纯形法1.理解什么是线性规划模型，掌握线性规划在管理解什么是线性规划模型，掌握线性规划在管理及生产中的应用理及生产中的应用2.掌握线性规划数学模型的组成及其特征掌握线性规划数学模型的组成及其特征3.清楚线性规划数学模型的一般表达式。清楚线性规划数学模型的一般表达式。1.1 线性规划线性规划数学模型数学模型 Mathematical Model ofLinear Programming线性规划线性规划（Linear Programming,缩写为缩写为LP）是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。应用领域更广泛和深入。线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。、利润最大）。【例【例1.11.1】最优生产计划问题。】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备这些产品分别需要要在设备A A、B B上加工，需要消耗材上加工，需要消耗材料料C C、D D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表工及所需要的资源如表1.11.1所示。已知在计划期内设备所示。已知在计划期内设备的加工能力各为的加工能力各为200200台时，可供材料分别为台时，可供材料分别为360360、300300公公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为润分别为4040、3030、5050元，假定市场需求无限制。企业元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？利润收入最大？1.1.1 应用模型举例应用模型举例 产品产品 资源资源 甲甲 乙乙 丙丙现有资源现有资源设备设备A 3 1 2 200设备设备B 2 2 4 200材料材料C 4 5 1 360材料材料D 2 3 5 300利润（元利润（元/件）件） 40 30 50表表1.1 产品资源消耗产品资源消耗321503040maxxxxZ0003005323605420042220023321321321321321xxxxxxxxxxxxxxx，【解】设【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为：为： 产品产品 资源资源 甲甲 乙乙 丙丙现有资现有资源源设备设备A 3 1 2 200设备设备B 2 2 4 200材料材料C 4 5 1 360材料材料D 2 3 5 300利润（元利润（元/件）件） 40 30 50最优解最优解X=(50,30,10);Z=3400目标函数目标函数资源约束资源约束线性规划的数学模型由线性规划的数学模型由 决策变量决策变量 Decision variables 目标函数目标函数 Objective function约束条件约束条件 Constraints构成。称为三个要素构成。称为三个要素。n其特征是：其特征是：n1解决问题的解决问题的是多个决策变量的是多个决策变量的线性线性函数，函数，通常是求最大值或通常是求最大值或 最小值；最小值；n2解决问题的解决问题的是一组多个决策变量的是一组多个决策变量的线性线性不不等式或等式。等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？怎样辨别一个模型是线性规划模型？【例【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息天后连续休息2天，天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1.2所示。所示。表表1.2 营业员需要量统计表营业员需要量统计表商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。最少。 星期星期需要人数需要人数星期星期需要人数需要人数一一300五五480二二300六六600三三350日日550四四400【解】【解】 设设 xj (j=1，2，7)为休息为休息2天后星期一到星期日开始天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为 7 ,2, 1,0550600480400350300300min765436543254321743217632176521765417654321jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZj星星期期需要需要人数人数星星期期需要需要人数人数一一300五五480二二300六六600三三350日日550四四400目标函数：总人数最少目标函数：总人数最少约束条件：上班人数大于每天需要人数约束条件：上班人数大于每天需要人数1 1 X1X10 0 C1C1404404 =3003001041042 2 X2X26767 C2C2301301 =3003001 13 3 X3X3146146 C3C3350350 =3503500 04 4 X4X4170170 C4C4400400 =4004000 05 5 X5X59797 C5C5480480 =4804800 06 6 X6X6120120 C6C6600600 =6006000 07 7 X7X71717 C7C7550550 =5505500 0最优解：最优解： Z617（人）（人）【例【例1.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为钢长度为4 m。现在要制造。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？ 【解】这是个条材下料问题【解】这是个条材下料问题 ，设切口宽度为零。，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、乙、设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y34表表示，求这个不等式关于示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有组，也就是有10种下料方式，如表种下料方式，如表1.3所示。所示。表表13 下料方案下料方案 方案方案规格规格 1234 5678910需求量需求量y1(根根) 221 11 0 00001000y2 102 10 4 32101000y3 010 23 0 12451000余料（余料（m）00.30.5 0.1o.4 00.30.60.20.5设设xj ( j = 1,2,10)为第为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少数学模型少数学模型 方案方案规格规格 1234 5678910需求量需求量y1(根根) 221 11 0 00001000y2 102 10 4 32101000y3 010 23 0 12451000余料（余料（m）00.30.5 0.1o.4 00.30.60.20.5102 , 1, 010005423210002342100022min10987542987643154321101，jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZjjj求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案 。如果方。如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。初选。1 1 X1X15005002 2 X2X20 03 3 X3X30 04 4 X4X40 05 5 X5X50 06 6 X6X662.562.57 7 X7X70 08 8 X8X80 09 9 X9X92502501010 X10X100 0Z812.5最优解：最优解：【例【例1.4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于是：锡不少于28%，锌不多于，锌不多于15%，铅恰好，铅恰好10%，镍要界于，镍要界于35%55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1.4所示。所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。表表1.4 矿石的金属含量矿石的金属含量 合金合金矿石矿石锡锡%锌锌%铅铅%镍镍%杂质杂质费用（元费用（元/t ）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190解解: 设设xj（j=1,2，5）是第）是第j 种矿石数量，得到下列线性规划模种矿石数量，得到下列线性规划模型型 矿石矿石锡锡%锌锌%铅铅%镍镍%杂质杂质费用（元费用（元/t ）1251010253034024000303026030155206018042020040202305851517551901234512451345135123451234512min3402601802301900.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70.7Zxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3450.40.80.4510,1,2,5jxxxxj注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养问题或混合问题，在许多料问题也称配方问题、营养问题或混合问题，在许多行业生产中都能遇到。行业生产中都能遇到。1 1 X1X10 02 2 X2X20.33330.33333 3 X3X30 04 4 X4X40.58330.58335 5 X5X50.66670.6667最优解：最优解： Z=347.5第五年：第五年：(x7/2+x9)=x8+2x5第一年：第一年：x1+x2=200(万元万元)第二年：第二年：(x1/2 +x3)+x4=x2第三年第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1第四年：第四年：(x5/2+x7)+x8=x6+2x3到第六年实有资金总额为到第六年实有资金总额为x9+2x7，整理后得到下列线性规划模型，整理后得到下列线性规划模型 【解】设【解】设 x1：第一年的投资；：第一年的投资； x2：第一年的保留资金：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资；：第二年新的投资； x4：第二年的保留资金：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资；：第三年新的投资； x6：第三年的保留资金：第三年的保留资金 x7：第四年新的投资：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金：第五年的保留资金【例【例1.5】投资问题。某投资公司在第一年有】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年万元资金，每年都有如下的投资方案可供考虑采纳：都有如下的投资方案可供考虑采纳：“假使第一年投入一笔资金，假使第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的第二年又继续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一年，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。所掌握的资金最多。7912123413456356785789max22002220422204222042200,1,2,9jZxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxj1 1 X1X155.284655.28462 2 X2X2144.7155144.71553 3 X3X3117.0732117.07324 4 X4X40 05 5 X5X552.032552.03256 6 X6X60 07 7 X7X7208.1301208.13018 8 X8X80 09 9 X9X90 0最优解：最优解：Z 416.26万元万元x1：第一年的投资；：第一年的投资； x2：第一年的保留资金：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资；：第二年新的投资；x4：第二年的保留资金：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资；：第三年新的投资； x6：第三年的保留资金：第三年的保留资金 x7：第四年新的投资：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金：第五年的保留资金【例【例1.6】均衡配套生产问题。某产品由】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、件甲、3件乙零件组装而成。件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在上加工，每件甲零件在A、B上的加工时上的加工时间分别为间分别为5分钟和分钟和9分钟，每件乙零件在分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为上的加工时间分别为4分分钟和钟和10分钟。现有分钟。现有2台设备台设备A和和3台设备台设备B，每天可供加工时间为，每天可供加工时间为8小时。小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大。产量最大。【解】【解】 设设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是)31,21min(21xxy 设备设备A、B每天加工工时的约束为每天加工工时的约束为60831096082452121xxxx要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时的约小时的约束为束为 60)109()452121xxxx（目标函数线性化。产品的产量目标函数线性化。产品的产量y等价于等价于2131,21xyxy整理得到线性规划模型整理得到线性规划模型 约束线性化。将绝对值约束写成两个不等式约束线性化。将绝对值约束写成两个不等式60)109()45(60)109()45(21212121xxxxxxxx121212121212m a x1213549 6 091 01 4 4 0466 0466 00Zyyxyxxxxxxxxxyxx、【例【例1.7】（书上】（书上P4例例1.1-1题）饼干生产问题。某厂生产两类饼干，题）饼干生产问题。某厂生产两类饼干，需搅拌机需搅拌机A1，成形机，成形机A2 ，烘箱，烘箱A3三种设备，每天的所需机时及机时限三种设备，每天的所需机时及机时限制，利润指标如下表，问如何制订生产计划，可使获得最高利润？制，利润指标如下表，问如何制订生产计划，可使获得最高利润？【解】【解】 设设x1、x2为每天生产为每天生产 、 两种饼干的产量（单位：吨），则两种饼干的产量（单位：吨），则目标函数是目标函数是产品资源产品资源每天现每天现有工时有工时搅拌机搅拌机A13515成形机成形机A2215烘箱烘箱A32211利润利润/（百元（百元/吨）吨）54 12max 54zxx约束条件有：约束条件有：搅拌机约束搅拌机约束成形机约束成形机约束烘箱约束烘箱约束非负约束非负约束123515xx1225xx122211xx120 xx ，本问题的数学模型本问题的数学模型1212121212max 54. 5415 25 2211 0,0zxxstxxxxxxxx【例【例1.8】（书上】（书上P6例例1.1-2题）运输问题。总公司收到上海题）运输问题。总公司收到上海B1，青岛，青岛B2 ，西安，西安B3三家商场的电机订单，需求分别为三家商场的电机订单，需求分别为100台，台，80台，台，90-120台，现有北京台，现有北京A1，武汉，武汉A2二个仓库，库存分别为二个仓库，库存分别为200台，台，150台，所需台，所需运费如下表，问如何调运电机，可使总运费最少？运费如下表，问如何调运电机，可使总运费最少？ B1B2B3库存库存A1152118200A2202516150需求需求1008090-120 【解】【解】 设设 xij 为从仓库为从仓库 Ai 调到商场调到商场 Bj 的电机数量（的电机数量（i=1,2, j=1,2,3），），则目标函数是则目标函数是111231212223min 152118202516zxxxxxx库存约束库存约束需求约束需求约束非负约束非负约束111213200 xxx1121100 xx0, (1,2 ; 1,2,3)ijxij问题的数问题的数学模型学模型212223150 xxx12220 xx8132390 xx1323120 xx1112132122231112132122231121122213231323min 152118202516. 200 150 100, 80 90, 120 0ijzxxxxxxstxxxxxxxxxxxxxxx小结：建立线性规划数学模型小结：建立线性规划数学模型建立数学模型是学习线性规划的第一步也是建立数学模型是学习线性规划的第一步也是关键的一步。关键的一步。建立正确的数学模型要掌握建立正确的数学模型要掌握3个要素：个要素：研究的问题是求什么，即设置决策变量；研究的问题是求什么，即设置决策变量；问题要达到的目标是什么，即建立目标函数，问题要达到的目标是什么，即建立目标函数，目标函数一定是决策变量的线性函数并且求最大目标函数一定是决策变量的线性函数并且求最大值或求最小值；值或求最小值；限制达到目标的条件是什么，即建立约束条件。限制达到目标的条件是什么，即建立约束条件。作业：作业：第1次作业.doc1.1.2 线性规划的一般模型及标准形线性规划的一般模型及标准形一般地，假设线性规划数学模型中，有一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有个约束，有n个决策变量个决策变量xj, j=1,2,n，目标函数的变量系数用，目标函数的变量系数用cj表示表示, cj称为称为价值系数价值系数。约。约束条件的变量系数用束条件的变量系数用aij表示，表示，aij称为称为工艺系数工艺系数。约束条件右端的。约束条件右端的常数用常数用bi表示，表示，bi称为称为资源限量资源限量。则线性规划数学模型的一般表达。则线性规划数学模型的一般表达式可写成式可写成1 1221111221121 1222221 122max(min)(, )(, )(, )0,1,2,nnnnnnmmmnnmjZc xc xc xa xa xa xba xa xa xba xaxaxbxjn 或或或为了书写方便，上式也可写成：为了书写方便，上式也可写成： 11max(min)(, )1,2,0,1,2,njjjnijjijjZc xa xbimxjn 或在实际中一般在实际中一般xj0,但有时但有时xj0或或xj无符号限制。无符号限制。线性规划的线性规划的一般模型一般模型线性规划的标准型线性规划的标准型Standard form of LP在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。线性规划问题的标准型为线性规划问题的标准型为:1目标函数求最大值（或求最小值）目标函数求最大值（或求最小值）2约束条件都为等式方程约束条件都为等式方程3变量变量xj非负非负4常数常数bi非负非负mibnjxbxaxaxabxaxaxabxaxaxaijmnmnmmnnnn,2, 1,0,2, 1,02211222222111212111max(或或min)Z=c1x1+c2x2+cnxn注：本教材默认目标函数是注：本教材默认目标函数是 min1minnjjjZc xminjxbxajnjijij, 2 , 1, 2 , 1, 01或写成下列形式或写成下列形式： 或用矩阵形式或用矩阵形式min. 0TZc xAxbstx111211112122222212nnmmm nnmnaaaxbcaaaxbcAxbcaaaxbc ；通常通常 x 记为：记为： 称为约束方称为约束方程的系数矩阵，程的系数矩阵，m是约束方程的个数，是约束方程的个数，n是决策变量的个数，是决策变量的个数，一般情况一般情况mn，且，且r()m。12(,)Tnxxxx其中其中:min. 0TZc xAxbstx如何将一般模型化为标准形如何将一般模型化为标准形对约束条件中含有对约束条件中含有“ ”的不等式，可在其左边加入一个非负的不等式，可在其左边加入一个非负变量（称为松驰变量），使之变为等式。变量（称为松驰变量），使之变为等式。对约束条件中含有对约束条件中含有“ ”的不等式，可在其左边减去一个非负的不等式，可在其左边减去一个非负变量（称为剩余变量），使之变为等式。变量（称为剩余变量），使之变为等式。对约束条件中对某些变量无符号限制，可作变量替换，如对约束条件中对某些变量无符号限制，可作变量替换，如x1无符号限制，则令无符号限制，则令x1=x2x3， x2x3为非负变量。为非负变量。【例【例1.9】将下列线性规划化为标准形】将下列线性规划化为标准形 3213minxxxZ无符号要求、32132132132100)3(523)2(3) 1 (82xxxxxxxxxxxx【解】（）因为【解】（）因为x3无符号要求无符号要求 ，即，即x3取正值也取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以令可取负值，标准型中要求变量非负，所以令 0,33333 xxxxx其中3213minxxxZ无符号要求、32132132132100) 3(523)2(3) 1 (82xxxxxxxxxxxx(2) 第一个约束条件是第一个约束条件是号，在号，在左端左端加入松驰变量加入松驰变量 (slack variable) x4，x40,化为等式；化为等式；(4)第三个约束条件是第三个约束条件是号且常数项为负数，因此在号且常数项为负数，因此在左边加入松左边加入松驰变量驰变量x6，x60，同时两边乘以，同时两边乘以1。 （5）目标函数是最小值，为了化为求最大值，令）目标函数是最小值，为了化为求最大值，令Z=Z,得到得到max Z=Z，即当，即当Z达到最小值时达到最小值时Z达到最大值，反之亦然。达到最大值，反之亦然。 (3)第二个约束条件是第二个约束条件是号，在号，在 左端左端减去剩余变量减去剩余变量(Surplus variable)x5，x50。也称松驰变量。也称松驰变量综合起来得到下列标准型综合起来得到下列标准型 332133maxxxxxZ 05)(233826543321633215332143321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx、 当某个变量当某个变量xj0时时,令令x/j=xj 。 当某个约束是绝对值不等式当某个约束是绝对值不等式时，将绝对值不等式化为两个不等式，再化为等式，例如约束时，将绝对值不等式化为两个不等式，再化为等式，例如约束 974321xxx将其化为两个不等式将其化为两个不等式 974974321321xxxxxx再加入松驰变量化为等式。再加入松驰变量化为等式。 【例例1.10】将下例线性规划化为标准型】将下例线性规划化为标准型无约束、211212145|maxxxxxxxxZ【解】解】 此题关键是将目标函数中的绝对值去掉。此题关键是将目标函数中的绝对值去掉。令令 0000000000002222222211111111xxxxxxxxxxxxxxxx，111111222222|,|,xxxxxxxxxxxx 则有则有得到线性规划的标准形式得到线性规划的标准形式 112211223114112234max()()540Zxxxxxxxxxxxxxxxxxx 、 、 、 、 、对于对于axb(a、b均大于零均大于零)的有界变量化为标准形式有两种方的有界变量化为标准形式有两种方法。法。 一种方法是增加两个约束一种方法是增加两个约束xa及及xb 另一种方法是令另一种方法是令x=xa，则，则axb等价于等价于0 xba，增加，增加一个约束一个约束xba并且将原问题所有并且将原问题所有x用用x= x+a替换。替换。1.如何化标准形式？如何化标准形式？ 可以对照四条标准逐一判断！可以对照四条标准逐一判断！ 标准形式是人为定义的，目标函数也可以是求最大值。标准形式是人为定义的，目标函数也可以是求最大值。2.用用WinQSB软件求解时，不必化成标准型。软件求解时，不必化成标准型。图解法时不必化为标准型。图解法时不必化为标准型。3.单纯形法求解时一定要化为标准型。单纯形法求解时一定要化为标准型。作业：教材作业：教材P63 T2，3，6，8，10中的线性规划化为标准形。中的线性规划化为标准形。下一节：图解法下一节：图解法1.2 图解法图解法 Graphical Method若若x*满足约束条件，则称之为满足约束条件，则称之为LP问题的问题的可行解可行解。所有可行解的集合称为所有可行解的集合称为可行域可行域。使目标函数达到最优值的可行解称为使目标函数达到最优值的可行解称为最优解最优解。对给定的对给定的LP问题，若存在最优解，则称该问题，若存在最优解，则称该LP问题有解问题有解，否则，否则称称LP问题无解问题无解。线性规划线性规划的标准形的标准形11min1,2,0,1,2,njjjnijjijjZc xa xbimxjn几个概念几个概念图解法的步骤：图解法的步骤：1.求可行解集合。求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非负要求的分别求出满足每个约束包括变量非负要求的区域，其交集就是可行解集合，或称为区域，其交集就是可行解集合，或称为可行域可行域；2.绘制目标函数图形。绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点（先过原点作一条矢量指向点（c1,c2)，矢，矢量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作一量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；3.求最优解。求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。最优解。一般地，将目标函数直线放在可行域中一般地，将目标函数直线放在可行域中 求最大值时直线沿着矢量方向移动求最大值时直线沿着矢量方向移动 求最小值时沿着矢量的反方向移动求最小值时沿着矢量的反方向移动x1x2O1020304010203040(3,4)(15,10)最优解最优解X=(15,10)最优值最优值Z=8540221xx305 . 121xx0, 0305 . 1402212121xxxxxx例例1.112143maxxxZ246x1x2246最优解最优解X=(3,1)最优值最优值Z=5(3,1)006346321212121xxxxxxxx、min Z=x1+2x2例例1.12(1,2)246x1x2246X（2）（3,1）X（1）（1,3）(5,5)006346321212121xxxxxxxx、min Z=5x1+5x2例例1.13有无穷多个最优解有无穷多个最优解即具有多重解即具有多重解,通解为通解为 01 ,)1 ()2() 1 (XXX 当当=0.5时时=(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2) 246x1x2246(1,2)006346321212121xxxxxxxx、无界解无界解(无最优解无最优解)max Z=x1+2x2例例1.14x1x2O102030401020304050500,050305 .140221212121xxxxxxxx无可行解无可行解即无最优解即无最优解max Z=10 x1+4x2例例1.15由以上例题可知，线性规划的解有由以上例题可知，线性规划的解有4种形式种形式：1.有唯一最优解有唯一最优解(例例1.11例例1.12)2.有多重解有多重解(例例1.13)3.有无界解有无界解(例例1.14)4.无可行解无可行解(例例1.15)1、2情形为有最优解情形为有最优解3、4情形为无最优解情形为无最优解1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式通过图解法了解线性规划有几种解的形式2.作图的关键有三点作图的关键有三点 (1)可行解区域要画正确可行解区域要画正确 (2)目标函数增加的方向不能画错目标函数增加的方向不能画错 (3)目标函数的直线怎样平行移动目标函数的直线怎样平行移动作业：教材作业：教材P63 T1，2，3 下一节：线性规划的有关概念及基本定理下一节：线性规划的有关概念及基本定理1.4 线性规划的有关概念线性规划的有关概念Basic Concepts of LP1. 线性规划常用的概念：凸集、凸组合、极点线性规划常用的概念：凸集、凸组合、极点（凸点）、可行解、基本解、基本（凸点）、可行解、基本解、基本 可行解、最可行解、最优解、基本最优解、基、可行基、最优基优解、基本最优解、基、可行基、最优基2.线性规划的三个基本定理。线性规划的三个基本定理。凸集凸集(Convex set)设设K是是n维空间的一个点集，对任意两点维空间的一个点集，对任意两点 时，则称时，则称K为凸集。为凸集。,)2()1(KXX、) 10()1 ()2()1(KXXX当 就是以就是以X（1）、X（2）为端点的线为端点的线段方程，点段方程，点X的位置由的位置由的值确定，当的值确定，当=0时，时，X=X（2），当，当=1时时X=X（1）)2()1()1 (XXX凸组合凸组合(Convex combination) 设设 是是Rn 中的点若存在中的点若存在 使得使得 成立，成立， 则称则称X为为 的的凸组合。凸组合。)()2()1(,KXXXX及，且，021iK11KiiiKiiXX1)()2()1(,KXXX极点极点(Extreme point) 设设K是凸集，是凸集， ，若，若X不能用不能用K中两个不同的中两个不同的 点点 的凸组合表示为的凸组合表示为KX )2()1(, XX )10()1 ()2()1( XXX则称则称X是是K的一个极点或顶点。的一个极点或顶点。 X X是凸集是凸集K K的极点是指的极点是指X X不不可能是可能是K K中某一线段的内中某一线段的内点，只能是点，只能是K K中某一线段中某一线段的端点。的端点。 1Q2QO3Q4Q 设线性规划的标准型设线性规划的标准型 min Z=CX （1.1） AX=b （1.2） X 0 （1.3）式中式中A 是是mn矩阵，矩阵，mn并且并且r（A）=m，显然，显然A中至少有中至少有一个一个mm子矩阵子矩阵B，使得，使得r（B）=m。基基 (basis)A中中mm子矩阵子矩阵B并且有并且有r（B）=m，则称，则称B是线性规是线性规划的一个基（或基矩阵划的一个基（或基矩阵basis matrix ）。当）。当m=n时，基矩阵唯一，时，基矩阵唯一，当当mn时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过mnC【例【例1.14】线性规划】线性规划 32124maxxxxZ12341235 531062 2 0,1,5jxxxxxxxxxj 求所有基矩阵求所有基矩阵。 【解】约束方程的系数矩阵为【解】约束方程的系数矩阵为25矩阵矩阵 10261001115A,610151B,010152B,110053B26114B10019B,12017B,02118B,16016B,06115B容易看出容易看出r(A)=2，2阶子矩阵有阶子矩阵有C52=10个，其中第个，其中第1列与第列与第3列构成列构成的的2阶矩阵不是一个基，基矩阵只有阶矩阵不是一个基，基矩阵只有9个，即个，即由线性代数知，基矩阵由线性代数知，基矩阵B必为非奇异矩阵并且必为非奇异矩阵并且|B|0。当矩。当矩阵阵B的行列式等于零（即的行列式等于零（即|B|=0）时就不是基）时就不是基 当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量称为当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量称为基基向量向量(basis vector)，其余列向量称为，其余列向量称为非基向量非基向量 基向量对应的变量称为基向量对应的变量称为基变量基变量(basis variable)，非基向量对，非基向量对应的变量称为应的变量称为非基变量非基变量 在上例中在上例中B2的基向量是的基向量是A中的第一列和第四列，其余列向量中的第一列和第四列，其余列向量是非基向量，是非基向量，x1、x4是基变量，是基变量，x2、x3、x5是非基变量。基变是非基变量。基变量、非基变量是针对某一确定基而言的，不同的基对应的基量、非基变量是针对某一确定基而言的，不同的基对应的基变量和非基变量也不同。变量和非基变量也不同。010152B10261001115A可行解可行解(feasible solution) 满足式（满足式（1.2）及（）及（1.3）的解）的解x=（x1,x2，xn)T 称为可行解称为可行解 。基本可行解基本可行解(basis feasible solution) 若基本解是可行解则称若基本解是可行解则称为是基本可行解（也称基可行解）。为是基本可行解（也称基可行解）。 例如，例如， 与与X=(0，0，0，3，2)都是例都是例1 的可行解。的可行解。 TX) 1 ,27,21, 0 , 0( 基本解基本解(basis solution) 对某一确定的基对某一确定的基B，令非基变量等于零，令非基变量等于零，利用式（利用式（1.） 解出基变量，则这组解称为基解出基变量，则这组解称为基的基的基本解。本解。 最优解最优解(optimal solution) 满足式满足式 （1 .1）的可行解称为最优解，）的可行解称为最优解，即是使得目标函数达到最大值的可行解就是最优解，例即是使得目标函数达到最大值的可行解就是最优解，例如可行解如可行解 是例是例2的最优解。的最优解。TX)8 ,0,0,0,53(非可行解非