辽宁省抚顺市2020届高三下学期普通高中应届毕业生高考模拟（一模）考试数学（理科）试题 （解析版）.doc

2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1已知复数z=103+i-2i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数z=（）A33iB3+3iC3iD3+i2已知集合A2，1，1，2，Bx|（x+1）（x2）0，xZ，则AB（）A1B1，1C2，2D0，13居民消费价格指数，简称CPI，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标一般来说，CPI的高低直接影响着国家的宏观经济调控措施的出台与力度，如图是国家统计局发布的我国2009年至2018年这十年居民消费价格指数的折线图则下列对该折线图分析正确的是（）A这十年的居民消费价格指数的中位数为2013年的居民消费价格指数B这十年的居民消费价格指数的众数为2015年的居民消费价格指数C2009年2012年这4年居民消费价格指数的方差小于2015年2018年这4年居民消费价格指数的方差D2011年2013年这3年居民消费价格指数的平均值大于2016年2018年这3年居民消费价格指数的平均值4函数f（x）excosx的图象大致为（）ABCD5把书架上的周髀算经、九章算术、海岛算经、五曹算经、孙子算经5本中国古代数学专著重新排列一下，若要求其中的周髀算经和九章算术这2本书相邻，则所有不同排法的种数为（）A120B96C48D246函数f(x)=sin(x+3)+sinx的最小正周期及对称轴是（）A，x=k+3（kZ）B，x=2k+3（kZ）C2，x=k+3（kZ）D2，x=2k+3（kZ）7已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：若m，n，nm，则若m，m，则若m，n，mn，则若m，n，mn，则其中正确的命题是（）ABCD8已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是（）A(53，2B(1，53C（1，2D53，+)9若4sincos22=t，则2sin+sin2（）A2tBtC2tD4t10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为（）A12B23C32D211已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，若O为坐标原点，点A、B在抛物线C上，且2AF=FB，则|AF|OF|=（）A54B43C32D5312已知定义在2，2上的函数yf（x）满足f（x）f（x），则不等式ex1f（x）f（2x1）的解集为（）A（，1）B12，32C0，1D(1，32二、填空题：13在菱形ABCD中，若BD6，则CBDB的值为 14在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2（ab）2+8，C=3，则ABC的面积为 15若实数x，y满足xy0，且log2x+log2y1，则x2+y2x-y的最小值为 16“水能载舟，亦能覆舟”是古代思想家荀子的一句名言，意指事物用之得当则有利，反之必有弊害对于高中生上学是否应该带手机，有调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）你上学时是否带手机？学生在被调查时，先背对着调查人员抛掷一枚硬币（保证调查人员看不到硬币的抛掷结果），如果正面向上，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题被调查的学生不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，由于只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答某次调查活动共有800名高中生（编号从1至800）参与了调查，则回答为“不是”的人数的最大值是 如果其中共有260人回答为“是”，则由此可以估计这800名学生中，上学带手机的人数约为 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，S315，an0，d1，且_从“等比数列bn的公比q=12，b1a2，b3a3；a11，a21，a3+1为等比数列bn的前3项”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列an存在并作答（1）求数列an的通项公式；（2）设数列1anan+1的前n项和为Tn，求证：Tn11518如图，已知等边ABC与直角梯形ABDE所在的平面互相垂直，且AEAB，BDAE，ABBD2AE2，AM=12MC（1）证明：直线CD平面BEM；（2）求直线ED与平面BEM所成角的正弦值19我国是世界上严重缺水的归家之一，某市为了制订合理的节水方案，对家庭用水情况进行了抽样调查，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t）的数据，将这些数据按照0，0.5），0.5，1），1，1.5），1.5，2），2，2.5），2.5，3），3，3.5），3.5，4），4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求图中的b值，若该市有30万个家庭，试估计全市月均用水量不低于3t的家庭数；（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，试估计全市家庭月均用水量的平均数；（3）现从月均用水量在0，0.5），0.5，1）的家庭中，先按照分层抽样的方法抽取9个家庭，再从这9家庭中抽取4个家庭，记这4个家庭中月均用水量在0.5，1）中的数量为，求的分布列及数学期望20已知椭圆C1：x26+y24=1，A为椭圆C1上的动点，点B在y轴上，且直线AB垂直于y轴，点M满足BM=63BA（1）求M的轨迹方程C2；（2）设点F是椭圆C1的右焦点，点N是C2上在第一象限内的点，过点N作C2的切线交椭圆C1于P，Q两点，试判断FPQ的周长是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由21已知函数f（x）x2x，g（x）lnx（1）讨论函数h（x）af（x）g（x）（aR）的单调性；（2）证明：若a1，则对于任意x0，不等式f（x）（x+1）g（x）+（a2）x恒成立考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C1的参数方程为x=2cosy=2sin（为参数），曲线C2的参数方程为x=tcos4y=2+tsin4（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1与曲线C2的公共点的极坐标；（2）若点A的极坐标为（2，），设曲线C2与y轴相交于点B，则在曲线C1上是否存在点P，使得PAPB，若存在，求出点P的直角坐标，若不存在，请说明理由选修4-5：不等式选讲23设f(x)=|x+2t|+|x-1t|（t0），g（x）x+3（1）当t1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）证明：f(x)22恒成立参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1已知复数z=103+i-2i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数z=（）A33iB3+3iC3iD3+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案解：z=103+i-2i=10(3-i)(3+i)(3-i)-2i=3-3i，z=3+3i故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2已知集合A2，1，1，2，Bx|（x+1）（x2）0，xZ，则AB（）A1B1，1C2，2D0，1【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可解：A2，1，1，2，Bx|1x2，xZ0，1，AB1故选：A【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题3居民消费价格指数，简称CPI，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标一般来说，CPI的高低直接影响着国家的宏观经济调控措施的出台与力度，如图是国家统计局发布的我国2009年至2018年这十年居民消费价格指数的折线图则下列对该折线图分析正确的是（）A这十年的居民消费价格指数的中位数为2013年的居民消费价格指数B这十年的居民消费价格指数的众数为2015年的居民消费价格指数C2009年2012年这4年居民消费价格指数的方差小于2015年2018年这4年居民消费价格指数的方差D2011年2013年这3年居民消费价格指数的平均值大于2016年2018年这3年居民消费价格指数的平均值【分析】根据折线统计图以及中位数，众数，方差，平均数的定义即可判断解：对于A：十年的居民消费价格指数的中位数为2013和2014年的居民消费价格指数的平均数，故A不正确；对于B：这十年的居民消费价格指数的众数为2015年的居民消费价格指数，不正确，故B不正确，对于C：方差反应了数据的波动大小，故2009年2012年这4年居民消费价格指数的方差大于2015年2018年这4年居民消费价格指数的方差，故C不正确，对于D：2011年2013年这3年居民消费价格指数的平均值大于2016年2018年这3年居民消费价格指数的平均值，正确，故D正确故选：D【点评】本题考查折线图的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力4函数f（x）excosx的图象大致为（）ABCD【分析】函数f（x）为非奇非偶函数，可排除AB选项，由f（1）0，可排除C选项，进而得出答案解：易知函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，由函数奇偶性的对称性可知，选项A，B错误；又f（1）ecos10，故选项C错误故选：D【点评】本题考查函数图象的运用，考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题5把书架上的周髀算经、九章算术、海岛算经、五曹算经、孙子算经5本中国古代数学专著重新排列一下，若要求其中的周髀算经和九章算术这2本书相邻，则所有不同排法的种数为（）A120B96C48D24【分析】根据题意，分2步进行分析：，将周髀算经和九章算术看成一个整体，考虑2者的顺序，将这个整体与其他3本书全排列，由分步计数原理计算可得答案解：根据题意，分2步进行分析：，要求其中的周髀算经和九章算术这2本书相邻，将两者看成一个整体，考虑2者的顺序，有2种情况，将这个整体与其他3本书全排列，有A4424种情况，则有22448种不同的排法；故选：C【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题6函数f(x)=sin(x+3)+sinx的最小正周期及对称轴是（）A，x=k+3（kZ）B，x=2k+3（kZ）C2，x=k+3（kZ）D2，x=2k+3（kZ）【分析】直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称轴方程解：函数f(x)=sin(x+3)+sinx=12sinx+32cosx+sinx=32sinx+32cosx=3sin(x+6)所以函数的最小正周期为2令x+6=k+2（kZ），整理得：x=k+3（kZ）故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型7已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：若m，n，nm，则若m，m，则若m，n，mn，则若m，n，mn，则其中正确的命题是（）ABCD【分析】由面面垂直的判定定理，可判断的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断的真假解：若m，n，nm，如图，则与不一定垂直，故为假命题；若m，m，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则；故为真命题；若m，n，mn，则，故为真命题；若m，n，mn，如图，则与可能相交，故为假命题故选：B【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键8已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是（）A(53，2B(1，53C（1，2D53，+)【分析】根据题意，由双曲线的定义分析可得|PF1|PF2|2a，又由|PF1|4|PF2|，则|PF2|=2a3，由双曲线的几何性质分析可得2a3c-a，变形可得e的范围，即可得答案解：根据题意，双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)中，点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a，又由|PF1|4|PF2|，则|PF2|=2a3，则有2a3c-a，变形可得：23e1，即可得：e53，则双曲线的离心率取值范围为(1，53故选：B【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的定义分析|PF1|、|PF2|的值9若4sincos22=t，则2sin+sin2（）A2tBtC2tD4t【分析】由已知利用二倍角公式即可化简求解解：4sincos22=t，4sin1+cos2=2sin+2sincos2sin+sin2t故选：B【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为（）A12B23C32D2【分析】延长D1E、DC，设D1EDCO，连接AO，则AO为平面AD1E与平面ABCD的交线，可得平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角为AOD，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，由题意可得OD2则答案可求解：如图，延长D1E、DC，设D1EDCO，连接AO，则AO为平面AD1E与平面ABCD的交线，DCD1C1，平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角为AOD，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为棱CC1的中点，C为OD的中点，则OD2tanAOD=ADOD=12即平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为12故选：A【点评】本题考查空间中异面直线所成角的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确作出平面AD1E与平面ABCD的交线是关键，是中档题11已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，若O为坐标原点，点A、B在抛物线C上，且2AF=FB，则|AF|OF|=（）A54B43C32D53【分析】作AA准线于A，BB准线于B，过点A作ACx轴，与BB交于点C，与y轴交于点E，设|AF|m，结合2AF=FB和抛物线的定义，可以导出p=43m，而|AF|OF|=mp2，代入消元即可得解解：如图所示，作AA准线于A，BB准线于B，过点A作ACx轴，与BB交于点C，与y轴交于点E，设|AF|m，则|AA|m，|FB|BB|2m，|BC|BB|CB|BB|AA|2mmm，|EF|=13|BC|=13m，而点F到准线的距离为p，也等于|EF|+|AA|=13m+m=43m，p=43m，|AF|OF|=mp2=m23m=32故选：C【点评】本题考查抛物线的定义，平面向量的数乘，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题12已知定义在2，2上的函数yf（x）满足f（x）f（x），则不等式ex1f（x）f（2x1）的解集为（）A（，1）B12，32C0，1D(1，32【分析】构造函数g(x)=f(x)ex，x-2，2，求导后根据题设条件可知g（x）在2，2上单调递减，而所求不等式等价于g（x）g（2x1），进而建立关于x的不等式组，解出即可解：构造函数g(x)=f(x)ex，x-2，2，则g(x)=f(x)-f(x)ex0，故函数g（x）在2，2上单调递减，ex1f（x）f（2x1）等价于f(x)exf(2x-1)e2x-1，即g（x）g（2x1），-2x2-22x-12x2x-1，解得1x32，不等式的解集为(1，32故选：D【点评】本题考查里利用导数研究函数的单调性，考查构造函数思想以及运算求解能力，属于基础题二、填空题：13在菱形ABCD中，若BD6，则CBDB的值为18【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，利用平面向量的数量积公式计算即可解：菱形ABCD中，BD6，则CBDB=BCBD=|BC|BD|cosCBD|BO|BD|3618故答案为：18【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题14在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2（ab）2+8，C=3，则ABC的面积为23【分析】根据c2（ab）2+8，C=3，利用余弦定理求出ab的值，再利用面积公式求解解：因为c2（ab）2+8a2+b22ab+8，即a2+b2c22ab8，结合C=3，两边同除以2ab得a2+b2-c22ab=1-4ab=cosC=12所以ab8，SABC=12absinC=128sin3=23故答案为：23【点评】本题考查余弦定理、面积公式以及整体代换的思想属于中档题15若实数x，y满足xy0，且log2x+log2y1，则x2+y2x-y的最小值为4【分析】先根据对数的运算性质求出xy2，再根据基本不等式求出最小值即可解：log2x+log2y1，log2xy1log22，xy2，x2+y2x-y=(x-y)2+2xyx-y=（xy）+4x-y2(x-y)4x-y=4，但且仅当x1+3，y=3-1时取等号，故x2+y2x-y的最小值为4，故答案为：4【点评】本题考查了对数的运算性质和基本不等式，属于中档题16“水能载舟，亦能覆舟”是古代思想家荀子的一句名言，意指事物用之得当则有利，反之必有弊害对于高中生上学是否应该带手机，有调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）你上学时是否带手机？学生在被调查时，先背对着调查人员抛掷一枚硬币（保证调查人员看不到硬币的抛掷结果），如果正面向上，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题被调查的学生不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，由于只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答某次调查活动共有800名高中生（编号从1至800）参与了调查，则回答为“不是”的人数的最大值是800如果其中共有260人回答为“是”，则由此可以估计这800名学生中，上学带手机的人数约为120【分析】调查活动共有800名高中生（编号从1至800）参与了调查，每人只回答一个问题，只需回答“是”或“不是”，从而回答为“不是”的人数的最大值是800推导出回答第一个问题的人数有400人，其中有200人的学号是奇数，回答第二个问题的人数为400人，其中60人回答了“是”，由此可以估计这800人中经常带手机上学的人数解：某次调查活动共有800名高中生（编号从1至800）参与了调查，由于每人只回答一个问题，只需回答“是”或“不是”，回答为“不是”的人数的最大值是800被调查的800人（学号从1至800）中有400人的学号是奇数，400抛掷一枚硬币，出现正面的概率是12，回答第一个问题的人数有400人，其中有200人的学号是奇数，这200人都回答了“是”，回答第二个问题的人数为400人，其中60人回答了是，由此可以估计这800人中经常带手机上学的人数是：80060400=120故答案为：800，120【点评】本题考查频数的求法，考查古典概型的应用，考查学生分析解决问题的能力，考查函数的性质及应用，是中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，S315，an0，d1，且_从“等比数列bn的公比q=12，b1a2，b3a3；a11，a21，a3+1为等比数列bn的前3项”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列an存在并作答（1）求数列an的通项公式；（2）设数列1anan+1的前n项和为Tn，求证：Tn115【分析】（1）若选，由等比数列和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，判断不符题意，故选，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)，再由数列的裂项相消求和，计算可得Tn，再由数列的单调性和不等式的性质，即可得证解：（1）若选等比数列bn的公比q=12，b1a2，b3a3，可得b3b1q2，即a3=14a2，即有（a1+2d）=14（a1+d），又S315，可得3a1+1232d15，即a1+d5，解得d=-1541，不符题意，舍去；故选a11，a21，a31为等比数列bn的前3项，由an为等差数列，S315，得3a215，所以a25，又a11，a21，a31为等比数列bn的前3项，得(a1-1)(a3+1)=(a2-1)2，即（4d）（6+d）16，解得d2或d4（舍）所以a13，an2n+1（nN*）（2）证明：因为1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)，所以Tn=12（13-15+15-17+12n+1-12n+7）=12（13-12n+3）=n3(2n+3)=1611+32n1611+32=115【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和和不等式的性质，主要考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题18如图，已知等边ABC与直角梯形ABDE所在的平面互相垂直，且AEAB，BDAE，ABBD2AE2，AM=12MC（1）证明：直线CD平面BEM；（2）求直线ED与平面BEM所成角的正弦值【分析】（1）连接AD交于EB点O，连接OM，推导出MOCD，由此能证明CD平面BEM（2）取AB中点F，ED中点G，连接CF，FG，则FGAE，推导出CFAB，AE平面ABC，FG平面ABC分别以FC，FB，FG所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线ED与平面BEM所成角的正弦值解：（1）证明：连接AD交于EB点O，连接OM，因为BDAE，BD2AE，所以AO：OD1：2，因为AM=12MC，所以AM：MC1：2，所以MOCD又因为CD平面BEM，MO平面BEM，所以CD平面BEM（2）解：取AB中点F，ED中点G，连接CF，FG，所以FGAE，又因为ABC等边，所以CFAB；因为平面ABC平面ABDE，AEAB，平面ABC平面ABDEAB，AE平面ABDE，所以AE平面ABC，所以FG平面ABC分别以FC，FB，FG所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，A（0，1，0），B（0，1，0），C(3，0，0)，D（0，1，2），E（0，1，1），所以AM=(33，13，0)，BA=(0，-2，0)，BM=(33，-53，0)，EB=(0，2，-1)，ED=(0，2，1)设平面BEM的一个法向量为n=（x，y，z），则nEB=2y-z=0nBM=33x-53y=0，取x5，得n=（5，3，23），设直线ED与平面BEM所成角为，则直线ED与平面BEM所成角的正弦值：sin=|cosn，ED|=65【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19我国是世界上严重缺水的归家之一，某市为了制订合理的节水方案，对家庭用水情况进行了抽样调查，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t）的数据，将这些数据按照0，0.5），0.5，1），1，1.5），1.5，2），2，2.5），2.5，3），3，3.5），3.5，4），4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求图中的b值，若该市有30万个家庭，试估计全市月均用水量不低于3t的家庭数；（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，试估计全市家庭月均用水量的平均数；（3）现从月均用水量在0，0.5），0.5，1）的家庭中，先按照分层抽样的方法抽取9个家庭，再从这9家庭中抽取4个家庭，记这4个家庭中月均用水量在0.5，1）中的数量为，求的分布列及数学期望【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求解b，然后求解抽样的样本中月均用水量不低于3t的家庭所占比例，家庭数（2）因为（0.250.08+0.750.16+1.250.3+1.750.44+2.250.5+2.750.28+3.250.12+3.750.08+4.250.04）0.52.02，因此估计全市家庭月均用水量的平均数为2.02（3）求解可能取值为1，2，3，4，求出概率，得到的分布列，然后求解期望解：（1）因为频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，所以（0.04+2b+0.12+0.16+0.28+0.3+0.44+0.5）0.51，解得b0.08，抽样的样本中月均用水量不低于3t的家庭所占比例（0.04+0.08+0.12）0.50.1212%，因此估计全市月均用水量不低于3t的家庭所占比例为12%，家庭数约为30000012%36000（2）因为（0.250.08+0.750.16+1.250.3+1.750.44+2.250.5+2.750.28+3.250.12+3.750.08+4.250.04）0.52.02，因此估计全市家庭月均用水量的平均数为2.02（3）在月均用水量0，0.5），0.5，1）中，0，0.5）有4家，0.5，1）有8家，共12家，按照分层抽样抽取9个家庭，即0，0.5）抽3家，0.5，1）抽6家，因此可能取值为1，2，3，4，其中P(=1)=c33C61C94=121，P(=2)=c32C62C94=514，P(=3)=C31C63C94=1021，P(=4)=C30C64C94=542，所以的分布列：1234P121 514 1021 542 为数学期望E()=1121+2514+31021+4542=83【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查频率分布直方图的应用，是中档题20已知椭圆C1：x26+y24=1，A为椭圆C1上的动点，点B在y轴上，且直线AB垂直于y轴，点M满足BM=63BA（1）求M的轨迹方程C2；（2）设点F是椭圆C1的右焦点，点N是C2上在第一象限内的点，过点N作C2的切线交椭圆C1于P，Q两点，试判断FPQ的周长是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由【分析】（1）先设出点M与点N的坐标，由题设条件利用相关点法求出M的轨迹方程C2；（2）设出点P、Q的坐标，结合题设条件求出PF、FQ、PQ的距离，从而解决三角形PQF的周长是定值的问题解：（1）设A（x1，y1），M（x，y），由已知有B（0，y1），因为BM=63BA，所以(x-0，y-y1)=63(x1-0，y1-y1)，解得x1=36xy1=y，代入C1得x2+y24，所以C2的方程为x2+y24；（2）由（1）得F(2，0)，设P（x2，y2），Q（x3，y3）且x2，x3(-6，6)则|PF|=(x2-2)2+y22，又x226+y224=1，代入上式得|PF|=(x2-2)2+y22=(x2-2)2+4(1-x226)=13(x2-32)2=33(32-x2)，|PN|=|OP|2-|ON|2=x22+y22-4=x22+4(1-x226)-4=33x2，所以|PF|+|PN|=6，同理|QF|+|QN|=6，得|PF|+|QF|+|PQ|=26，故PQF的周长是定值26【点评】本题主要考查相关点法求点的轨迹方程及圆锥曲线中的定值问题，属于中档题21已知函数f（x）x2x，g（x）lnx（1）讨论函数h（x）af（x）g（x）（a一、选择题）的单调性；（2）证明：若a1，则对于任意x0，不等式f（x）（x+1）g（x）+（a2）x恒成立【分析】（1）函数h（x）a（x2x）lnx的定义域为（0，+），h(x)=2ax-a-1x=2ax2-ax-1x对a分类讨论即可得出单调性（2）原不等式即（x+1）lnxx2+axx0，变形为(x+1)lnxx-x+a-10，所以，只需lnx-x-lnxx-a+1恒成立设函数F（x）lnxx，G(x)=-lnxx-a+1，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论【解答】（1）解：函数h（x）a（x2x）lnx的定义域为（0，+），h(x)=2ax-a-1x=2ax2-ax-1x当a0时，h（x）lnx，h（x）在（0，+）内单调递减；当a0时，h（x）在（0，a-a2+8a4a）内单调递减；在（a+a2+8a4a，+）内单调递减，当8a0时，h（x）在（0，+）内单调递减；当a8时，h（x）在(0，a+a2+8a4a)，(a-a2+8a4a，+)内单调递减，在(a+a2+8a4a，a-a2+8a4a)内单调递增（2）证明：原不等式即（x+1）lnxx2+axx0，变形为(x+1)lnxx-x+a-10，所以，只需lnx-x-lnxx-a+1恒成立设函数F（x）lnxx，G(x)=-lnxx-a+1，因为F(x)=1x-1=1-xx，易得F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）上单调递减，所以F（x）F（1）1.G(x)=-1-lnxx2=lnx-1x2，G（x）在（0，e）单调递减，在上（e，+）单调递增，所以G(x)G(e)=-1e+1-a因为a1，所以-1e+1-a-1e-1，即lnx-x-lnxx-a+1在（0，+）内恒成立因此：若a1，则对于任意x0，不等式f（x）（x+1）g（x）+（a2）x【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C1的参数方程为x=2cosy=2sin（为参数），曲线C2的参数方程为x=tcos4y=2+tsin4（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1与曲线C2的公共点的极坐标；（2）若点A的极坐标为（2，），设曲线C2与y轴相交于点B，则在曲线C1上是否存在点P，使得PAPB，若存在，求出点P的直角坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步求出交点的极坐标（2）利用三角函数关系式的恒等变换和向量的坐标运算的应用和存在性问题的应用求出交点的坐标解：（1）由题知，曲线C1消去参数得到曲线C1的直角坐标方程为y2+y22，曲线C2消去参数t得到曲线C2的直角坐标方程为y=x+2联立C1与C2的直角坐标故两曲线的公共点的直角坐标为(-2，0)和(0，2)所以曲线C1与曲线C2的公共点的极坐标为(2，)，(2，2)（2）点A的直角坐标为（2，0），点B的直角坐标为(0，2)，假设存在点P满足条件，不妨设点P(2cos，2sin)则AP=(2cos+2，2sin)，BP=(2cos，2