沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 -直线的点方向式方程.ppt

11.1直线的点方向式方程,历史上的数学,17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。,历史上的数学,解析几何是指借助笛卡尔坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫做坐标几何，由笛卡尔、费马等数学家创立并发展。解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。,笛卡尔,费马,知识回顾,问题1：小学、初中时，我们如何定义直线？,线段两端无限延长得到的图形是直线；一次函数的图像是直线。,问题2：随着高中角的定义动态化，直线的定义能否动态化？,直线即为某个点沿着某个方向运动形成的轨迹。,问题3：一次函数y=kx+b可以改成二元一次方程kx-y+b=0，那么直线与二元一次方程有什么联系？,1、直线方程的定义：,对于坐标平面内的一条直线l，如果存在一个二元一次方程A满足：（1）直线l上点的坐标都满足方程A；（2）以方程A的解为坐标的点都在直线l上。那么我们就把方程A叫做直线l的方程；直线l叫做方程A的图形。,新知探究,可见，直线l上的点的集合与二元一次方程的解的集合一一对应。,1、直线方程的定义：,对于坐标平面内的一条直线l，如果存在一个二元一次方程A满足：（1）直线l上点的坐标都满足方程A；（2）以方程A的解为坐标的点都在直线l上。那么我们就把方程A叫做直线l的方程；直线l叫做方程A的图形。,新知探究,直线的几何理解沿某方向的动点轨迹；代数理解二元一次方程的解集。,问题4：要唯一确定坐标平面内的一条直线l，我们需要知道哪些信息？,三个不完全重合的已知点；两个不重合的已知点；一个已知点以及该直线的方向；,问题5：如何求平面上，过一已知点且与某一方向平行的直线l的方程？,新知探究,新知探究,2、直线的点方向式方程：,依题意，建立平面直角坐标系，则P的坐标是，方向用非零向量表示。,设直线l上动点Q坐标为。,由直线平行于该非零向量，故。,代入坐标，等价化简得：。,经检验，显然，直线l上的任意一点的坐标都满足方程；反之，若为方程的任意一解，即，记为坐标的点为Q1，也有，Q1在直线l上。,新知探究,2、直线的点方向式方程：,新知探究,2、直线的点方向式方程：,综上，过点且与非零向量平行的直线l的方程为,研究解析几何的标准思维路径。,（1）当时，方程化为这即直线l的点方向式方程；叫直线l的一个方向向量。,方向向量不唯一。,2、直线的点方向式方程：,学习新知,（2）当时，方程化为表示过且与x轴垂直的直线。,2、直线的点方向式方程：,学习新知,（3）当时，方程化为表示过且与y轴垂直的直线。,直线l的点方向式方程不能表示过且与坐标轴垂直的直线，有局限性。,2、直线的点方向式方程：,学习新知,例题与练习,练1、观察下列直线方程，指出各直线必过的点和它的一个方向向量：（学生讨论练习）（1）（2）（3）（4）,解：,例题与练习,例1、已知点，求过点A，且与BC平行的直线l的点方向式方程。,解：,且直线l过点,直线l的点方向式方程为,例题与练习,解：,且直线l过点,直线l的点方向式方程为,练2、求经过点的直线l的点方向式方程。（学生演示练习）,学习小结,问题6：通过本节课的学习，你有哪些收获？,学习小结,1、解析几何：借助笛卡尔坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学。2、直线方程的定义：直线l上的点的集合与二元一次方程的解的集合一一对应。3、直线的点方向式方程：有局限性。,