2020年专题04 二次函数与平行四边形存在性问题-2020中考数学二次函数压轴试题分类精析.doc
一、解决此类题目的基本步骤与思路1.先分类，（按照边和对角线进行分类）2.画图，（画出大致的平行四边形的样子，抓住目标点坐标）3. 计算（利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质）二、针对于计算的方法选择1.全等三角形抓住对应边对应角的相等2.在利用点坐标进行长度的表示时要利用两点间距离公式 BA3.平行四边形的对应边相等列相关的等式4.利用平行四边形的对角线的交点从而找出四个点坐标之间的关系PDCXA+XC=XB+XD YA+YC=YB+YD （利用P是中点，以及中点坐标公式）A(x1,y1)、B（x2,y2），那么AB中点坐标就是（,）注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。二次函数中平行四边形的存在性问题（一）例题演示已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；【解析】：（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：BC是ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6。AB=10，AH=4，设OC=x，则AC=8x，由勾股定理得：x=3，点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；解答：（1）点C的坐标为（3，0）（1分）点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），来源:学.科.网Z.X.X.K可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x3）（x8）将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得过A、B、C三点的抛物线的解析式为（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G直线BC的解析式为y=2x+6.设点P的坐标为（x，2x+6）解法一：如图，作OPAD交直线BC于点P，连接AP，作PMx轴于点MOPAD，POM=GAD，tanPOM=tanGAD，即解得经检验是原方程的解此时点P的坐标为但此时，OMGA，OPAD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，直线BC上不存在符合条件的点P 解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PNx轴于点N则PEO=DEA，PE=DE可得PENDEG由，可得E点的坐标为（4，0）NE=EG=，ON=OENE=，NP=DG=点P的坐标为x=时，点P不在直线BC上直线BC上不存在符合条件的点P【试题精炼】 如图，已知抛物线与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；来源:学+科+网【解析】：本题主要考查二次函数的应用。（1）利用待定系数法，以及点A(-1,0)，C(2,3)即可求得二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据题意进行分类讨论：当点E在线段AC上时，点F在点的E上方，则F(x,x+3)，根据题意可求得E的坐标；点E在线段AC（或）延长线上时，点F在点E的下方，则点F的坐标为(x,x-1)，然后利用二次函数图象上点的坐标特征可求得点E的坐标。解答：（1）由题意可知，点A,C坐标分别代入抛物线解析式解得b=2，c=3.又因为A,C在直线上，设y=kx+b，解得k=1，n=1所以直线解析式为y=x+1（2）由（1）、（2）得点D的坐标为(1,4)，点B的横坐标与点D的横坐标相同，且点B在直线AC上，将其代入y=x+1，可得y=2。故点B的坐标为(1,2)，因为点E在直线AC上，设点E的坐标为(x，x+1)。如图2所示，当点E在线段AC上时，点F在点E的上方，则点F的坐标为(x，x+3)，因为点F在抛物线上，所以x+3=-x2+2x+3，解得x=0或x=1（舍去），所以点E的坐标为（0,1） 当点E在线段AC延长线上时，则点F的坐标为(x，x-1)，点F在点E的下方，因为F在抛物线上，所以x-1=- x2+2x+3，解得x=或x=，来源:学。科。网所以综上所述，点的坐标点E的坐标为（0,1）或者（，），（）【中考链接】如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为（1）求抛物线的函数关系式；（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？ 解答：（1）由题意知点的坐标为设的函数关系式为又点在抛物线上，解得抛物线的函数关系式为（或）（2）与始终关于轴对称， 与轴平行设点的横坐标为，则其纵坐标为，即当时，解得当时，解得当点运动到或或或时，以点为顶点的四边形是平行四边形【巩固练习】. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点(点在点 的左侧)，将该抛物线位于轴上方曲线记作，将该抛物线位于轴下方部分沿轴翻 折，翻折后所得曲线记作，曲线交轴于点，连接. (1)求曲线所在抛物线相应的函数表达式; (2)点为曲线或曲线上的一个动点，点为轴上的一个动点，若以点来源:Zxxk.Com 为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标.【解析】：本题主要考查二次函数的应用、和平行四边形。（1）由已知抛物线可求得顶点坐标，进而求得曲线N所在抛物线顶点坐标，进而再利用顶点式可求得曲线N的解析式。（2）过点C作直线lx轴，交曲线M或N于点P，所以l：y=3，考虑两种情况：点P位于曲线M上和点P位于曲线N上，分别联立曲线M和直线l的方程或曲线N和直线l的方程，求出点P的坐标，再根据平行四边形的性质，即可求出点Q的坐标。 来源:学&科&网Z&X&X&K（2）过点C作直线lx轴，交曲线M或N于点P，所以l：y=3。当点P位于曲线M上时，由x2-2x-3=3，解得x1=+1，x2=-+1，所以CP=+1，或CP=-1因为以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，所以CPBQ且CP=BQ，所以Q1(4+,0)，Q2(4-,0)，Q3(2+,0)，Q4(4-,0)；当点位于曲线N上时，由-x2+2x+3=3，解得x3=0（舍去）或x4=2，所以CP=2，因为以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，所以CPBQ且CP=BQ，所以Q5(5,0), Q6(1,0)综上所述，点Q的坐标分别为：Q1(4+,0)，Q2(4-,0)，Q3(2+,0)，Q4(4-,0), Q5(5,0), Q6(1,0)。
