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机器人动力学机器人动力学Dynamics of Robotics研究机器人的运动特性与力的关系。有两类问题：动力学正问题：各关节的驱动力（或力矩），求解机器人的运动（关节位移、速度和加速度），主要用于机器人的仿真。动力学逆问题：已知机器人关节的位移、速度和加速度，求解所需要的关节力（或力矩），是实时控制的需要。机器人动力学机器人动力学Dynamics of Robotics5.1 5.1 工业机器人速度分析工业机器人速度分析5.2 5.2 工业机器人静力分析工业机器人静力分析5.3 5.3 机械手动力学方程机械手动力学方程5.1 工业机器人速度分析工业机器人速度分析5.1.1雅可比矩阵雅可比矩阵 两空间之间速度的两空间之间速度的线性映射关系线性映射关系雅可比矩阵（简称雅可雅可比矩阵（简称雅可比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比传动比，同时也可用来表示两空间之间同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。力的传递关系。vxvy12),(21),(yx存在存在怎样怎样的关的关系系 首先来看一个两自由度的首先来看一个两自由度的平面机械手，如图平面机械手，如图5-1所示。所示。图图5-1 两自由度平面机械手两自由度平面机械手 容易求得容易求得将其微分得将其微分得写成矩阵形式写成矩阵形式1221112211slslyclclx211221221112212211ddclclclslslsldydx简写成简写成 ： dx=Jd。式中式中J就称为机械手的雅可比（就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵矩阵，反映了关节，反映了关节空间微小运动空间微小运动d与手部（手爪）作业空间微小位移与手部（手爪）作业空间微小位移dx之间的关系。之间的关系。 机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X X表表示，是关节变量的函数示，是关节变量的函数 是是n n个关节变量的函数个关节变量的函数，可写成：，可写成： ，并且是一个，并且是一个6 6维列矢量。维列矢量。 反映了操作空间的微小运动，由机器人末端微小线位移和微小反映了操作空间的微小运动，由机器人末端微小线位移和微小角位移角位移( (微小转动微小转动) )组成。可写为组成。可写为 式中：式中： 是是6 6n n的偏导数矩阵，称为的偏导数矩阵，称为n n自由度机器人速度雅可自由度机器人速度雅可比矩阵。比矩阵。TzyxzyxX,)(qXX TzyxdZdYdXdX,dqqJdX)()(qJdtdqqJdtdX)(qqJv)( l l 或其中其中:v:v机器人手部在操作空间中的广义速度，机器人手部在操作空间中的广义速度， (q)(q)速度雅可比矩阵速度雅可比矩阵 机器人关节在关节空间中的速度机器人关节在关节空间中的速度 从上式可以看出，对于给定的关节变量从上式可以看出，对于给定的关节变量q q，雅可雅可比矩阵是从关节空间的关节速度向操作空间的广义比矩阵是从关节空间的关节速度向操作空间的广义速度映射的线性变换。速度映射的线性变换。Xvq 5.1.25.1.2机器人速度分析机器人速度分析 若令若令J1，J2 分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即列矢量，即由上式可知，由上式可知， 分别是由分别是由 产生的手部速度的分量。产生的手部速度的分量。而而J J1 1是在是在 时，也就是第二个关节固定时，仅在第一个关节时，也就是第二个关节固定时，仅在第一个关节转动的情况下，手部平移速度在基础坐标系上表示出的向量。转动的情况下，手部平移速度在基础坐标系上表示出的向量。同样，同样，J J2 2是第一关节固定时，仅在第二关节转动的情况下，手部是第一关节固定时，仅在第二关节转动的情况下，手部平移速度在基础坐标系上表示出的向量。平移速度在基础坐标系上表示出的向量。2121JJx2211JJ和21和02 因此，机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动产生的端点速度。例例5-15-1如图所示二自由度机械手，手部沿固定坐标系如图所示二自由度机械手，手部沿固定坐标系XoXo轴正向以轴正向以1.0 m/s1.0 m/s速度移动，杆长为速度移动，杆长为 。设在某瞬时。设在某瞬时 求相应瞬时的关节速度。求相应瞬时的关节速度。 mll5 . 02160,3021图图5-1 两自由度平面两自由度平面机械手机械手 1221221112212211clclclslslslJ122111221112212222111slslclclslclsllJvJ1Tv0 , 1 011122111221112212222121slslclclslclsll 相应的关节速度：相应的关节速度：因此，在该瞬时两个节的位置分别为速度分别为 ，手部瞬时速度为1m/s。60,3021sradsrad/4,/221因此因此, ,逆雅可比矩阵逆雅可比矩阵矩阵矩阵 A可逆可逆 且且 A可逆时，可逆时， n阶方阵阶方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，为非奇异矩阵，而且而且 0A1*1AAA 对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。 当当2=0或或2=180时，机械时，机械手的雅可比行列式为手的雅可比行列式为0，矩阵的秩，矩阵的秩为为1，因此处于奇异状态。在奇异，因此处于奇异状态。在奇异形位时，形位时，机械手在操作空间的自由机械手在操作空间的自由度将减少。度将减少。l 奇异位形：奇异位形：由于雅可比矩阵由于雅可比矩阵J(q)J(q)是关节变量是关节变量q q的函数的函数, ,总会存在一些位形总会存在一些位形, ,在这些位形处在这些位形处, ,|J(q)|=0|J(q)|=0, ,即即J(q)J(q)为奇为奇异矩阵异矩阵, ,这些位形就叫奇异位形。这些位形就叫奇异位形。一般，奇异位形有两种类型：一般，奇异位形有两种类型：l 工作域边界上的奇异：工作域边界上的奇异：这种奇异位形出现在机器人这种奇异位形出现在机器人的机械手于工作区的边界上时，也就是在机器人手的机械手于工作区的边界上时，也就是在机器人手臂全部展开或全部折回时出现。这种奇异位形并不臂全部展开或全部折回时出现。这种奇异位形并不是特别严重，只要机器人末端执行器远离工作区边是特别严重，只要机器人末端执行器远离工作区边界即可。界即可。l 工作域内部奇异：工作域内部奇异：这种奇异位形出现在两个或多个这种奇异位形出现在两个或多个关节轴线重合时，这种奇异位形很难处理，因为它关节轴线重合时，这种奇异位形很难处理，因为它可能出现在工作区的任何位置，并且机器人的末端可能出现在工作区的任何位置，并且机器人的末端执行器在这种奇异位形附近的可操作性会变坏，这执行器在这种奇异位形附近的可操作性会变坏，这样极大的减少了机器人的可行区。样极大的减少了机器人的可行区。 对机器人通过奇异位形时轨迹控制方法的研究可以大致对机器人通过奇异位形时轨迹控制方法的研究可以大致分为如下四种方法分为如下四种方法: :1)1)回避机器人操作器的奇异位形回避机器人操作器的奇异位形 预测奇异位形的可能出现位置预测奇异位形的可能出现位置, ,并避免它。理论上对给并避免它。理论上对给定的机器人操作器只要令其雅可比行列式的值等于零，即可定的机器人操作器只要令其雅可比行列式的值等于零，即可找到它的奇异位形。找到它的奇异位形。2)2)根据机构的各向同性原理设计机器人操作器根据机构的各向同性原理设计机器人操作器 通过设计上的优化，能使得机器人机构在一个比较大的通过设计上的优化，能使得机器人机构在一个比较大的区域内保持各向同性，即在各个方向的可能误差和施加的力区域内保持各向同性，即在各个方向的可能误差和施加的力都是相同的。都是相同的。3)3)利用降秩雅可比矩阵求近似反解利用降秩雅可比矩阵求近似反解 在奇异位形附近利用矩阵论中的在奇异位形附近利用矩阵论中的伪逆矩阵理论伪逆矩阵理论，通过定，通过定义一种伪逆雅可比矩阵，将雅可比矩阵降秩处理，求解近似义一种伪逆雅可比矩阵，将雅可比矩阵降秩处理，求解近似反解。反解。4)4)利用具有冗余度的机器人操作器利用具有冗余度的机器人操作器 使机器人通过奇异位形时给机械臂增加多余的关节。使机器人通过奇异位形时给机械臂增加多余的关节。定义：设定义：设 ，若，若 ，且同时有，且同时有 则称则称 A A+ + 是是A A的伪逆矩阵。的伪逆矩阵。m nACn mAC,(),()HHAA AAA AAAAAAAA AA A5.2 机器人的静力学机器人的静力学y0 x012TyxFFF,0),(21存在怎样的关系存在怎样的关系用矢量用矢量 来标记力，用来标记力，用 表示对于所定义坐标系各轴表示对于所定义坐标系各轴x,y,zx,y,z的分力。用矢量的分力。用矢量 来标记力矩，以来标记力矩，以 表示作用于任何表示作用于任何定义的坐标系（而不是基坐标）各轴的分力矩。定义的坐标系（而不是基坐标）各轴的分力矩。fzyxfff,zyx,zyxzyxfffF),(f5.2.15.2.1静力和静力矩的表示静力和静力矩的表示5.2.2 虚功原理虚功原理虚功原理虚功原理：约束力约束力不做功的力学系统，若在某一位不做功的力学系统，若在某一位置已处于静止状态，则其能够保持静止的必要与置已处于静止状态，则其能够保持静止的必要与充分条件是，所有主动力在该位置的任意充分条件是，所有主动力在该位置的任意虚位移虚位移上所作的虚功之和等于零。上所作的虚功之和等于零。已知作用在杠杆一端的力已知作用在杠杆一端的力 ，试用虚功原理求作用，试用虚功原理求作用于另一端的力于另一端的力 。设杆长为。设杆长为 已知。已知。杠杆及作用在它两端上的力 AFBFBALL,0BBAAxFxFABABFLLFl 对于一个系统来说，限制系统中质点运动的各种条对于一个系统来说，限制系统中质点运动的各种条件就是系统的约束，而约束力是使系统动作受到制件就是系统的约束，而约束力是使系统动作受到制约的力。约的力。l 另一个概念就是虚位移，这里所说的虚位移是描述另一个概念就是虚位移，这里所说的虚位移是描述作为对象的系统力学结构的位移，也就是当系统的作为对象的系统力学结构的位移，也就是当系统的质点位于某个位置的时候，为约束所允许的可能实质点位于某个位置的时候，为约束所允许的可能实现的任何无限小的位移，具有：现的任何无限小的位移，具有：无限小性质不无限小性质不破坏约束与是否发生实际运动无关，不同于随时破坏约束与是否发生实际运动无关，不同于随时间一起产生的实际位移，间一起产生的实际位移，为此用为此用“虚虚”一词来表示。一词来表示。虚位移在数学上用变分符号虚位移在数学上用变分符号表示，实位移在数学表示，实位移在数学上用微分符号上用微分符号d d表示。表示。5.2.3机器人静力关系式的推导机器人静力关系式的推导可用虚功原理证明。可用虚功原理证明。以图所示的二自由度机械手为研究对象，要产生图以图所示的二自由度机械手为研究对象，要产生图所示的虚位移，推导出图所示的虚位移，推导出图b b所示各力之间的关系。所示各力之间的关系。证明: 假设关节驱动力手爪力关节的虚位移手爪的虚位移,.,.,F,.,.,11111111nmnmTnTmTnTmRRRRffXXX如果施加在机械手上的力为如果施加在机械手上的力为F F，以机械手，以机械手为研究对象，这个力成为手爪力的反力（为研究对象，这个力成为手爪力的反力（- -F F来表示）时，机械手的虚功可表示为：来表示）时，机械手的虚功可表示为：XFWTT)(应用虚功原理，则可得到：应用虚功原理，则可得到： 手爪的虚位移手爪的虚位移 和关节虚位移和关节虚位移 之间的关系，用雅克比矩阵表之间的关系，用雅克比矩阵表示为示为 可得：可得：由于这一公式对任意的由于这一公式对任意的 都成立，因此都成立，因此机械手静力学关系式：机械手静力学关系式：式中，式中， 广义关节力矩，广义关节力矩，FF机器人手部端点力机器人手部端点力， 与手与手部端点力和广义关节力矩之间力传递有关，称为部端点力和广义关节力矩之间力传递有关，称为机器人力雅机器人力雅可比。机器人力雅可比正好是速度雅可比的转置。可比。机器人力雅可比正好是速度雅可比的转置。0)(XFTTXJX 0)(JFTT0JFTTFJTTJ 若若J是是关节空间关节空间向向操作空间操作空间的映射（微分运动矢量），则的映射（微分运动矢量），则 把把操作空间的广义力矢量操作空间的广义力矢量映射到映射到关节空间的关节力矢量关节空间的关节力矢量。关节空间关节空间操作空间操作空间雅可比雅可比J力雅可比力雅可比JTl 上式表明关节的力可由手坐标系中期望的力和力矩上式表明关节的力可由手坐标系中期望的力和力矩决定。由于前面对速度的分析已得知速度雅可比矩决定。由于前面对速度的分析已得知速度雅可比矩阵，所以控制器可根据手坐标系中的期望值计算关阵，所以控制器可根据手坐标系中的期望值计算关节力和力矩，并对机器人进行控制。显然，随着机节力和力矩，并对机器人进行控制。显然，随着机器人构型的变化，雅可比矩阵也随之发生变化。因器人构型的变化，雅可比矩阵也随之发生变化。因此当机器人进行运动时，机械手在不断的对工件进此当机器人进行运动时，机械手在不断的对工件进行操作，为了使机械手能够持续施加同样的力，关行操作，为了使机械手能够持续施加同样的力，关节处的力矩也要随之发生变化，这时需要控制器根节处的力矩也要随之发生变化，这时需要控制器根据这个关系式不断的计算所需的关节力矩。据这个关系式不断的计算所需的关节力矩。l 从操作臂手部端点力从操作臂手部端点力F F与广义关节力矩与广义关节力矩 之间的关系之间的关系式式 可知，操作臂静力计算可分为两类：可知，操作臂静力计算可分为两类：l 已知外界对手部作用力已知外界对手部作用力F F，求满足静力平衡条件的，求满足静力平衡条件的关节驱动力矩（关节驱动力矩（ ）l 已知关节驱动力矩已知关节驱动力矩 ，确定机器人手部对外界环，确定机器人手部对外界环境的作用力境的作用力F F或负荷质量（逆解，即解或负荷质量（逆解，即解 ）当自由度当自由度n6n6时，力雅可比可能不是方阵，没有逆解，时，力雅可比可能不是方阵，没有逆解，一般情况下不一定能得到唯一的解。一般情况下不一定能得到唯一的解。FJTFJT)(1TJF例例3 3：一个：一个6 6自由度机器人的雅可比矩阵数值如下。为了在部件自由度机器人的雅可比矩阵数值如下。为了在部件上钻孔，希望沿手坐标系上钻孔，希望沿手坐标系Z Z轴产生轴产生1N1N的力，并对于的力，并对于Z Z轴产生轴产生20N/m20N/m的力矩，求需要的关节力和力矩。的力矩，求需要的关节力和力矩。解： 10000100100001001000002000001050000020JFJT200002020200010010000000100001000000001000120001000520654321解：解：由前面的推导知由前面的推导知例例 2 2: :由图所示的一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点由图所示的一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点力力 ，忽略摩擦，求，忽略摩擦，求 时的关节力矩。时的关节力矩。所以得：所以得：图图3-18 关节力和操作力关系关节力和操作力关系y0 x012TyxFFF,01221221112212211clclclslslslJFJTYXFFclslclclslsl122122122111221121根据根据1221221221112211clslclclslslJTTYXFFF,90021、所以所以YXFclclFslsl)()(12211122111YXFclFsl1221222在某一瞬时在某一瞬时 , ,则与手部端点力相对应的关节力则与手部端点力相对应的关节力矩为矩为90021、YXFlFl121XFl225.2.45.2.4运动学、静力学和动力学的关系运动学、静力学和动力学的关系xxx , ,F运动学运动学动力学动力学静力学静力学Robotics 动力学动力学5.3 5.3 机器人动力学分析机器人动力学分析5.3.1拉格朗日方程Lagrange方程 i=1，2，3，.,n 系统选定的广义坐标（动能和势能的坐标）系统选定的广义坐标（动能和势能的坐标） 广义坐标广义坐标 对时间的一阶导数对时间的一阶导数 广义力广义力, ,作用在第作用在第i i个坐标上的力或力矩个坐标上的力或力矩 n n为连杆数目为连杆数目iiiqLqLdtdFiqiq iqiFRobotics 动力学动力学5.3.1拉格朗日方程两杆机器人如图。对连杆1：对连杆2：2222222,21ymgPvmK21211121lmK 1111cosglmPl1l2Robotics 动力学动力学5.3.1拉格朗日方程二杆动能和势能分别为：)sin(sin212112llx)cos(cos212112lly)(cos(cos212121112llx)(sin(sin212121112lly)(cos2)2(2121221222121222121222222llllyxv)(cos)2(212121212212222121222212122l lmlmlmK)cos(cos21221122glmglmPl1l2Robotics 动力学动力学5.3.1拉格朗日方程系统的总动能和势能及拉格朗日函数分别为：分别求得注意：这里只求显因变量的偏导数PKLPPPKKK2121222111LdtdLLLdtdLL)cos(cos)()(cos)2(21)(212122112121212212222121222212121glmglmml lmlmlmmPKL222121221222221222121211coscos2)(llmllmlmlmlmmL222212212212222122221221222221211sinsin2)cos(cos2)()( llmllmllmlmllmlmlmmLdtd)sin(sin)(212211211glmglmmL)sin(sin)(sinsin2)cos(cos2)(21221121222212212212222122221221222221211glmglmml lml lml lmlml lmlmlmmT )cos(cos)()(cos)2(21)(212122112121212212222121222212121glmglmml lmlmlmmPKL12212222212222cosllmlmlmL21221212212222212222sincos)( llmllmlmlmLdtd)sin(sinsin21222122122122122glmllmllmL)sin(sin)cos(21222122122222122122222glmllmlmllmlmT Robotics 动力学动力学5.3.1拉格朗日方程 写成矩阵有：写成矩阵有： 惯性力惯性力 向心力向心力 哥式力哥式力 重力重力2112212212121211122221222211122111212221121121DDDDDDDDDDDDDDTT 5.3.2牛顿-欧拉法l l 式中 等的含义与拉格朗日法的一样；i为连杆代号，n为连杆数目 iiiiiqPqDqKqKdtdqWni,.,2 , 1 iqW、和、DK 牛顿-欧拉法求解动力学方程首先求取动能K, 位能P, 消耗能D, 外力作的功Wv 动能KRobotics 动力学动力学jllilljlilrrjliljlilrr)sin(sin)cos(cos)sin()cos(sincossincos2121121211212212121111111101jllilldtrdvjlildtrdv)cos()(cos)sin()(sincossin21221111212211112211111111)(cos2)2(212122122212122212122212121l lllvlvl1l2 牛顿-欧拉法求解动力学方程(续)动能Kv 位能Pv 系统耗能Dv 外力做的功WRobotics 动力学动力学)(cos)2(21)(21212121212212222121222212121222211l lmlmlmmvmvmK)cos(cos)(212211212211glmglmmrgmrgmP2222112121ccD2211TTWl1l2l 当 时，1iq01K111CD)sin(sin)(212211211glmglmmP11TW)sin(sin)(sinsin2 )cos(cos2)(2122112122221221221211222122221221222221211glmglmml lml lmCl lmlml lmlmlmmT 22212122212122122212121122121221222121211sin)2(cos)2()()(cos)2()()( l lml lmlmlmmKdtdl lmlmlmmK当 时2iq21212212222cos)(l lmlmK222CD22TW)sin(sin)cos(2122222122122222122122222glmCl lmlml lmlmT 22121221212212221sincos)( l lml lmlmKdtd221212122sin)(l lmK)sin(21222glmP 牛顿-欧拉法求解动力学方程(续)在不考虑消耗的能量时，即c1=c2=0, 则该结果与拉格朗日法的结果相同。)sin(sin)(sinsin2 )cos(cos2)(2122112122221221221211222122221221222221211gdmgdmmddmddmcddmdmddmdmdmmT )sin(sin)cos(2122222122122222122122222gdmcddmdmddmdmT Robotics 动力学动力学