初中二年级数学教案(下册).pdf

学习必备欢迎下载163 分式方程 ( 一) 一、教学目标：1了解分式方程的概念, 和产生增根的原因. 2掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 二、 重点、难点1重点： 会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根 . 2难点： 会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根 . 三、例、习题的意图分析1 P31 思考提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因. 2P32的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法. 3 P33 思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及P33 的归纳出检验增根的方法 .4 P34 讨论提出 P33的归纳出检验增根的方法的理论根据是什么？5 教材 P38 习题第 2 题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1 时，要考虑字母系数不为0, 才能除以这个系数. 这种方程的解必须验根 . 四、课堂引入1回忆一元一次方程的解法，并且解方程163242xx2提出本章引言的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20 千米/ 时，它沿江以最大航速顺流航行100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v千米 / 时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程vv206020100. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 五、例题讲解（P34）例 1. 解方程 分析 找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必须验根这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便. （P34）例 2. 解方程 分析 找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘 (x-1)(x+2)时, 学生容易把整数1 漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根. 163 分式方程 ( 二) 一、教学目标：1会分析题意找出等量关系. 2会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题. 二、 重点、难点1重点： 利用分式方程组解决实际问题. 学习必备欢迎下载2难点： 列分式方程表示实际问题中的等量关系. 三、例、习题的意图分析本节的 P35 例 3 不同于旧教材的应用题有两点：（1）是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生根据题意， 寻找未知数， 然后根据题意找出问题中的等量关系列方程. 求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程（2）教材的分析是填空的形式，为学生分析题意、设未知数搭好了平台，有助于学生找出题目中等量关系，列出方程. P36 例 4 是一道行程问题的应用题也与旧教材的这类题有所不同（1）本题中涉及到的列车平均提速v千米 / 时，提速前行驶的路程为s 千米，完成 . 用字母表示已知数（量）在过去的例题里并不多见，题目的难度也增加了；（2）例题中的分析用填空的形式提示学生用已知量v、s 和未知数 x，表示提速前列车行驶s 千米所用的时间，提速后列车的平均速度设为未知数x 千米 / 时，以及提速后列车行驶（x+50）千米所用的时间. 这两道例题都设置了带有探究性的分析，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，让学生经过自己的努力，在克服困难后体会如何探究，教师不要替代他们思考，不要过早给出答案 . 教材中为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台，给了设未知数、解题思路和解题格式，但教学目标要求学生还是要独立地分析、解决实际问题，所以教师还要给学生一些问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够独立地完成任务. 特别是题目中的数量关系清晰，教师就放手让学生做，以提高学生分析问解决问题的能力. 四、例题讲解P35例 3 分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率工作时间. 这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”. 等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1 P36例 4 分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度=时间路程. 这题用字母表示已知数（量）. 等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间第十七章反比例函数1711 反比例函数的意义一、教学目标1使学生理解并掌握反比例函数的概念2能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式3能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想二、重、难点1重点： 理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式2难点： 理解反比例函数的概念三、例题的意图分析教材第 46 页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。教材第 47 页的例 1 是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。补充例 1、例 2 都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3 是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。学习必备欢迎下载四、课堂引入1回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？2体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？五、例习题分析例 1见教材 P47 分析：因为 y 是 x 的反比例函数，所以先设xky，再把 x2 和 y6 代入上式求出常数k，即利用了待定系数法确定函数解析式。例 1（补充）下列等式中，哪些是反比例函数（1）3xy（2）xy2（3）xy21 （4）25xy（5）xy23（6）31xy（7）yx4 分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成xky（k 为常数， k0）的形式，这里（1）、 （7）是整式，（4）的分母不是只单独含x， （6）改写后是xxy31，分子不是常数， 只有（2）、（3）、（ 5）能写成定义的形式例 2（补充）当m 取什么值时，函数23)2(mxmy是反比例函数？分析：反比例函数xky（k0）的另一种表达式是1kxy（k0），后一种写法中x 的次数是1，因此 m 的取值必须满足两个条件，即m20 且 3m2 1，特别注意不要遗漏k0 这一条件，也要防止出现3m21 的错误。解得 m 2 例 3（补充）已知函数yy1y2，y1与 x 成正比例， y2与 x 成反比例，且当x1 时， y4；当 x2 时， y5 （1）求 y 与 x 的函数关系式（2）当 x 2 时，求函数y 的值分析：此题函数 y 是由 y1和 y2两个函数组成的， 要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y1、 y2与 x 的函数关系式， 再代入数值， 通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与 x 和 y2与 x 的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k，要用不同的字母表示。略解：设 y1k1x（k10），xky22（k20），则xkxky21，代入数值求得k12，k22，则xxy22，当 x 2 时， y 5 1712 反比例函数的图象和性质（1）一、教学目标1会用描点法画反比例函数的图象2结合图象分析并掌握反比例函数的性质3体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法学习必备欢迎下载二、重点、难点1重点： 理解并掌握反比例函数的图象和性质2难点： 正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质三、例题的意图分析教材第 48 页的例 2 是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。补充例 1 的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质的简单应用，使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。补充例 2 是一道典型题，是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让学生理解并掌握反比例函数解析式xky（k0）中k的几何意义。四、课堂引入提出问题：1一次函数ykxb（k、b 是常数， k0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数ykx（k0）呢？2画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？3反比例函数的图象是什么样呢? 五、例习题分析例 2见教材 P48，用描点法画图，注意强调：（1）列表取值时，x0，因为 x0 函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于 x0，k0，所以 y 0，函数图象永远不会与x 轴、 y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴例 1（补充）已知反比例函数32) 1(mxmy的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内 y 随 x 的变化情况？分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即1kxy（k0）自变量 x 的指数是 1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k0，则 m10，不要忽视这个条件略解：32) 1(mxmy是反比例函数m23 1，且 m10 又图象在第二、四象限m10 解得2m且 m1 则2m例 2（补充）如图，过反比例函数xy1（x0）的图象上任意两点 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为C、D，连接 OA、OB，设AOC 和 BOD 的面积分别是S1、S2， 比较它们的大小， 可得 （）（A）S1S2（B）S1S2 学习必备欢迎下载（C）S1S2（D）大小关系不能确定分析：从反比例函数xky（k0）的图象上任一点P（x，y）向 x 轴、 y 轴作垂线段，与x 轴、 y轴所围成的矩形面积kxyS，由此可得S1S2 21，故选 B 1712 反比例函数的图象和性质（2）一、教学目标1使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质2能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题3深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法二、重点、难点1重点： 理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题2难点： 学会从图象上分析、解决问题三、例题的意图分析教材第 51 页的例 3 一是让学生理解点在图象上的含义，掌握如何用待定系数法去求解析式，复习巩固反比例函数的意义；二是通过函数解析式去分析图象及性质，由“数”到“形”，体会数形结合思想，加深学生对反比例函数图象和性质的理解。教材第 52 页的例 4 是已知函数图象求解析式中的未知系数，并由双曲线的变化趋势分析函数值y 随 x的变化情况，此过程是由“形”到“数”，目的是为了提高学生从函数图象中获取信息的能力，加深对函数图象及性质的理解。补充例 1 目的是引导学生在解有关函数问题时，要数形结合，另外，在分析反比例函数的增减性时，一定要注意强调在哪个象限内。补充例 2 是一道有关一次函数和反比例函数的综合题，目的是提高学生的识图能力，并能灵活运用所学知识解决一些较综合的问题。四、课堂引入复习上节课所学的内容1什么是反比例函数？2反比例函数的图象是什么？有什么性质？五、例习题分析例 3见教材 P51 分析：反比例函数xky的图象位置及y 随 x 的变化情况取决于常数k 的符号，因此要先求常数k，而题中已知图象经过点A（2，6），即表明把A 点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k，这样解析式也就确定了。例 4见教材 P52 例 1（补充）若点A（ 2，a）、 B（ 1，b）、 C（3，c）在反比例函数xky（k0）图象上，则 a、b、c 的大小关系怎样？分析：由 k0 可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，因为A、B在第二象限，且1 2，故 ba0；又 C 在第四象限，则c0，所以ba0c 说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y 随 x 的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k0 时 y 随 x 的增大而增大，就会误认为3 最大，则 c 最大，出现错误。学习必备欢迎下载此题还可以画草图，比较a、b、c 的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。例 2 （补充）如图，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数xmy的图象交于A（ 2，1）、B（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围分析：因为A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式xy2， 又 B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出n 的值，最后再由 A、B 两点坐标求出一次函数解析式y x1，第（ 2）问根据图象可得x 的取值范围 x 2 或 0 x1，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。172 实际问题与反比例函数（1）一、教学目标1利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力二、重点、难点1重点： 利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2难点： 分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式三、例题的意图分析教材第 57 页的例 1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。教材第 58 页的例 2 是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例1 稍复杂些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息的能力，掌握数形结合的思想方法，以便更好地解决实际问题四、课堂引入寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗？五、例习题分析例 1见教材第57 页分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为 104，底面积是 S，深度为 d，满足基本公式：圆柱的体积底面积高，由题意知S 是函数， d 是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，（ 2）问实际上是已知函数S 的值，求自变量d 的取值，（ 3）问则是与（ 2）相反例 2见教材第58 页分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量工作速度工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v 和时间 t，因此具有反比关系，（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t 取最大值时，函数值v 取最小值是多少？例 1（补充）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）（1）写出这个函数的解析式；学习必备欢迎下载（2）当气球的体积是0.8 立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144 千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？分析：题中已知变量P 与 V 是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P 与 V的解析式，得VP96，（ 3）问中当 P 大于 144 千帕时，气球会爆炸，即当P 不超过 144 千帕时，是安全范围。 根据反比例函数的图象和性质，P 随 V 的增大而减小， 可先求出气压P144 千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于32立方米172 实际问题与反比例函数（2）一、教学目标1利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型二、重点、难点1重点： 利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2难点： 分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题三、例题的意图分析教材第 58 页的例 3 和例 4 都需要用到物理知识，教材在例题前已给出了相关的基本公式，其中的数量关系具有反比例关系，通过对这两个问题的分析和解决，不但能复习巩固反比例函数的有关知识，还能培养学生应用数学的意识补充例题是一道综合题，有一定难度，需要学生有较强的识图、分析和归纳等方面的能力，此题既有一次函数的知识， 又有反比例函数的知识，能进一步深化学生对一次函数和反比例函数知识的理解和掌握，体会数形结合思想的重要作用，同时提高学生灵活运用函数观点去分析和解决实际问题的能力四、课堂引入1小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢？其原理是什么？2台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？五、例习题分析例 3见教材第58 页分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力F 是自变量动力臂l的反比例函数，当l1.5 时，代入解析式中求 F 的值；（ 2）问要利用反比例函数的性质，l越大 F 越小，先求出当F200 时，其相应的l值的大小，从而得出结果。例 4见教材第59 页分析：根据物理公式PRU2， 当电压 U 一定时， 输出功率 P 是电阻 R 的反比例函数， 则RP2220，（2）问中是已知自变量R 的取值范围，即110R220，求函数P的取值范围，根据反比例函数的性质，电阻越大则功率越小，得 220P440 例 1 （补充）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒， 已知药物燃烧时， 室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间 x(分钟 )成为正比例 ,药物燃烧后， y与 x 成反比例 (如图 )，现测得药物 8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6 毫克，请根据题学习必备欢迎下载中所提供的信息，解答下列问题：(1)药物燃烧时， y 关于 x 的函数关系式为,自变量 x 的取值范为；药物燃烧后， y 关于 x 的函数关系式为. (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6 毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 _分钟后，员工才能回到办公室；(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么 ? 分析：（ 1）药物燃烧时，由图象可知函数y 是 x 的正比例函数，设xky1，将点（ 8，6）代人解析式，求得xy43，自变量 0 x8；药物燃烧后，由图象看出y 是 x 的反比例函数，设xky2，用待定系数法求得xy48（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先将药含量y1.6 代入xy48，求出 x30，根据反比例函数的图象与性质知药含量y 随时间 x 的增大而减小，求得时间至少要30 分钟（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y3 时，代入xy43中，得 x4，即当药物燃烧4分钟时，药含量达到3 毫克；药物燃烧后，药含量由最高6 毫克逐渐减少，其间还能达到3 毫克，所以当y3 时，代入xy48，得 x16，持续时间为1641210，因此消毒有效第十八章勾股定理181 勾股定理（一）一、教学目标1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1重点：勾股定理的内容及证明。2难点：勾股定理的证明。三、例题的意图分析例 1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2 使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、 音乐、各种图形等。 我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是 “文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3cm 和 4cm 的直角 ABC ，用刻度尺量出AB 的长。以上这个事实是我国古代3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的学习必备欢迎下载长是 3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5 和 12 的直角 ABC ，用刻度尺量AB 的长。你是否发现 32+42与 52的关系， 52+122和 132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例 1（补充）已知：在ABC 中， C=90， A、 B、 C 的对边为 a、b、c。求证： a2b2=c2。分析：让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。拼成如图所示，其等量关系为：4S+S小正=S大正421ab（ ba）2=c2，化简可证。发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例2 已 知 ： 在 ABC中 ， C=90，A、B、C 的对边为a、b、c。求证： a2b2=c2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边 S=421abc2右边 S=（a+b）2左边和右边面积相等，即421abc2=（a+b）2化简可证。181 勾股定理（二）一、教学目标1会用勾股定理进行简单的计算。2树立数形结合的思想、分类讨论思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的简单计算。2难点：勾股定理的灵活运用。三、例题的意图分析例 1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。例 2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例 3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。cbaDCABbbbbccccaaaabbbbaaccaa学习必备欢迎下载四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。五、例习题分析例 1（补充）在RtABC ， C=90已知 a=b=5,求 c。已知 a=1,c=2, 求 b。已知 c=17,b=8, 求 a。已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。已知 b=15 ，A=30，求 a，c。分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。例 2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5 和 12，求第三边。分析：已知两边中较大边12 可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例 3（补充）已知：如图，等边ABC 的边长是 6cm。求等边 ABC 的高。求 SABC。分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。欲求高 CD，可将其置身于RtADC 或 RtBDC 中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=21AB=3cm ，则此题可解。181 勾股定理（三）一、教学目标1会用勾股定理解决简单的实际问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的应用。2难点：实际问题向数学问题的转化。三、例题的意图分析例 1（教材 P74 页探究 1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。例 2（教材 P75 页探究 2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。五、例习题分析例 1（教材 P74 页探究 1）分析：在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？指出DCBADABCOABCD学习必备欢迎下载薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？转化为勾股定理的计算，采用多种方法。注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。例 2（教材 P75 页探究 2）分析：在 AOB 中，已知 AB=3 ，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。在COD 中，已知 CD=3，CO=2 ，利用勾股定理计算OD。则 BD=OD OB，通过计算可知BDAC。进一步让学生探究AC 和 BD 的关系，给AC 不同的值，计算BD。181 勾股定理（四）一、教学目标1会用勾股定理解决较综合的问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的综合应用。2难点：勾股定理的综合应用。三、例题的意图分析例 1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30或 45特殊角的特殊性质等。例 2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。例 3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。例 4（教材 P76 页探究 3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。四、课堂引入复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。五、例习题分析例 1（补充） 1已知：在RtABC 中， C=90， CDBC 于 D， A=60， CD=3，求线段 AB 的长。分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角， 四对互余角，及 30或 45特殊角的特殊性质等。要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB ，可由AB=BD+CD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3 和AD=1 。或欲求 AB ，可由22BCACAB，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2 和 BC=6 。例 2（补充）已知：如图，ABC 中，AC=4，B=45， A=60，根据题设可知什么？CABDBACD学习必备欢迎下载分析：由于本题中的ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得ACB=75 。在学生充分思考和讨论后，发现添置AB 边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB ，BC 及 SABC。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？解略。例 3（补充）已知：如图，B=D=90， A=60， AB=4 ，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB 、DC 交于 F，或延长 AD 、BC 交于 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。解：延长 AD 、BC 交于 E。 A=60， B=90， E=30。AE=2AB=8 ，CE=2CD=4 ，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=48=34。DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=12=32。S四边形ABCD=SABE-SCDE=21ABBE-21CDDE=36小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。例 4（教材 P76 页探究 3）分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。变式训练：在数轴上画出表示22, 13的点。182 勾股定理的逆定理（一）一、教学目标1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的证明方法。3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。二、重点、难点1重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2难点：勾股定理的逆定理的证明。三、例题的意图分析例 1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。例 2（P82 探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。例 3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出a2+b2和 c2的值。判断a2+b2和 c2是否相等， 若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。四、课堂引入创设情境：怎样判定一个三角形是等腰三角形？怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题ABCDE学习必备欢迎下载进行猜想。五、例习题分析例 1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补，两条直线平行。如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。分析：每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。解略。例 2（P82 探究）证明：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。分析：注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。证明略。例 3（补充）已知：在ABC 中， A、 B、 C 的对边分别是a、b、c，a=n21，b=2n，c=n21（n1）求证： C=90。分析：运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出a2+b2和 c2的值。判断a2+b2和 c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。要证 C=90，只要证ABC 是直角三角形，并且c 边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。由于 a2+b2= （n21）2（ 2n）2=n42n21，c2=（n21）2= n42n21，从而 a2+b2=c2，故命题获证。182 勾股定理的逆定理（二）一、教学目标1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点1重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。三、例题的意图分析abcabBCAA1C1B1学习必备欢迎下载例 1（P83 例 2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。例 2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。四、课堂引入创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。五、例习题分析例 1（P83 例 2）分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形；依题意可得PR=121.5=18，PQ=161.5=24，QR=30；因为 242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知QPR=90； PRS=QPR-QPS=45。小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。例 2（补充）一根30 米长的细绳折成3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。分析：若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。解略。182 勾股定理的逆定理（三）一、教学目标1应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。2灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。3进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点1重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。2难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。三、例题的意图分析例 1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。例 2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5 勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE 就是平行线间距离。例 3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。四、课堂引入勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。五、例习题分析例 1 （补充）已知：在 ABC 中，A、 B、 C 的对边分别是a、 b、 c， 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断 ABC 的形状。分析：移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为0，则都为 0；已知 a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。例 2（补充） 已知：如图，四边形 ABCD ，AD BC，AB=