【新课标】高考数学(理)专题强化复习十七章坐标系与参数方程.pdf

第十七章坐标系与参数方程高考导航考试要求重难点击命题展望一、坐标系1.了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用. 2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆 )的方程 .通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义. 5.了解在柱坐标系、 球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别. 二、参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义. 2.分析直线、 圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程 . 3.了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程. 4.了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用. 本章重点：1.根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程. 2.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程. 本章难点：1.对伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性；曲线的极坐标方程. 2.根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程 . 坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形， 常需建立不同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便 . 本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习， 使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点， 选取适当的曲线方程表示形式， 体会解决问题中数学方法的灵活性. 高考中，参数方程和极坐标是本专题的重点考查内容.对于柱坐标系、 球坐标系， 只要求了解即可 . 知识网络17.1坐标系典例精析题型一极坐标的有关概念【例 1】已知 ABC 的三个顶点的极坐标分别为A(5，6)，B(5，2)，C(4 3，3)，试判断 ABC 的形状，并求出它的面积. 【解析】在极坐标系中，设极点为O，由已知得AOB 3， BOC56， AOC56. 又|OA|OB|5， |OC|43，由余弦定理得|AC|2|OA|2|OC|22|OA| |OC|cosAOC 52(43)22 5 43cos56133，所以 |AC|133.同理， |BC|133. 所以 |AC|BC|，所以 ABC 为等腰三角形 . 又|AB| |OA|OB|5，所以 AB 边上的高h|AC|2(12|AB|)2 1332，所以 SABC 121332 56534. 【点拨】判断 ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长. 【变式训练1】(1)点 A(5，3)在条件： 0， (2 ，0)下极坐标为， 0， (2 ，4)下极坐标为；(2)点 P(12，43)与曲线 C： cos 2的位置关系是. 【解析】 (1)(5，53)；(5，103).(2)点 P 在曲线 C 上. 题型二直角坐标与极坐标的互化【例 2】 O1 和 O2 的极坐标方程分别为 4cos ， 4sin .(1)把 O1 和 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过 O1 和 O2 交点的直线的直角坐标方程. 【解析】 (1)以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长. 因为 x cos ，ysin ，由 4cos ，得 2 4cos ，所以 x2y24x，即 x2 y24x0 为 O1 的直角坐标方程. 同理， x2y24y 0 为 O2 的直角坐标方程. (2) 由,04,042222yyxxyx解得0,011yx或. 2,222yx即 O1， O2 的交点为 (0,0)和(2， 2)两点，故过交点的直线的直角坐标方程为x y0. 【点拨】互化的前提条件：原点对应着极点，x 轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到 . 【变式训练2】在极坐标系中，设圆 3 上的点到直线(cos 3sin )2 的距离为d，求 d 的最大值 . 【解析】将极坐标方程 3 化为普通方程x2y29， (cos 3sin )2 可化为 x3y2. 在 x2y29 上任取一点A(3cos ， 3sin )，则点 A 到直线的距离为d|3cos 33sin 2|2|6sin( 30 )2|2，它的最大值为4. 题型三极坐标的应用【例 3】过原点的一动直线交圆x2 (y1)21 于点 Q，在直线OQ 上取一点P，使 P到直线 y2 的距离等于 |PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P的轨迹方程 . 【解析】以O 为极点， Ox 为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P 作 PR 垂直于直线 y 2，则有 |PQ|PR|.设 P( ，)，Q(0 ， )，则有 0 2sin .因为 |PR|PQ|，所以 |2 sin | 2sin |，所以 2 或 sin 1，即为点P 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2y24 或 x0. 【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些. 【变式训练3】如图，点A 在直线 x5 上移动，等腰OPA 的顶角 OPA 为 120 (O，P，A 按顺时针方向排列)，求点 P的轨迹方程 . 【解析】取O 为极点， x 正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线 x5 的极坐标方程为cos 5. 设 A(0 ，0) ，P( ，)，因为点 A 在直线 cos 5 上，所以0cos 05.因为 OPA 为等腰三角形，且OPA120 ，而 |OP| ，|OA|0 以及 POA 30 ，所以 0 3 ，且 0 30 .把代入，得点P 的轨迹的极坐标方程为3cos( 30 )5. 题型四平面直角坐标系中坐标的伸缩变换【例 4】定义变换T：,cossin,sincosyyxxyx可把平面直角坐标系上的点P(x，y)变换成点P (x ，y ).特别地，若曲线M 上一点 P经变换公式T 变换后得到的点P 与点 P 重合，则称点P是曲线 M 在变换 T 下的不动点 . (1)若椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为2 2，长轴顶点和短轴顶点间的距离为 2.求椭圆 C 的标准方程，并求出当tan 34时，其两个焦点F1、F2 经变换公式T 变换后得到的点F1 和 F2 的坐标；(2)当 tan 34时，求 (1)中的椭圆C 在变换 T 下的所有不动点的坐标. 【解析】 (1)设椭圆 C 的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，由椭圆定义知焦距2c22? c2，即 a2b22.又由已知得a2 b24，故由、可解得a23，b21. 即椭圆 C 的标准方程为x23y2 1，且椭圆 C 两个焦点的坐标分别为F1(2，0)和 F2(2， 0). 对于变换 T：,cossin,sincosyyxxyx当 tan=43时，可得.5453,5354yyxxyx设 F1(x1 ，y1)和 F2(x2 ，y2)分别是由F1(2，0)和 F2(2，0)的坐标经变换公式T 变换得到. 于是,523054)2(53,524053)2(5411yx即 F1 的坐标为 (425，3 25)；又,523054253,52405325422yx即 F2 的坐标为 (425，325). (2)设 P(x，y)是椭圆 C 在变换 T 下的不动点，则当tan 34时，有yyxxyx5453,5354? x3y，由点 P(x，y)C，即 P(3y，y)C，得(3y)23 y21 ?,23,21xy因而椭圆C 的不动点共有两个，分别为(32，12)和(32，12). 【变式训练4】在直角坐标系中，直线x2y2 经过伸缩变换后变成直线 2x y 4. 【解析】.4,yyxx总结提高1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法. 如果规定 0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标( ，)表示；反之也成立 . 2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程. 17.2参数方程典例精析题型一参数方程与普通方程互化【例 1】 把下列参数方程化成普通方程：(1) sincos2,sin4cosyx( 为参数 )；(2)2)ee(,2)ee(ttttbyax(t 为参数， a， b0). 【解析】 (1), 1)94()92(94cos,92sinsincos2,sin4cos22yxxyyxxyyx所以 5x24xy 17y2810. (2)由题意可得.ee2，ee2ttttbyax所以 2 2 得4x2a24y2b24，所以x2a2y2b21，其中 x0. 【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形. (1);cossin ,cossinyx(2);1, 1ttyx(3) ;13,13222ttyttx(4) 3.tan5,sec46yx【解析】 (1)x2 2(y12)，2 x2，图形为一段抛物线弧. (2)x1，y 2 或 y2 ，图形为两条射线. (3)x2y23y0(y 3) ，图形是一个圆，但是除去点(0,3). (4)(x6)216(y3)2251，图形是双曲线. 题型二根据直线的参数方程求弦长【例 2】已知直线l 的参数方程为tytx3,2(t 为参数 )，曲线 C 的极坐标方程为 2cos 2 1. (1)求曲线 C 的普通方程；(2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 . 【解析】 (1)由曲线 C：2cos 2 2(cos2sin2 )1，化成普通方程为x2y21.(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程tytx23,212(t 为参数 ).把代入得 (2t2)2(32t)21，整理得t24t60. 设其两根为t1，t2，则 t1t24， t1t2 6. 从而弦长为 |t1t2|(t1t2)24t1t242 4(6)402 10. 方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y3(x 2)，代入 x2y21，得 2x2 12x130. 设 l 与 C 交于 A(x1 ，y1)， B(x2 ，y2)，则 x1x26，x1x2132，所以 |AB|13(x1x2)24x1x226226210. 【变式训练2】在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为tytx531,541(t 为参数 )，若以 O为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 2cos( 4)，求直线 l 被曲线 C 所截的弦长 . 【解析】将方程tytx531,541(t 为参数 )化为普通方程为3x4y10. 将方程 2cos( 4)化为普通方程为x2y2xy0. 表示圆心为 (12，12)，半径为r22的圆，则圆心到直线的距离d110，弦长 2r2d2212110075. 题型三参数方程综合运用【例 3】(2009 海南、宁夏 )已知曲线C1：tytxsin3,cos4(t 为参数 )， C2：sin3,cos8yx( 为参数 ). (1)化 C1， C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若 C1上的点 P对应的参数为t2， Q为 C2上的动点，求 PQ中点 M 到直线 C3：tytx2,23(t为参数 )距离的最小值. 【解析】 (1)C1：(x4)2 (y3)21，C2：x264y291. C1 是以 (4,3)为圆心， 1 为半径的圆；C2 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴，长半轴长是8，短半轴长是3 的椭圆 . (2)当 t2时， P( 4,4)， Q(8cos ，3sin )，故 M(24cos ，232sin ).C3 为直线 x2y 70，M 到 C3 的距离 d55|4cos 3sin 13|，从而 cos 45，sin 35时， d 取最小值8 55. 【变式训练3】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为sin2,cos4yx( 为参数 )，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2 的极坐标方程为 2cos 4sin ( 0). (1)化曲线 C1、C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)设曲线 C1 与 x 轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m 0)， 经过点 P 作曲线 C2 的切线 l，求切线 l 的方程 . 【解析】 (1)曲线 C1：x216y241；曲线 C2：(x1)2(y 2)25. 曲线 C1 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是4，短半轴长是2 的椭圆；曲线C2为圆心为 (1， 2)，半径为5的圆 . (2)曲线 C1：x216y241 与 x 轴的交点坐标为(4,0)和(4,0)，因为 m0，所以点 P 的坐标为(4,0).显然切线l 的斜率存在，设为k，则切线l 的方程为yk(x 4). 由曲线 C2 为圆心为 (1， 2)，半径为5的圆得|k2 4k|k215，解得 k3 102，所以切线l 的方程为y3 102(x4). 总结提高1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量x，y的取值范围而造成错误. 2.消除参数的常用方法有：代入消参法；三角消参法；根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段 . 3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.