2020年专题01 二次函数中线段最值问题与小马喝水问题-2020中考数学二次函数压轴试题分类精析.doc
一、二次函数相关知识点梳理以及重要的公式（一）二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两点式（交点式）：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意事项：在求解二次函数解析式的过程中，同学们根据所给的点坐标，已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式已知交点坐标就用交点式，已知顶点坐标就设顶点式，这样会有利于计算，记不住的同学就用一般式，只是计算量稍微大一点，注意多练一练解二元、三元一次方程组。（二）二次函数综合题目常用的公式与定理1.中点坐标公式（容易遗忘记错） 练习：已知 A(x1,y1)、B（x2,y2），那么AB中点坐标就是（,） 已知A(4,6) B(-2,2)，那么AB中点坐标就是 （1,4） 变式练习：已知A（4,6），AB中点坐标是（2，-2），求B点坐标 （0，-10） 解析：考察了中点坐标公式的逆运用，很常见。可以借助于方程运用中点公式可以列出。 设B（x,y）,那么可以得出 =2 ,=-2 解方程算出x=0, y=-10从而知道B（0，-10）2.两点间距离公式（容易遗忘记错） 练习：已知A(4,1) B(2,2) ，根据公式：AB= = 常用的定理1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（考察频率很高） 2.直角三角形30角所对应的边等于斜边的一半（考察频率很高）3.角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。4.垂直平分线定理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。5.勾股定理 6.中位线定理，中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。7.等腰三角形三线合一二、二次函数问题中线段最值问题（一）例题演示1.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0）、B(1,0)、C(2，1)，交y轴于点M.(1)求抛物线的表达式；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标； 【解析】：本题主要考查二次函数的图象与性质和二次函数的应用。（1）把ABC三个点坐标分别代入抛物线的解析式中，根据待定系数法求得各系数的值，即可得该抛物线的解析式。（2）由（1）中的抛物线解析式求得点的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的解析式，由题意设点、坐标，根据两点坐标表示出所求线段DF的长，根据二次函数的性质即可求得最大值。解答：（1）将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中得解得 所以抛物线的表达式为y= - -。（2）令x=0, 解得y=- 1所以点M的坐标为（0,1），来源:学,科,网Z,X,X,K设直线MA的表达式为y=kx+b，把A,M点坐标代入解得k=， b=1所以直线的表达式为y=x+1设点D的坐标为（x0，- -）， 则点F的坐标为（x0，xo+1）DF=- - - （xo+1） =- x02 -x0当x0=- = - 时，DF取得最大值，最大值为，此时把x0= - 代入二次函数中得y= 即点D的坐标为（- ）。【试题精炼】如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(1，0)、(0，)，点B在x轴上已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；【解析】分析： (1)可以采用待定系数法求二次函数的解析式,因为点A（-1,0） C（0，-）在函数图象上,对称轴为x=1,也可求得A的对称点B的坐标为（3,0）,列方程组即可求得解析式;(2)先求得直线BC的解析式为y=,则可求得点F的坐标为（m，- ）,再求得点P的纵坐标为m2-可得线段PF的长;学#科网解答：(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a0a、b、c为常数),由抛物线的对称性知B点坐标为(3,0),依题意得:解得:所求二次函数的解析式为y= x2x (2)P点的横坐标为m,所以P点的纵坐标为 m2设直线BC的解析式为y=kx+b k0,依题意,得 所以故直线BC的解析式为y=x点F的坐标为（m，） 所以PF=（ m2） = - m2+m （0<m<3）当x=- =时,PF有最大值【中考链接】如图，二次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点. (1)求该函数的表达式; (2)点为该函数在第一象限内的图像上一点，过点作，垂足为点，连接.求线段的最大值; 解答：（1）抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），即y=ax2-3ax-4a，则-4a=2，解得a=-，所以抛物线解析式为y=-x2+x+2；（2）作PNx轴于N，交BC于M，如图，BC=25，当x=0时，y= y=-x2+x+2=2，则C（0，2），设直线BC的解析式为y=mx+n，把C（0，2），B（4，0）得n=2，m=-，直线BC的解析式为y=-x+2，设P（t，-t2+t+2），则M（t，-t+2），PM=-t2+t+2-（-t+2）=-t2+2t，NBM=NPQ，PQMBOC，PQ=-t2+t=-（t-2）2+，当t=2时，线段PQ的最大值为来源:学&科&网Z&X&X&K三、常见的小马喝水问题，最短路径问题【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查来源:学。科。网常见的基本模型第一种 作法 作B关于l的对称点B连A B，与l交点即为P在直线l上求一点P，使PA+PB值最小原理：两点之间线段最短来源:学&科&网PA+PB最小值为A B第二种 作法 连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P在直线l上求一点P，使的值最小原理：垂直平分上的点到线段两端点的距离相等0第三种 作法 作直线AB，与直线l的交点即为P来源:学科网ZXXK在直线l上求一点P，使的值最大原理：三角形任意两边之差小于第三边AB，的最大值AB
