《直线的交点坐标和距离公式》导学案(人教A版).pdf
3.3直线的交点坐标与距离公式导学案【学习目标】1. 直线和直线的交点，二元一次方程组的解；2掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。3. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式，会用点到直线距离公式求解两平行线距离。【导入新课】用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？新授课阶段1. 两直线的交点坐标的求法如果两条直线相交，联立方程组求，交点坐标与二元一次方程组的是一一对应的。1. 若二元一次方程组有唯一解，1l与2l相交。2. 若二元一次方程组无解，则1l与2l平行。3.若二元一次方程组有无数解，则1l与2l重合。例 1 求下列两直线交点坐标：1l：3x+4y-2=0；2l：2x+y +2=0。解：例 2 已知a为实数，两直线1l：01yax，2l：0ayx相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x轴上 . 分析：解：2. 两点间距离公式的推导平面直角坐标系中两点12,P P的距离22122221PPxxyy。过12,P P分别向 x轴和 y 轴作垂线，垂足分别为112200NyMx，直线1122PNP M与相交于点Q。在直角12PP Q中，2221212PPPQQP，为了计算其长度，过点1P向 x 轴作垂线，垂足为110Mx，过点2P向 y 轴作垂线，垂足为220Ny，于是有2222221212121221PQM MxxQPN Nyy，所以，2221212PPPQQP=222121xxyy。由此得到两点间的距离公式例 3 以知点 A（-1，2） ，B（2，7） ，在 x 轴上求一点，使PAPB,并求PA的值。解：例 4 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。分析：证明：3. 点到直线距离公式在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00yx，直线 0 或 B0 时，以上公式0:CByAxl，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l的距离呢 ? 设点 P 到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQl可知，直线PQ 的斜率为AB（A0 ），根据点斜式写出直线PQ 的方程， 并由l与 PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出PQ，得到点 P 到直线l的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨另一种方法方案二：设A0 ，B0 ，这时l与x轴、y轴都相交，过点P 作x轴的平行线，交l于点),(01yxR；作y轴的平行线，交l于点),(20yxS，oxyldQSRP(x0,y0)由0020011CByAxCByxA得BCAxyACByx0201,. 所以， P10 xxACByAx00PS20yyBCByAx00S ABBAPSPR2222 CByAx00由三角形面积公式可知：d S P PS所以可证明，当A=0 时仍适用得到：点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd例 5 求点 P=（-1，2）到直线3x=2 的距离。解：例 6 已知点 A（1，3）， B（3，1）， C（-1，0），求三角形ABC 的面积。解：4.平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd证明：例 7 求两平行线1l：0832yx，2l：23100 xy间的距离。解：课堂小结1.直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。2. 两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。3. 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式。作业见同步练习部分拓展提升1 已知直线0323yx和016myx互相平行， 则它们之间的距离是（）A. 4 B.13132C. 26135D. 261372、过点 A(1,2) 且与原点距离最大的直线方程是（）A052yxB042yxC. 073yxD053yx3.已知直线l1的方程是ax-y+b0,l2的方程是bx-y-a0(ab0, a b)，则下列各示意图形中，正确的是 ( ) 4直线3yx绕原点逆时针旋转90，再向右平移个单位，所得到的直线为() A.1133yxB. 113yxC. 33yxD.113yx5若动点),(),(2211yxByxA、分别在直线1l：07yx和2l：05yx上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为（）A23B32C33D246点 A（ 1，3） ，B（5， 2） ，点 P 在 x 轴上使 |AP|BP|最大，则P 的坐标为（）A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0) 7.过点)1 ,4(P作直线l分别交x轴的正半轴和y 轴的正半轴于点A、B， 当AO B（O为原点）的面积S最小时，求直线l的方程，并求出S的最小值。8.光线从2,0Q发出射到直线l：x+y=4 上的 E 点，经l反射到 y 轴上 F 点，再经 y 轴反射又回到Q 点，求直线EF 的方程。9.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为， 宽为，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合 （如图所示） 。将矩形折叠， 使A点落在线段DC上。（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（2）当230k时，求折痕长的最大值；（3） 当21k时，折痕为线段PQ，设2(2|1 )tkP Q，试求t的最大值。10. 过点 (2,3)的直线l被两平行直线12: 2590,:2570lxylxy所截得线段AB 的中点恰好在直线410 xy上 ,求直线l的方程 . 参考答案新授课阶段1. 两直线的交点坐标的求法交点坐标解例 1 解：联立方程组34202220 xyxy解得x=-2，y=2 所以1l与2l的交点坐标为M（-2，2） ，如下图所示：642-2-4-55yx例 2 分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围. 解：解方程组若112aa0，则a1. 当a 1 时，11aa0，此时交点在第二象限内. 又因为a为任意实数时，都有12a1 0，故112aa0 因为a1（否则两直线平行，无交点），所以，交点不可能在x轴上，得交点 (11,112aaaa) 2. 两点间距离公式的推导22122221PPxxyy例 3 解：设所求点P（ x，0） ，于是有2222102207xx由P APB得2225411xxxx解得x=1。所以，所求点P（ 1，0）且221 10222PA。解法二：由已知得，线段AB 的中点为12 ，直线 AB 的斜率为k=1?2 线段 AB 的垂直平分线的方程是y-1?2 在上述式子中，令y=0，解得 x=1。所以所求点P 的坐标为（ 1，0） 。因此 例 4 分析： 首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。证明：以顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，有（，） 。设（，） ，（，） ，由平行四边形的性质的点的坐标为（，），因为22222222ABaCDaADbcBC，2ACab， 所以， 所以， 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。上述解决问题的基本步骤可以归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。第二步：进行有关代数运算。第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。3. 点到直线距离公式在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00yx，直线 0 或 B0 时，以上公式0:CByAxl，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l的距离呢 ? 设点 P 到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQl可知，直线PQ 的斜率为AB（A0 ），根据点斜式写出直线PQ 的方程， 并由l与 PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出PQ，得到点 P 到直线l的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设A0 ，B0 ，这时l与x轴、y轴都相交，过点P 作x轴的平行线，交l于点),(01yxR；作y轴的平行线，交l于点),(20yxS，由0020011CByAxCByxA得BCAxyACByx0201,. 所以， P10 xxACByAx00PS20yyBCByAx00S ABBAPSPR2222 CByAx00由三角形面积公式可知：d S P PS所以2200BACByAxd可证明，当A=0 时仍适用得到：oxyldQSRP(x0,y0)点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd例 5 解： d=223125330例 6 解：设 AB 边上的高为h，则SABC=12ABh2231132 2AB，AB 边上的高h 就是点 C 到 AB 的距离。AB 边所在直线方程为31133 1yX即 x+y-4=0 。点 C 到 X+Y-4=0 的距离为h h=21045211，因此， SABC=15225224.平行线间的距离公式推导过程：证明：设),(000yxP是直线02CByAx上任一点，则点P0到直线01CByAx的距离为22100BACByAxd又0200CByAx即200CByAx，d2221BACC01032yx的距离 . 例 7 解：因为1l2l又10,821CC. 由两平行线间的距离公式得133232)10(822d拓展提升1. D 2. A 3.D 4.A 5. A 6. B 7设 a(a,0),B(0,b),( a,b0),则直线 l 的方程为：1byax，在直线又P(4,1)l 上，114ba，又821,16,42141abSababba，等号当且仅当,2114ba2b8,a即时成立，直线l 的方程为： x+4y8=0, Smin=8 8解：设Q 关于 y 轴的对称点为1Q，则1Q的坐标为-2,0设 Q 关于l的对称点为2,Qm n，则2QQ中点为 G2(,)22mn，G 在 l 上2422mn，又2,12nQQlm由得2(4,2)Q由物理学知识可知，1Q、2Q在直线 EF 上，1213EFQ Qkk直线 EF 方程为 :1(2)3yx，即320 xy9、解： (1) 当0k时,此时A点与D点重合 , 折痕所在的直线方程21y当0k时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为( ,1)G a，所以A与G关于折痕所在的直线对称，有1OGkk11kaak故G点坐标为)1 ,( kG，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为)21,2(kM折痕所在的直线方程)2(21kxky，即2122kykx由得折痕所在的直线方程为：2122kykx（2）当0k时，折痕的长为2; 当230k时，折痕直线交BC于点21(2,2)22kMk，交y轴于21(0,)2kN22222211|2(2)4444(74 3)3216 3222kkyMNkk折痕长度的最大值为3216 32( 62)。而2)26(2,故折痕长度的最大值为)26(2（3）当21k时，折痕直线交DC于1(,1)22kPk，交x轴于21(,0)2kQk22222111|1()1222kkPQkkk22(2 |1)tkPQkk21k22 2kk（当且仅当2( 2, 1)k时取 “ =”号）当2k时，t取最大值，t的最大值是2 2。10 解: 与两平行直线12: 2590,: 2570lxylxy等距离的直线方程为2510 xy解4102510 xyxy得交点31xy则所求直线l的方程为y1x33123即4x5y70
