考研概率论试题(数一,数三)(2).pdf

考研概率论试题（数一，数三）题目： (87,2 分) 设在一次试验中A 发生的概率为 p, 现进行 n 次独立试验 , 则 A至少发生一次的概率为 1(1) ;np而事件 A至多发生一次的概率为。知识点：伯努利概型解答： 根据伯努利概型的概率计算公式，A至少发生一次的概率 1PA发生 0 次=11111553353238120而PA至多发生 1 次= PA 发生 0 次+PA 恰发生 1 次 = 000111(1)(1)nnnnC ppC pp = 1(1)(1)nnpnpp题目： (87,2) 三个箱子 , 第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球 , 第二个箱子中有 3个黑球 3 个白球 , 第三个箱子中有3 个黑球 5 个白球 . 现随机地取一个箱子 , 再从这个箱子中取出1 个球, 这个球为白000111(1)(1)nnnnC ppC pp球的概率等于53120，已知取出的球是白球 , 此球属于第二个箱子的概率为2053. 知识点：全概率公式和贝叶斯公式的应用解答： 记iA 取的是第 i 个箱子 )(i=1 ，2，3) ，B=从箱子中取出的是白球)，那么1231()()()3P AP AP A112233()() ()() ()()()P BP A P B AP A P B AP A P B A,22()()()P A BP A BP B,35()8P B A第一问由全概率公式，得112233( )() ()()()() ()P BP A P B AP A P B AP A P B A =11111553353238120第二问由贝叶斯公式，得22()()( )P A BP A BP B = 22112233() ()()()() ()() ()P A P B AP A P B AP A P B AP A P B A =11203253531201120325353120题目： (87,6 分) 设随机变量 X,Y 相互独立 , 其概率密度函数分别为1,01( )0,Xxfx其他,0( )0,0yYeyfyy求随机变量 Z=2X+Y的概率密度函数 . 知识点：二维随机变量（连续型）函数的分布答案：2001( )(1)0221(1)22zZZZfZeZeeZ解答：用“积分转化法”计算，因为(2)( , )hxy f x y dxdy =1120002(2)( )yzxxdxhxy e dydxh z e e dz =212220020( ( )( ( )zzxzxh z ee dx dzh z ee dx dz =2202( ( )(1)( )(1)22zzzeeh z edzh z edz所以2001( )(1)0221(1)22zZZZfZeZeeZ题目： (87,2 分) 已知连续型随机变量X 的概率密度为2211( )xxf xe,则 EX =1,DX =12知识点：正态分布的密度，期望和方差解答： 因2(1)1221( )()122xf xexR , 可见1(1, )2XN , 故1()1,()2E XD X . 题目： (88,2 分) 设三次独立试验中 , 事件 A出现的概率相等 , 若已知 A至少出现一次的概率等于1927, 则事件 A在一次试验中出现的概率为13. 知识点：伯努利概型解答：设在每次试验中A 出现的概率为户则19271927PA 至少出现 1次)= 1 一 PA出现 0 次=003 0331(1)1 (1)C ppp，解答：得13p。题目： (88,2分)在区间 (0,1) 中随机地取两个数 , 则事件“两数之和小于65”的概率为1725. 知识点：几何概型解答： 设这两个数为 x 和 y，则(x ，y) 的取值范围为图11 中正方形 G ，那么满足 “两数之和65” 即 “x+y56”的(x ， y) 的取值范围为图 1-1 中阴影部分 D 本题为等概率型几何概率题，所求概率为DpG的面积的面积DpG的面积的面积. 而 G的面积为 l ，D的面积为2110.82=0.68, 故0.68p. 题目：(88,2 分)设随机变量 X服从均值为 10, 均方差为 0.02 的正态分布上 . 已知221( ),(2.5)0.99382uxxedu， 则 X 落在区间 (9.95, 10.05)内的概率为0.9876. 知识点：正态分布的概率计算解答： 由题意，2(10,0.02 ),XN故10(0,1)0.02XN , 因此9.95101010.0510(9.9510.05)()0.020.020.02XPXP =(2.5)( 2.5)2 (2.5)1 = 0.9876 题目： (88,6分) 设随机变量X的概率密度函数为21( )(1)Xfxx, 求随机变量Y=1-3X的概率密度函数( )Yfy . 解答： ：263(1)1(1) yyyR知识点：一维（连续型）随机变量函数的分布。解答：31yx 的饭函数3( )(1)xh yy单调，故32( )( ( )( )(1)3(1)( 1)YXXfyfh y h yfyy = 263(1)1 (1) yy()yR . 题目： (89,2 分) 已知随机事件 A 的概率 P( A)=0.5, 随机事件 B的概率 P( B)=0.6及条件概率P( B| A)=0.8, 则和事件 AB的概率 P(AB)=0.7. 知识点：条件概率解答： ： 由 0.8()()()P ABP B AP A，得()()()P ABP B AP A()0.8( )0.80.50.4P ABP A故()( )( )()0.50.60.4P ABP AP BP AB=0.7 题目：(89,2 分) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次, 其命中率分别为 0.6 和0.5, 现已知目标被命中 , 则它是甲射中的概率为34. 知识点：条件概率定义式，时间和概率计算和独立性的应用。解答：记 A=甲命中目标 )，B=乙命中目标 ，C=(目标被命中 )则由题意，知()0.5P B，()0.5P B，A与 B独立，且,CAB ACA, 从而()()()0.75()()P ACP AP A CP CP C题目： (90,2 分) 设随机事件 A,B 及其和事件 AB的概率分别是 0.4, 0.3 和 0.6,若B表示 B的对立事件 , 那么积事件 AB的概率 P( AB)=0.3. 知识点：概率的性质解答： ：由已知得0.6()( )( )()0.40.3()P ABP AP BP ABP AB0.6()( )( )()0.40.3()P ABP AP BP ABP AB即()0.1P AB. 故()()( )()P ABP ABP AP AB()()( )()P ABP ABP AP AB =0.3 题目：(90,2 分) 已知随机变量 X的概率密度函数| |1( )2xf xe,x, 则 X的概率分布函数102( )11,02xxexF xex当当知识点：密度求分布函数的公式解答：1( )( )2xxtF xf t dtedt。当0 x时，111( )222xttxxF xe dtee；当0 x时00111( )1222xttxF xe dte dte题目： (90,2 分) 已知随机变量X 服从参数为2 的泊松分布 , 且胡机变量Z=3X-2, 则 EZ = 4. 知识点：期望的性质和泊松分布的期望题目： (90,6 分) 设二维随机变量 ( X,Y) 在区域 D ：0X1, | y| x 内服从均匀分布 , 求关于 X的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1 的方差 DZ . 知识点：边缘分布的计算和方差的性质，计算解答： D 的面积（见图 4-1）为212112，故（ X,Y）的概率密度为1, (x,y)( , )0,Df x y其他关于 X的边缘概率密度为( )( , )Xfxf x y dy当01xx或时，( )0Xfx当01x时，( )12xXxfxdyx故2 , 01( , )0,xxf x y其他因而102()23E Xxxdx，12201()22E xxxdx所以1()18D X2()(21)9D ZDX题目： (91,3 分) 随机地向半圆 0y22axx (a 为正常数 )内掷一点 , 点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比. 则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4的概率为112. 知识点：几何概率解答：记图 1-2 中半圆区域为 G ，阴影部分区域为GS 和DS , 则222111a242GDSSaa，222111a242GDSSaa，所求概率为112DGSS. 题目： (91,6 分) 设二维随机变量 ( X,Y)的概率密度为(2)20,0( , )0,xyexyf x y其他求随机变量 Z=X+2Y的分布函数 . 知识点：二维（连续型）随机变量函数的分布解答： Z 的分布函数为2(2 )2200( )22zzyxyzxGF zedxdyedye dx2( )2( , )xyzF zP ZzP XYzf x y dxdy当0z时，( )0F z，当0z时，2(2 )2200220( )22 =(22)1zzyxyyxGzyzzzF zedydxedye dxeedyeze其中( , )2,0Gx y xyz z，故10()00ZZZeZeZFZZ题目： (91,3 分) 设随机变量X服从均值为2、方差为2的正态分布 , 且240.3,0PXP X则0.2 知识点：正态分布的计算题目： (92,3 分) 已知 P(A)=P( B)=P( C)=11,()0,()()416P ABP ACP BC, 则事件A、B、C全不发生的概率为38. 知识点：概率的性质和对偶原则解答： 因ABCAB, 故0()()0()0P ABCP ABP ABC，=0，从而所求概率为()1()P ABCP ABC()1()P ABCP ABC = 1( ()()()()()P AP BP CP ABP AC()()P BCP ABC= 712()()P BCP ABC题目： (92,6 分) 设随机变量 X与 Y相互独立 ,X 服从正态分布2( ,)N,Y 服从- , 上均匀分布 , 试求 Z=X+Y的概率分布密度 (计算结果用标准正态分布函数表示, 其中221( )()2txxedt. 知识点：二维（连续型）随机变量函数的分布：1 ()()2ZuZu解答：由题意， Y的概率密度为1 -y( )20Yfy，其他X的概率密度为22()21( )()2xXfxex由卷积公式的 Z 的概率密度为22()211( )22zyZfzedy作积分变量代换：zyt，得( )Zfz1 ()()2ZuZu题目： (92,3 分) 设随机变量 X服从参数为 1的指数分布 , 则2()xE Xe43. 知识点：指数分布的期望，函数的期望题目： (93,3 分) 一批产品有 10 个正品和 2 个次品 , 任意抽取两次 , 每次抽一个 ,抽出后不再放回 , 则第二次抽出的是次品的概率为16. 知识点：条件概率解答： 由抽签原理（抽签与先后次序无关） ，第二次抽得次品的概率和第一次抽到 c 次品的概率相同，都是16。题目： (93,3 分) 设随机变量 X服从(0,2) 上的均匀分布 , 则随机变量2YX在(0,4)内的概率分布密度( )Yfy121,0440,yy当其他知识点：一维（连续型）随机变量函数的分布题目： (93,6 分) 设随机变量 X的概率密度为| |1( ),2xf xex（1） 求 EX和 DX ；（2） 求 X与| X| 的协方差 , 并问 X与| X| 是否不相关？（3） 问 X与| X| 是否相互独立？为什么？知识点： （连续型）机变量及其函数的数学期望和其他数字特征的计算解答： （1）1()( )02xE Xxfx dxxedx，而222201()( )2 =2xxE Xx f x dxxedxx e dx22()()( ()2D XE XE X（2）因()0,()E XE X 存在，所以ov,)()() ()CX XE X XE X E X（ =( )x x f x dx =0 可见， X与 X不相干（4） 因1111(1)1122xxP Xedxe dx又11111(1)( )02xP Xf x dxedx故(1,1)(1)(1) (1)P XXP XP XP X可见， X与 X不独立。题目： (94,3 分)已知 A、 B两个事件满足条件P( AB )=P(A B), 且 P(A)=p, 则 P( B)= 1- p. 知识点：概率的计算性质和对偶原则解答：()()1()P ABP ABP AB()()1()P ABP ABP AB = 1( ()()()P AP BP AB = 1()()pP BP AB故()1P Bp题目： (94,3 分) 设相互独立的两个数随机变量X 与 Y 具有同一分布律 , 且 X的分布律为011122Xp则随机变量 Z=maxX,Y的分布律为011344Zp. 知识点：二维（离散型）随机变量函数的分布题目： (94,6 分) 已知随机变量22(1,3 )(0,4 ),XNYNXY，且与的相关系数1,2XY32XYZ设，(1) 求 EZ和 DZ ；(2) 求 X与 Z 的相关系数;XZ (3) 问 X与 Z 是否相互独立？为什么？知识点：方差，协方差的计算性质和正态分布的性质解答： (1) 显然，()1,()9,( )0,( )16E XD XE YD Y , 故(, )()( )XYCov X YD XD Y =-6 所以111()()323E ZEXY11111 1()()()()2(,)32942 2D ZDXYD XD YCov X Y =3 （2）因1111(,)(,)()(,)3232Cov X ZCov XXYD XCov X Y =0 于是(,)0()( )XZCov X ZD XD Z(3) 由0XZ , 知 X与 Z 不相关，又因101132XXZY且( ),( )XXNNYZ故 , 故知 X与 Z相互独立。题目： (95,3 分) 设X和Y为两个随机变量,且340,0,0077P XYP XP Y则max(,)0PX Y57. 知识点：概率的性质和对max, X YC的处理题目： (95,3 分) 设X表示 10 次独立重复射击命中目标的次数, 每次射中目标的概率为 0.4, 则2()E X=18.4 知识点：二项分布的数字特征题目： (96,3 分) 设和是两个相互独立且均服从正态分布N(0,12) 的随机变量, 则(|)E2. 知识点：正态分布的数字期望题目： (96,6分)设和是相互独立且服从同一分布的两个随机变量, 已知的分布律为1(),1,2,3max( , ),min(, ).3PiiXY又设(1) 写出二维随机变量 ( X,Y) 的分布律； (2) 求 EX . 知识点：二维（离散型）随机变量的分布律及边缘分布律解答：（1） （X,Y）的分布律如下（2）由（ X,Y）的分布律可得到关于X的边缘分布律为故13522()1239999E X . 题目： (96,3 分) 设工厂 A和工厂 B 的产品的次品率分别为1% 和 2%,现从由 A 厂和 B厂的产品分别占60% 和 40% 的一批产品中随机抽取一件, 发现是次品 , 则该次品是 A厂生产的概率37. 知识点：贝叶斯公式解答： 记 C=取得产品是 A厂生产的 ，D=取的是 B厂生产的 , 由题意知，()0.6,()0.4,()0.02,()0.01P CP CP D CP D C . 因此() ()()()()() ()()()P C P D CP CDP C DP DP C P D CP C P D C =37题目： (96,3 分) 设和是两个相互独立且均服从正态分布N(0,12) 的随机变量, 则(|)E2. 知识点：正态分布的数字期望题目：(97,3 分)袋中有 50个乒乓球 , 其中 20 个是黄球 ,30 个是白球 . 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回 , 则第 2 个人取得黄球的概率是25. 知识点：条件概率解答： ：由抽签原理（抽签与先后次序无关） ，故直接看出是25。题目： (97,3 分) 设两个相互独立的随机变量X和 Y的方差分别为 4 和 2, 则随机变量 3X-2Y的方差是 (D) (A)8 (B)16 (C)28 (D)44 知识点：方差的计算性质题目：(97,3 分)袋中有 50个乒乓球 , 其中 20 个是黄球 ,30 个是白球 . 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回 , 则第 2 个人取得黄球的概率是25. 知识点：条件概率解答： ：由抽签原理（抽签与先后次序无关） ，故直接看出是25。题目： (97,7 分) 从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗 , 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率都是25. 设 X 为途中遇到红灯的次数, 求随机变量 X的分布律、分布函数和数学期望. 知识点：二项分布（判断，分布列，分布函数，期望）解答：由题意，226(3),()3555XBE X，故及k3323k=()(0,1,2,3).55kkP XCk（）分布函数( )F xp Xx，当0 x时，( )0F x，当01x时，27( )0125F xP X ; 当12x时81( )01 125F xP XP X当23x时( )012F xP XP XP X = 117125当3(x)=1xF时，故0, x027, 0 x1 12581( ), 1x2125117, 2x31251, x3F x题目： (97,5 分) 设总体 X的概率密度为(1)01( )0,xxf x其他其中1是未知参数 .12,nXXX 是来自总体 X的一个容量为 n的简单随机样本, 分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量 . 知识点：矩估计和极大似然估计解答：用矩估计法1101()( )(1)2E Xxf x dxxdx令12X , 解答：得21=1XX矩再用极大似然估计法，似然函数12(,; )nL x xx为1(1), 01()0,niiiixxLf x其他当120,1nx xx时12lnln(1)ln()nLnx xx所以12lnln()1nLnx xx，令ln0L，解答：得0121ln()nnx xx，由于222ln0(1)Ln，故在0由唯一驻点，唯一极值点且为极大值，故知的极大似然估计为121ln()nnX XX题目：(98,6 分) 设两个随机变量 X、Y相互独立 , 且都服从均值为 0、方差为12的正态分布 , 求|X-Y| 的方差 . 1-2知识点：正态分布的随机变量函数的期望解答：记11,(0)(0)22XYXNYN由， ，及( )0( )()( )1EDD XD Y，知(0 1)N，故221()()e2xE XYEXdx =2222()()( )()1EEDE X2()()1DXYD题目： (98,4 分) 从正态总体2(3.4,6 )N中抽取容量为 n 的样本 , 如果要求其样本均值位于区间 (1.4, 5.4)内的概率不小于0.95, 问样本容量n 至少应取多大？ 35 附表 ：221( )2tZZedt1.281.6451.962.33()0.9000.9500.9750.990ZZ知识点：切比雪夫不等式的求解答：题目： (98,3 分) 设 A、 B是两个随机事件 , 且 0P( A)0, P( B| A)=P( B|A),则必有 ( C ) (A)P(A | B)= P(A| B) (B)P( A | B) P(A|B) (C)P( AB )= P( A) P(B) (D)P(AB ) P( A)P( B) 知识点：条件概率定义式和概率计算性质解答：由)()P B AP B A（得()()( )()()1( )()P ABP ABP BP ABP AP AP A , 化简得()()()P ABP A P B题目： (98,3 分) 设平面区域 D由曲线1yx及直线20,1,yxxe 所围成 , 二维随机变量 (X,Y) 在区域 D上服从均匀分布 , 则( X,Y) 关于 X 的边缘概率密度在x=2处的值为14. 知识点：边缘概率密度题目： (99,6 分) 设总体 X的概率密度为36()00,xxxf x（ ）其他12,nXXX 是取自总体 X的简单随机样本 . （1） 求的矩估计量 ； (2)求 D( ). 知识点 矩估计和方差的计算解答：（1）因306()( )()xE Xxf x dxxx dx =2故2X因此2X为的矩估计（2） 因222306()( )()xE Xx f x dxxx dx =2310所以2221()()()20D XE XE X211( )(2)4()5niiDDXDXnn =2( )5Dn题目： (99,3 分) 设两两相互独立的三事件A,B 和 C满足条件； AB, P( A)=P( B)=P(C)12, 且已知9()16P ABC, 则 P( A)= 14. 知识点 : 和事件的概率计算式和事件的独立性解答： 由题意知()0,()()(),()( )()P ABCP ABP A P BP ACP A P C ,()()()P BCP B P C , 若记()xP A，可得9=()16P ABC =()( )()()()()()P AP BP CP ABP ACP BCP ABC =3x-23x得 x=34和14，故1()4P A题目： (99,3 分) 设两个相互独立的随机变量X和 Y分别服从正态分布N (0,1)和 N(1,1),则(B) (A)102P XY(B)11 2P XY（C)102P XY(D)112P XY知识点：正态分布的性质和概率计算题目： (00,3 分) 设两个相互独立的事件A和 B都不发生的概率为19, A发生 B不发生的概率与 B发生 A不发生的概率相等 , 则 P( A)= 23. 知识点：概率的性质和对偶原则解答： 由题意得()()P ABP AB , 所以()()()()P AP ABP BP AB即()( )P AP B , 因此1= ()1()1( )()()9P ABP ABP AP BP AB =212 ()( ( )P AP A题目： (00,3 分) 设 二 维随 机变 量( X,Y) 服从 二维 正态 分 布 , 则 随 机 变 量XYXY与不相关的充分必要条件为(B) (A)()( )E XE Y (B)2222()()()( )E XE XE YE Y(C)22()()E XE Y (D)2222()()()( )E XE XE YE Y知识点：协方差和方差的计算性质题目： (00,8 分) 某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0p0 为未知参数 . 又设12,nx xxX是的一组样本观测值 , 求参数 的最大似然估计值 . 知识点：最大似然估计的计算解答：似然估计函数12(,; )nL x xx为2()112,(, )0,ixnniiiiiexLf xx当1miniinx时1lnln 222niiLnxn故ln20Ln，可 见 ln L 关于单 调 增，要 使 ln L 达到最大，则应该 在1miniinx限制下让取的最大值，这里应该为1miniinx，故的最大似然估计值为1miniinx。题目： (01,3 分) 将一枚硬币重复掷n 次, 以 X和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数 , 则 X和 Y的相关系数等于 (A) (A)-1 (B)0 (C)12(D)1 知识点：相关系数的性质题目： (01,3 分) 设随机变量X的方差为2, 则根据切比雪夫不等式有估计|() |2PXE X12知识点：切比雪夫不等式题目： (02,7 分) 设随机变量 X的概率密度为1cos,0( )220 xxf x其他对 X独立地重复观察 4 次, 用 Y表示观察值大于3的次数 , 求2Y的数学期望 . 知识点：二项分布解答：因为3311( )cos3222xP Xf x dxdx故1(4,)2YB, 得( )2,( )1E YD Y , 所以22()( )( ( )5E YD YE Y题目： (02,3分) 设随机变量X 服从正态分布2( ,)(0)N, 且二次方程240yyX无实根的概率为12, 则4. 知识点：正太分布的概率计算题目： (02,3 分) 设12XX和是任意两个相互独立的连续型随机变量, 它们的概率密度分别为12( )( )f xfx和, 分布函数分别为12( )( )F xFx和, 则(D) (A)12( )( )f xfx 必为某一随机变量的概率密度；(B)12( )( )fxfx 必为某一随机变量的概率密度；(C)12( )( )F xF x 必为某一随机变量的分布函数；(D)12( )( )F xFx 必为某一随机变量的分布函数. D 知识点：分布函数和概率密度的性质。题目： (03,4 分) 设随机变量21 ( )(1),Xt n nYX, 则(C) (A)2( )Yxb(B)2(1)Yxn (C)( ,1)YF n(D)(1, )YFn知识点：三大统计量的性质题目： (03,4 分) 已知一批零件的长度X(单位： cm)服从正态分布(,1)N, 从中随机地抽取 16 个零件 , 得到长度的平均值为40cm,则的置信度为 0.95 的置信区间是(39.51,40.49). ( 注：标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95) 知识点：置信区间的计算10(03,4 分) 设二维随机变量 ( X,Y)的概率密度为6 ,01( , )0 xxyf x y其他则1P XY=14知识点：二维（连续型）随机变量已知概率密度计算概率题目： (04,4 分) 设随机变量 X服从参数为的指数分布 , 则P XDX =1e. 知识点：指数分布题目：(04,4 分) 设随机变量12,(1)nXXXn独立同分布 , 且其方差为20.令11niiYXn, 则（A）(A)21(,).Cov XYn(B)21(, )Cov X Y(C)212()nD XYn(D)211()nD XYn知识点：协方差具有“线性运算“的性质题目： (04,4 分) 设随机变量 X服从正态分布 N(0,1), 对给定的(01), 数u满足P Xu, 若P Xx, 则 x等于( C ) (A) 2u . (B)12u. (C)12u . (D) 1u . 知识点：( )x的性质，数理统计中的（上侧）分位数概念题目： (05,4分) 设12nX ,X ,X (n2)，为来自总体N(0,1) 的简单随机样本 ,X为样本均值 ,S2为样本方差 , 则(D) (A) nX N0 1（ ，） (B)22( )nSn (C)(1) (1)nXt nS(D)2122(1)(1,1)niinXFnX知识点：三大统计量的性质题目： (05,4分) 从数 1,2,3,4中任取一个数 , 记为 X,再从 1, , ,X 中任取一个数, 记为 Y,则 PY=2=1348. 知识点：离散型随机变量的条件分布，全概率公式题目： (05,4分) 设二维随机变量 (X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 X=0与X+Y=1互相独立 , 则(B) (A)a=0.2, b=0.3 (B)a=0.4, b=0.1 (D)a=0.3, b=0.2(D)a=0.1,b=0.4 知识点：事件间的独立性题目： (05,9 分) 设二维随机变量 (X, Y) 的概率密度为1,01,02 ,( , )0,xyxf x y其他求： (I)(X,Y)的边缘概率密度( ),( );XYfxfy (II)Z=2XY 的概率密度( ).Zfz知识点：二维（连续型）随机变量的边缘概率密度，联合概率密度解答： ：2012 ,01( )0,xXdyxxfx其他,1/211,022( )0,Yyydxyfy其他1,02( )20,Zzzfz其他题目： (06,4 分) 设,A B为随机事件 , 且()0,(|)1P BP A B, 则必有 ( C ) (A)()( ).P ABP A (B)()( ).P ABP B (C)()().P ABP A(D)()( ).P ABP B知识点：乘法公式和加法公式解答：()( ) ()( )P ABP B P A BP B()()()()()P ABP AP BP ABP A故选 C. 题目： (06,4分) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N, Y 服从正态分布222(,)N, 且12| 1| 1 ,PXP Y( A ) (A)12.(B)12. (C)12.(D)12.知识点：正态分布函数题目： (06,4 分)设随机变量X与Y相互独立 , 且均服从区间 0, 3 上的均匀分布 ,则max,1PX Y=1/9. 知识点：独立随机变量的联合概率题目： (06,9 分) 随机变量 x 的概率密度为21, 1021,02,40,xxfxxyxF x y令其他为 二 维 随 机 变 量 (X,Y) 的 分 布 函 数 . ( ) 求Y 的 概 率 密 度Yfy( )1,42F知识点：边缘概率，概率密度3,0181( )( ),1480,YYyyfyFyyy其他解答： ( )Y 的分布函数为2( )()()YFyP YyP Xy当0y时，( )0,( )0YYFyfy当01y时，( ) = 0)0)113 =244YFyPyXyPyXPXyyyy3( )8Yfyy当14y时11( ) 10024YFyPXPXyy1( )8Yfyy当4y时，( )1,( )0YYFyfy，故 Y的概率密度为3,0181( )( ),1480,YYyyfyFyyy其他题目： (2007,I 、III 、IV) (10) 设随机变量 (,) 服从二维正态分布 , 且与不相关 ,( )( )XYfx fy 分别表示 , 的概率密度 , 则在y 的条件下 , 的密度|( | )X Yfx y 为( ) (A) ( )Xfx (B) ( )Yfy (C ) ( )( )XYfx fy . (D) ( )( )XYfxfy知 识 点 ： 对 于 二 维 连 续 型 随 机 变 量(,)X Y, 有 与 相 互 独 立f (x, y)=( )( )XXfx fy|( | )X Yfx y =( )Xfx|(| )Y Xfy x =( )Yfy . 解答：因(,)X Y服从二维正态分布 , 且与不相关 , 故与相互独立 , 于是|( | )X Yfx y =( )Xfx . 因此选 (A) 题目： (2007) 设总体X的概率密度为1,0,21( , ),1,2(1)0,.xf xx其它其中参数(01)未知, 12,nXXX 是来自总体X 的简单随机样本 , X是样本均值(I) 求参数的矩估计量?；(II) 判断24X是否为2的无偏估计量 , 并说明理由. 知识点：矩估计无偏估计量解答： (I) ()( , )E Xxf xdx1022(1)xxdxdx11(1).4424令124X, 其中11niiXXn, 解答：方程得的矩估计量为 : ?=122X. (II) 222(4)4 ()4()()EXE XD XEX2()4()D XEXn, 而22()( , )E Xx f xdx221022(1)xxdxdx211.36622()()()D XE XEX221111()366242115121248, 故2(4)EX2()4()D XEXn2313135312nnnnnn2, 所以24X不是2的无偏估计量 . . 题目： (2007) 设二维随机变量 (X, Y)的概率密度为2,01,01,( ,)0,xyxyf x y其它.(I) 求2P XY ； (II) 求ZXY的概率密度( )Zfz . 知识点：联合概率密度解答： (I) 2P XY2( , )xyf x y dxdy11202(2)ydyxy dx724. (II) 方法一：先求Z的分布函数 : ( )()( , )ZxyzFzP XYZfx y dxdy当 z0时, ( )0ZFz; 当01z时, 1( )( ,)ZDFzf x y dxdy00(2)zz ydyxy dx2313zz；当12z时, 2( )1( , )ZDFzf x y dxdy1111(2)zzydyxy dx311(2)3z当2z时, ( )1ZFz. 故 Z+的概率密度( )Zfz =( )ZFz222,01,(2) ,12,0,.zzzzz其他方法二：( )( ,)Zfzf x zx dx, 2(),01,01,( ,)0,.xzxxzxf x zx其他2,01,01,0,.zxzx其他当 z 0 或 z 2 时, ( )0Zfz; 当01z时, 0( )(2)zZfzz dx(2)zz；当12z时, 11( )(2)Zzfzz dx2(2)z；故 Z+的概率密度( )Zfz222,01,(2) ,12,0,.zzzzz其他题目： (07.4分) 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p(0p1), 则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 ( C ) (A) 23 (1)pp(B) 26 (1)pp. (C) 223(1)pp(D) 226(1)pp知识点：独立重复试验的计算解答： “第 4 次射击恰好第 2 次命中”表示 4 次射击中第 4 次命中目标 , 前3 次射击中有 1 次命中目标 . 由独立重复性知所求概率为：1223(1)C pp. 题目：(07.4 分)在区间 (0, 1)中随机地取两个数 , 则两数之差的绝对值小于12的概率为 _ _ 知识点：几何概型解答：这是一个几何概型 , 设 x, y 为所取的两个数 , 则样本空间(,)|0,1 x yx y, 记1(,)| ( , ),|2Ax yx yxy. 故( )ASP AS33414, 其中,ASS 分别表示 A与的面积 . 题目： (2007.) 设随机变量 X与 Y独立分布 , 且 X 的概率分布为122133XP 记max,min,UX YVX Y . (I) 求(,)U V的概率分布 ; (II) 求(,)U V的协方差 Cov(,)U V. 知识点：联合概率分布，协方差解答： (I) 易知 U , V 的可能取值均为 : 1, 2. 且(1,1)(max,1,min,1 )P UVPX YX Y(1,1)P XY4(1) (1)9P XP Y, (1,2)(max,1,min,2)0P UVPX YX Y, (2,1)(max,2,min,1)P UVPX YX Y(2,1)(1,2)P XYP XY(2)(1)(1) (2)P XP YP XP Y49, (2,2)(max,2,min,2)P UVPX YX Y(2,2)(2)(2)P XYP XP Y19, 故(U, V) 的概率分布为 : V U 1 2 1 2 49 0 4919(II) 441()1 102 122999E UV169, 4514()12999E U, 8110()12999E V. 故1614104(,)()()()99981Cov U VE UVE U E V. 题 目 ： (2008.) 设 随 机 变 量,X Y独 立 同 分 布 且X的 分 布 函数 为( )F x, 则max, ZX Y的分布函数为【】(A) 2( )Fx . (B) ( )( )F x F y. (C) 21 1( )F x. (D) 1( )1( )F xF y. 知识点：max, ZX Y的分布函数解答：( )max, F zP ZzPX Yz2( )( )( )P Xz P YzF z F zFz 故应选 (A) 题 目 ： (2008.)设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立 ,X的 概 率 密 度 为1()(1,0,1)