三角形的角平分线中线和高ppt课件.ppt

第九章第九章 三角形三角形9.3 9.3 三角形的角平分线、三角形的角平分线、中线和高中线和高1课堂讲解课堂讲解u三角形的角平分线三角形的角平分线u三角形的中线三角形的中线u三角形的高三角形的高2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1. 角平分线的定义及画法：角平分线的定义及画法： 一条射线把一个角分成两个一条射线把一个角分成两个相等的角相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线这条射线叫做这个角的平分线.2. 线段中点的定义：线段中点的定义： 把一条线段分成两条把一条线段分成两条相等的线段相等的线段 的点的点.3. 做做“过一点作已知直线的垂线过一点作已知直线的垂线”：知识回顾知识回顾有一天，小明回家看到弟弟正在对着下边的三角形有一天，小明回家看到弟弟正在对着下边的三角形发呆，小明有一点奇怪了，外号发呆，小明有一点奇怪了，外号“坐不住坐不住”的弟弟怎么的弟弟怎么能坐住了？原来是弟弟想作出三角形能坐住了？原来是弟弟想作出三角形ABC的三条高，但的三条高，但是他不会作边是他不会作边AB、BC上的高，小明不假思索的说：上的高，小明不假思索的说：“我来帮你我来帮你”，当他准备作时，也难住了，聪明的你，能，当他准备作时，也难住了，聪明的你，能帮帮小明兄弟吗？帮帮小明兄弟吗？1知识点知识点三角形的角平分线三角形的角平分线知知1 1导导定义定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的这个角的顶点和交点之间的线段顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线叫三角形的角平分线.角平分线的理解：角平分线的理解： AD是是ABC的角平分线的角平分线BAD=CAD= BAC12想一想，一个三角形有几条角平分线？请同学们画出，想一想，一个三角形有几条角平分线？请同学们画出，思考它们有什么特点？思考它们有什么特点？三角形的角平分线是一条三角形的角平分线是一条线段线段，而角平分线是一条，而角平分线是一条 射线射线.一个三角形有一个三角形有三条三条角平分线，并且都在三角形的角平分线，并且都在三角形的内内 部部交于一点交于一点.知知1 1导导（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲例例1 如图，如图，ABC中，中，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAC，DFAB，EF交交AD于点于点O，请问，请问DO是是DEF的角平分线吗？说明理由的角平分线吗？说明理由要知道要知道DO是不是是不是DEF的角平的角平分线，只需要知道分线，只需要知道EDO与与FDO是否相等若相等，根是否相等若相等，根据三角形的角平分线的定义即据三角形的角平分线的定义即可判定可判定导引：导引：（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲DO是是DEF的角平分线理由如下：的角平分线理由如下：因为因为AD是是ABC的角平分线，的角平分线，所以所以DABDAC(角平分线定义角平分线定义)因为因为DEAC，DFAB，所以所以DACADE，DABADF(两直线平两直线平行，内错角相等行，内错角相等)，所以，所以ADEADF(等量代换等量代换)，所以所以DO是是DEF的角平分线的角平分线解：解：总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨） 本例在解题过程中，先利用角平分线的定义，得本例在解题过程中，先利用角平分线的定义，得出相等的角，再结合相关条件出相等的角，再结合相关条件(如平行等如平行等)推出新的一推出新的一组相等的角，最后由角平分线的定义说明角平分线，组相等的角，最后由角平分线的定义说明角平分线，它经历了定义它经历了定义条件条件定义的过程，这就是定义的过程，这就是定义法定义法1如图，如图，12，34，下列结论中错误，下列结论中错误的是的是()ABD是是ABC的角平分线的角平分线BCE是是BCD的角平分线的角平分线C3 ACBDCE是是ABC的角平分线的角平分线知知1 1练练12（来自（来自典中点典中点）D2一个三角形的三条角平分线的交点在一个三角形的三条角平分线的交点在()A三角形内三角形内B三角形外三角形外C三角形的某边上三角形的某边上 D以上三种情形都有可能以上三种情形都有可能知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）A2知识点知识点三角形的中线三角形的中线知知2 2导导定义：定义：在三角形中，连接一个在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点顶点和它的对边中点的线段的线段叫做这个三角形的中线叫做这个三角形的中线.三角形中线的理解：三角形中线的理解：AD是是 ABC的中线的中线BD=CD= BC12知知2 2导导想一想，一个三角形有几条中线？请同学们画出想一想，一个三角形有几条中线？请同学们画出.它们有什么特点？它们有什么特点？三角形的中线是一条三角形的中线是一条线段线段.任何三角形有任何三角形有三条三条中线，并且都在三角形的中线，并且都在三角形的内部内部交交 于一点于一点.（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲例例2 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田地均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案平分的方案根据等底同高的三角形的面积相根据等底同高的三角形的面积相等，要等分三角形的面积，只需等，要等分三角形的面积，只需要作出一条边上的中线即可要作出一条边上的中线即可.导引：导引：知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）解：解： 根据要求，平分田地的直线必须经过三角形的顶根据要求，平分田地的直线必须经过三角形的顶点画点画ABC的中线的中线AD(如图如图)，则，则AD就把就把ABC的的面积平分成两份这是因为面积平分成两份这是因为AD是是ABC的中线，所的中线，所以以BDDC.过点过点A作作AEBC于点于点E.在在ABD和和ACD中，因为中，因为BD，CD边上的高都是边上的高都是AE，所以由三，所以由三角形的面积计算公式，知角形的面积计算公式，知ABD和和ACD的面积相等，的面积相等，因此，要把因此，要把ABC平分成两个三角形，只需画中线平分成两个三角形，只需画中线AD即可，这是一种平分方法即可，这是一种平分方法(本题答案不唯一，作本题答案不唯一，作AB，AC边上的中线也可以边上的中线也可以)总总 结结（来自（来自点拨点拨）(1)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相 等的两部分，即等底同高的三角形面积相等；等的两部分，即等底同高的三角形面积相等；(2)拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量，拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量， 如果有其中的两个量相等，那么第三个量也相等如果有其中的两个量相等，那么第三个量也相等.知知2 2讲讲（来自教材）（来自教材）(1)如图，如图，ABC的面积等于的面积等于10，AD是中线，分别是中线，分别求出求出ABD和和ACD的面积的面积.(2)你能把一个三角形分成面积相等的两部分吗？分你能把一个三角形分成面积相等的两部分吗？分成面积相等的四部分呢？分成面积相等的三部分成面积相等的四部分呢？分成面积相等的三部分呢？呢？1知知2 2练练知知2 2练练(1)因为因为AD是是ABC的中线，所以的中线，所以BDDC BC，所以所以SABDSACD SABC5.(2)把一个三角形分成面积相等的两部分，如图所把一个三角形分成面积相等的两部分，如图所示，其中示，其中BDDC BC，SABDSADC SABC.解：解：（来自教材）（来自教材）12121212(题题图图)知知2 2练练把一个三角形分成面积相等的四部分，如图所示，把一个三角形分成面积相等的四部分，如图所示，其中其中BDDEEFFC BC，SABDSADESAEFSAFC SABC. 把一个三角形分成面积相等的三部分，如图所示，把一个三角形分成面积相等的三部分，如图所示，其中其中BDDEEC BC，SABDSADESAEC SABC.（来自教材）（来自教材）14141313(题题图图)(题题图图)若若AD是是ABC的中线，下列结论错误的是的中线，下列结论错误的是()AABBC BBDDCCAD平分平分BC DBC2DC已知已知D，E分别是分别是ABC的边的边AC，BC的中点，那么的中点，那么下列说法中不正确的是下列说法中不正确的是()ADE是是BCD的中线的中线BBD是是ABC的中线的中线CADDC，BEECDADEC，DCBE知知2 2练练2A（来自（来自典中点典中点）3D三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个()A形状相同的三角形形状相同的三角形 B面积相等的三角形面积相等的三角形C直角三角形直角三角形 D周长相等的三角形周长相等的三角形如图，已知如图，已知BD是是ABC的中线，的中线，AB5，BC3，则则ABD和和BCD的周长的差是的周长的差是()A2B3C6D不能确定不能确定知知2 2练练4B（来自（来自典中点典中点）5A如图，在如图，在ABC中，中，D，E分别为分别为BC，AD的中点，的中点，且且SABC4，则，则S阴影阴影为为()A2B1C. D.知知2 2练练6B（来自（来自典中点典中点）1214已知三角形的三条中线交于一点，则下列结论：已知三角形的三条中线交于一点，则下列结论：这一点在三角形的内部；这一点在三角形的内部；这一点有可能在三角形的外部；这一点有可能在三角形的外部；这一点是三角形的重心这一点是三角形的重心其中正确的结论有其中正确的结论有_(填序号填序号)知知2 2练练7（来自（来自典中点典中点）3知识点知识点三角形的高三角形的高知知3 3导导定义：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线做垂从三角形一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，线，顶点和垂足间的线段顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三叫做三角形的高线，简称三角形的高角形的高.对三角形高的理解：对三角形高的理解：AD是是 ABC的高的高ADBC或或ADC=ADB =90知知3 3导导想一想，一个三角形有几条高？请同学们用同样的方想一想，一个三角形有几条高？请同学们用同样的方法画出法画出.它们有什么特点？它们有什么特点？三角形的高是一条三角形的高是一条线段线段.一个三角形有一个三角形有三条三条高，三条高高，三条高(或高的延长线或高的延长线)相交相交 于一点于一点.可分为锐角三角形可分为锐角三角形(内部内部)，直角三角形，直角三角形(直角直角 顶点顶点)，钝角三角形，钝角三角形(外部外部).知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）(动手操作题，易错题动手操作题，易错题)画出图中画出图中ABC的三条的三条高高(要标明字母，不写画法要标明字母，不写画法)例例3 导引导引：“作一边上的高作一边上的高”，即可看作，即可看作“过一点过一点(这边所对这边所对角的顶点角的顶点)作已知直线作已知直线(这边所在的直线这边所在的直线)的垂线的垂线”按照按照“过一点作已知直线的垂线过一点作已知直线的垂线”进行作图，顶进行作图，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注意点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注意AB，BC边上的高在三角形的外部，作高时先延长边上的高在三角形的外部，作高时先延长AB与与CB.（来自（来自点拨点拨）解：解：如图所示如图所示.知知3 3讲讲总总 结结（来自（来自点拨点拨）(1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高 的步骤就是的步骤就是“过一点作已知直线的垂线过一点作已知直线的垂线”的步骤：的步骤： 一靠一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、二、二 找找(移动三角尺使另一条直角移动三角尺使另一条直角 边通过要作高的顶点边通过要作高的顶点)、三画、三画 线线(画垂线段画垂线段)，如图，如图.(2)注意：高是线段，垂线是直线注意：高是线段，垂线是直线知知3 3讲讲（来自教材）（来自教材）如图如图.AD，AE，AF分别是分别是ABC的中线、角平分线和高的中线、角平分线和高.请你指出图中相等的角及相等请你指出图中相等的角及相等的线段的线段.1相等的角有相等的角有BAEEAC，AFBAFC；相；相等的线段有等的线段有BDDC.解：解：知知3 3练练（来自教材）（来自教材）分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线、三条中线和三条高三条角平分线、三条中线和三条高.2(1)锐角三角形锐角三角形(如图所示如图所示)(2)直角三角形直角三角形(如图所示如图所示)解：解：知知3 3练练（来自教材）（来自教材）(3)钝角三角形钝角三角形(如图所示如图所示)知知3 3练练（来自教材）（来自教材）如图，在如图，在ABC中，中，AD是角平分线，是角平分线，AE是高，是高，BAC=40，C=60.求求DAE的度数的度数.3因为因为AD平分平分BAC，所以，所以CADBAC20.因为因为ADE是是ACD的一个外角，所的一个外角，所以以ADECCAD602080.又因又因为为AE是是ABC的高，所以的高，所以AED90，所以在，所以在AED中，中，DAE180AEDADE180908010.解：解：知知3 3练练12（来自教材）（来自教材）如图，在如图，在ABC中，中，ABC=62，BD是角平分线，是角平分线，CE是高，是高，BD与与CE交交于点于点O.求求BOC的度数的度数.4因为因为BD是是ABC的角平分线，的角平分线，所以所以OBC ABC31.因为因为CE是是ABC的的高，所以高，所以BEC90，所以在，所以在BEC中，中，ECB180EBCBEC180629028，所以在，所以在BOC中，中，BOC180OBCOCB1803128121.解：解：知知3 3练练12（来自教材）（来自教材）如图，在如图，在ABC中，中，AD是高，是高，BE是角平分线，是角平分线，AD，BE交于点交于点F，C= 30，BFD=70.求求BAC的度数的度数.5因为因为AD是是ABC的高，的高，所以所以ADB90，所以在，所以在BFD中，中，FBD180FDBBFD180907020.又因为又因为BE是是ABC的角平分线，所以的角平分线，所以ABFFBD20，所以，所以ABC40，所以，所以BAC180ABCC1804030110.解：解：知知3 3练练下列图形中，下列图形中，AD是是ABC的高的是的高的是()下列说法中正确的是下列说法中正确的是()A三角形的三条高都在三角形内三角形的三条高都在三角形内B直角三角形只有一条高直角三角形只有一条高C锐角三角形的三条高都在三角形内锐角三角形的三条高都在三角形内D三角形每一边上的高都小于其他两边三角形每一边上的高都小于其他两边6（来自（来自典中点典中点）B知知3 3练练C7【中考中考娄底娄底】如图，已知在直角三角形如图，已知在直角三角形ABC中，中，ABC90，点，点D沿沿BC自自B向向C运动运动(点点D与点与点B，C不重合不重合)，作，作BEAD于于E，CFAD于于F，则，则BECF的值的值()A不变不变 B增大增大C减小减小 D先变大再变小先变大再变小8（来自（来自典中点典中点）C知知3 3练练能把三角形平分成两个面积相等的三角形的线段能把三角形平分成两个面积相等的三角形的线段是是()A三角形的中线三角形的中线 B三角形的高三角形的高C三角形的角平分线三角形的角平分线 D以上三种情况都正确以上三种情况都正确9（来自（来自典中点典中点）A知知3 3练练1.三角形的中线三角形的中线 (1)定义：三角形的中线是一条线段定义：三角形的中线是一条线段. (2)三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三 角形的重心角形的重心.2.三角形的角平分线三角形的角平分线 (1)定义：定义：三角形的角平分线是一条线段三角形的角平分线是一条线段. (2)三角形三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形三条角平分线相交于一点，这一点叫做 三角形的内心三角形的内心.1知识小结知识小结3. 三角形的高三角形的高定义：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线从三角形一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，做垂线，顶点和垂足间的线段顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，叫做三角形的高线，简称三角形的高简称三角形的高.2易错小结易错小结如图，如图，ADBC于点于点D，那么图中以，那么图中以AD为高的三角形为高的三角形有有_个个易错点：易错点：对三角形的高的定义不理解导致出错对三角形的高的定义不理解导致出错6图中所有三角形都可以以图中所有三角形都可以以AD为高，即以为高，即以AD为高为高的三角形有的三角形有6个，本题容易忽视个，本题容易忽视AEC也是以也是以AD为高的三角形为高的三角形 请完成请完成典中点典中点 、 板块板块 对应习题！对应习题！