常见重要不等式ppt课件.ppt
该幻灯片是介绍初等数学中几个重要的不等式，其中包括平均数不等式，白努力不等式和柯西不等式，最后还列出了几个著名的不等式.由不等式的性质引出新课，一步步将新授课传授给学生.一、不等式的基本性质常见的几个重要不等式六、小结五、一些有用的不等式四、柯西不等式的证明与应用三、白努力不等式的证明与应用二、平均数不等式的证明与应用不等式的基本性质设u=，v=(),21nxxxgL(),21nxxxfL是两个取值为实数的函数.若u-v是正数 ，就说u大于v,记成uv，也说v小于u,记成v”, “”，或连结两个这样的函数所组成的式子叫作不等式.形如：(),21nxxxfL(),21nxxxgL(),21nxxxfL(),21nxxxgLabba222+xxx01211223b , bc , 则ac 2.在ab , ab , 则a+c b+c 4.不等式的不等号两边移项时符号反号 5.若ab , cd , 则a+c b+d 6.若a b , c b-d 不等式的基本性质7.若ab , 则当c0时, acbc ;当c0时, acbc当c=0时, ac=bcax则-ax0 , 若则xa或x11.若ab0 , 整数 n1 , 则nnba 10.若ab0 , 整数 n1 , 则 9.若ab0 , 0c b/d 8.若ab0 , cd0 , 则 acbd不等式的基本性质完全平方公式引出的不等式:()2222bababa+-由任何数的平方不小于0，则有：()02- ba0222+-babaabba222+结论：任意两个数的平方和不小于两个数 积的两倍平均数不等式的证明与应用定义：naaaAnn+L21几何平均数nnnaaaHL11调和平均数naaannG11121L+算术平均数平均数不等式的证明与应用则1,2, 1,0nniaiL若()()111+-+kGAkk由于11+kkax()121+kkkaaayL令假定定理1在n=k (k1)时成立，当n=k+1时证明：naaaL21时成立.中等号当且仅当定理1平均数不等式的证明与应用1, 2 , 1, 0nniaiLnnBA其，则若22BA , 知当=2时，由()0221-aa时等号成立。其中等号当且仅当21aa 11+kkGA(1)要证0)()(-yxkyyxxkkk()111+-+xykxkykkk)()()(111-+-+-yxyyxyyxyxkkkkkL)(11-+-+kyxyyxxyxkkkkL()11121121+-+aaaakaaaakkkkkkkLL()11121121+-+aaaakaaaakkkkkLL至此，证明了定理1对任何整数n1都成立.所以,(1)成立121+kaaaL当时，显然（1）取等号.反过来,121,+kkaaaaL当不全相等时，若kaaa,21L中 中至少有两个不等，按归纳假定，（2）不取若121+kkaaaaL则yx ,而（3）不取等号. 等号；naaaL21时成立.等号当且仅当定理1 由定理1还可以得出几个推论：（即： 个正整数的调和平均数不大于它们的+21nnxxxL其中等号当且仅当121nxxxL时成立推论2当且仅当21nxxxL时成立想一想：定理1的这两个推论应该怎么证明？平均数不等式的证明与应用1, 2 , 1, 0nniaiLnnBA其中,则若推论1, 1, 2 , 1, 021nixxxnixLL则若, 2 , 1, 0inixL则nnGH,其中等号若几何平均数）定理1及其推论在证明不等式和求最值等方()1)1(1111+nnn例1.已知 Nn,求证证明：即得证平均数不等式的证明与应用面有广泛的应用 Nn,由定理1有：对任意1111+nnn1111+nn11)+111(1*1111+nnnnnnnn_例2. 求周长为定值的一类四边形的面积的最如图,则ba设四边形的面积为S，两个内对角为a，babcd平均数不等式的证明与应用大值.解：2max2pS4424-+-+-+-pdpcpbpap)(21+dcbap)()()(-dpcpbpap222222222)(21)(41-+-+dcbadcbaS2222222222)cos(224+-+-+abcddcbadcbaSbasinsin2+cdabSba(1)2222coscos)(21-+cdabdcbaba(2)，得：）（）（2221+-dpcpbpap+pba因此，,且时，定理2其中等号成立的充要条件为x=0证明：其中等号恰在1+x=1,即x=0时成立白努力不等式的证明与应用xxnma+11nmnxm-+1*)()1 (nmNnmnma),(于是xxnmnma+-1*11）（）（2）当a1时，xxaa+11）（1）当 0a-1,则aannlimaxxrr+1*1a()axx+11a()nxaxnan+,2,1,11L若a是小于1的正无理数,取aaan,21LL由刚才证明的结果,有()()()axxaxxnnann+11lim1lim1a于是x 0当x=0时,显然上式取等号.现在证明: 当时,r 10ar 1a取有理数r,使.这里就有ra()()xrxxrr+111aa于是即1）得证其中每一个都是小于1的正有理数,并使白努力不等式的证明与应用定理2其中等号成立的充要条件为x=02）当a1时，xxaa+11）（1）当 0a-1,则证明：根据, 1101）,得由a01+ax11*11)1(+aaaaxxx于是1)1(+aaxx.显然的时,等号成立的条件是或当0a11112-+-aaanxnxnx当aaaxn1*11)1(+aaaaxxnnnxxna1)1(-+-axnxn10-+-aaxx又由于a111)1(1)1(+-+-aaanxxnxxnn从而有证明：依定理2的1），有于是由上面两个不等式，即得证白努力不等式的证明与应用()()llllaaa111+-+()()llllaaa111+llaa11111-+llaa11111+1,-1l0,求证()()lllllllaaaaa11111111+-+110 , 011+-nniaiLnnBA其，则若定理3.121221niiniiniiibaba定理2其中等号成立的充要条件为x=02）当a1时，xxaa+11）（1）当 0a-1,则+21nnxxxL其中等号当且仅当121nxxxL时成立推论2当且仅当21nxxxL时成立推论1, 1, 2 , 1, 021nixxxnixLL则若, 2 , 1, 0inixL则nnGH,其中等号若
