双曲线与方程知识点总结例题习题精讲.pdf

课程星级：一、双曲线的定义1、 第 一 定 义 ： 到 两 个 定 点F1与F2的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ |F1F2|） 的 点 的 轨 迹（21212FFaPFPF（a为常数） 。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a|F1F2|。当|MF1|MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当 2a |F1F2|时，动点轨迹不存在。2、第二定义： 动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（222acb，其中 |1F2F|=2c）焦点在 x 轴上：12222byax（a0，b 0）知能梳理焦点在 y 轴上：12222bxay（a0，b 0）（1）如果2x项的系数是正数， 则焦点在 x 轴上；如果2y项的系数是正数， 则焦点在 y 轴上。a不一定大于 b。（2）与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax（3）双曲线方程也可设为：221(0)xymnmn需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab上220022-=1xyab2、直线与双曲线代数法：设直线:lykxm，双曲线)0,0( 12222babyax联立解得02)(222222222bamamkxaxkab（1）0m时，bbkaa，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；bka，bka，或 k 不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）0m时，k存在时，若0222kab，abk，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220ba k，222222222( 2)4()()a mkba ka ma b2222224()a bmba k0时，22220mba k，直线与双曲线相交于两点；0时，22220mba k，直线与双曲线相离，没有交点；0时22220mba k，2222mbka直线与双曲线有一个交点；k不存在，ama时，直线与双曲线没有交点；mama或直线与双曲线相交于两点；3、过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:lykxm过定点00(,)P xy，双曲线)0,0(12222babyax（1）当点00(,)P xy在双曲线内部时：bbkaa，直线与双曲线两支各有一个交点；abk，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；bka或bka或k不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；（2）当点00(,)P xy在双曲线上时：bka或2020b xka y，直线与双曲线只交于点00(,)P xy；bbkaa直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；2020b xka y（00y）或2020b xbkaa y（00y）或bka或k不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y时，bka或k不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P xy；bka或bka时直线与双曲线的一支有两个交点；bbkaa直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；（3）当点00(,)P xy在双曲线外部时：当0,0P时，bbkaa，直线与双曲线两支各有一个交点；bka或bka或k不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m时，222mbka时，过点00(,)P xy的直线与双曲线相切bka时，直线与双曲线只交于一点；需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网四、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)xyabab渐近线方程：22220 xyabxaby2、若双曲线方程为12222bxay（a0，b0）渐近线方程：22220yxabayxb3、若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax, 0。4、若双曲线与12222byax有公共渐近线，则双曲线的方程可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）五、双曲线与切线方程1、双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab。2、过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab。3、双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc。需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网六、双曲线的性质双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12F F）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221212FFa第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1e时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e）叫做双曲线的离心率。范围xa，yRya，xR对称轴x轴 ，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)Fc2( ,0)Fc1(0,)Fc2(0, )Fc焦点在实轴上，22cab；焦距：122F Fc顶点坐标（a,0） (a,0) (0, a,) (0，a) 离心率eace(1)，222cab， e 越大则双曲线开口的开阔度越大准线方程cax2cay2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22顶点到准线的距离顶点1A（2A）到准线1l（2l）的距离为caa2顶点1A（2A）到准线2l（1l）的距离为aca2焦点到准线的距离焦点1F（2F）到准线1l（2l）的距离为22abcccxyP1F2FxyxyP1F2FxyxyP1F2FxyPxyP1F2FxyP焦点1F（2F）到准线2l（1l）的距离为cca2渐近线方程xaby(实虚) yabx(实虚) 共渐近线的双曲线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）直线和双曲线的位置双曲线12222byax与直线ykxb的位置关系：利用22221xyabykxb转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 AB 的弦长2212121()4ABkxxx x通径：21AByy过双曲线上一点的切线12020byyaxx或利用导数00221y yx xab或利用导数七、弦长公式1、若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为 A、B 的横坐标，则221212()()ABxxyy，22221212121141|ABkxxkxxx xka，若12,yy分别为 A、B 的纵坐标，则21212122211114AByyyyy ykk。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B 两点，则弦长abAB22|。3、若弦 AB 所在直线方程设为xkyb，则AB2121kyy。4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解八、焦半径公式双曲线12222byax（a0， b0）上有一动点00(,)M xy当00(,)M xy在左支上时10|MFexa,20|MFexa当00(,)M xy在右支上时10|MFexa,20|MFexa注：焦半径公式是关于0 x的一次函数，具有单调性，当00(,)M xy在左支端点时1|MFca，2|MFca，当00(,)M xy在左支端点时1|MFca，2|MFca九、等轴双曲线12222byax（a0，b0）当ab时称双曲线为等轴双曲线1。ab；2。离心率2e；3。两渐近线互相垂直，分别为y=x；4。等轴双曲线的方程22yx，0；5。等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。十、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线。共轭双曲线有共同的渐近线；共轭双曲线的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于 1。需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网【例】如图所示，F为双曲线1169:22yxC的左焦点，双曲线C上的点iP与3 ,2, 17iPi关于y轴对称，则FPFPFPFPFPFP654321的值是（）精讲精练A9 B16 C18 D27 解：FPFP61FPFP52643FPFP，选 C 【例】设 P 为双曲线11222yx上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则 PF1F2的面积为（）A36B12 C312D24 解：2:3|:|,13,12, 121PFPFcba由又, 22|21aPFPF由、解得.4| ,6|21PFPF,52| ,52|2212221FFPFPF为21FPF直角三角形，.124621|212121PFPFSFPF故选 B 。【例】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 思路：时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x 轴、 y 轴正向，建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，则A（ 1020，0） ，B（1020，0） ，C（ 0，1020）设 P（x,y）为巨响为生点，由A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故 P 在 AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y= x，因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB| |PA|=340 4=1360 由双曲线定义知P点在以 A、 B 为焦点的双曲线12222byax上，依题意得a=680, c=1020，13405680340568010202222222222yxacb故双曲线方程为用 y=x 代入上式，得5680 x， |PB|PA|, 10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m10680处.A B C P O x y 【 例】已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程；解：（ 1）,332ac原点到直线AB：1byax的距离2322cabbaabd.3,1 ab. 故所求双曲线方程为.1322yx【例】已知双曲线的渐近线方程是2xy，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为解：设双曲线方程为224yx， 当0时， 化为52104202214xy，2010452，当0时，化为2214yx，5210420，综上，双曲线方程为221205xy或120522xy【例】 已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且AB 的中点为 N( 12， 15)，则 E 的方程解：设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0， b0)，由题意知c3，a2b29，设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有：x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式作差得：y1y2x1x2b2x1x2a2y1y212b215a24b25a2，又 AB 的斜率是1501231，所以将4b25a2代入 a2b29 得 a24，b2 5. 所以双曲线的标准方程是x24y251. 需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网【例】已知双曲线C 与双曲线162x42y=1 有公共焦点，且过点（32， 2）.求双曲线C 的方程解：法一：设双曲线方程为22ax22by=1.由题意易求c=25. 又双曲线过点（32，2），22)23(a24b=1. 又 a2+b2=（25）2， a2=12，b2=8. 故所求双曲线的方程为122x82y=1. 法二：设双曲线方程为kx162ky421，将点（ 32，2）代入得 k=4，所以双曲线方程为122x82y1. 【例】已知双曲线的渐近线方程是2xy，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为解：设双曲线方程为224yx，当0时，化为1422yx，2010452，当0时，化为1422yy，2010452，综上，双曲线方程为221205xy或120522xy【例】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为 (3，0)(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线： ykxm(k0 ，m 0) 与双曲线C 交于不同的两点M、N，且线段MN 的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m 的取值范围解析：(1)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)由已知得a3，c2. 又 a2b2c2，得 b2 1. 故双曲线C 的方程为x23y2 1. (2)联立ykxmx23y21整理得 (1 3k2)x26kmx3m230. 直线与双曲线有两个不同的交点，1 3k20 12(m2 13k2)0，可得 m23k2 1 且 k213设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为B(x0，y0)则 x1x26km13k2，x0 x1x223km1 3k2，y0kx0mm13k2. 由题意， ABMN， kABm13k213km13k21k(k0 ，m 0) 整理得 3k24m1 将代入，得m2 4m0， m0 或 m4. 又 3k24m 10(k0) ，即 m14. m 的取值范围是14，0 (4， ) 【例】已知直线1axy与双曲线1322yx交于A、B点。（1）求a的取值范围； （ 2）若以A B为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；（3）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线xy21对称？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由。解： （ 1）由13122yxaxy消去y，得022)3(22axxa（1）依题意0032a即66a且3a（2）（2）设),(11yxA，),(22yxB，则)4(32) 3(32221221axxaaxx 以 AB 为直径的圆过原点OBOA02121yyxx但1)(2121221xxaxxayy由（ 3） （4） ，22132aaxx，22132axx013232)1(222aaaaa解得1a且满足（ 2）（3）假设存在实数a，使 A、B 关于xy21对称，则直线1axy与xy21垂直121a，即2a直线l的方程为12xy将2a代入（ 3）得421xx AB 中点的横坐标为2 纵坐标为3122y但 AB中点)3, 2(不在直线xy21上，即不存在实数a，使 A、B关于直线xy21对称。【例】 已知双曲线C 的中心是原点， 右焦点为F3 0， 一条渐近线m:x+20y,设过点 A( 32,0)的直线 l 的方向向量(1, )ekv。（1）求双曲线 C 的方程；（2）若过原点的直线/al，且 a 与 l 的距离为6，求 K 的值；（3）证明：当22k时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为6. 解： （ 1）设双曲线C的方程为222(0)xy需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网32，解得2，双曲线C的方程为2212xy（2）直线:3 20l kxyk，直线:0a kxy由题意，得2|3 2 |61kk，解得22k（3）证明方法一设过原点且平行于l的直线:0b kxy则直线l与b的距离23 2 |,1kdk当22k时，6d又双曲线C的渐近线为x20y双曲线C的右支在直线b的右下方，双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于6。故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6方法二假设双曲线C右支上存在点00(,)Q xy到直线l的距离为6，则0022200|3 26(1)122(2)kxykkxy由（ 1）得2003 261ykxkk设23 261tkk，当22k时，23 2610tkk；2222213 2616031ktkkkk将00ykxt代入（ 2）得22200(12)42(1)0kxktxt2,02kt，22120,40,2(1)0kktt方程(*)不存在正根，即假设不成立，故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网【例】设双曲线C：x2a2y21(a0)与直线 l：x y1 相交于两个不同的点A、B. (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线 l 与 y 轴的交点为P，且 PA512PB，求 a 的值解：(1)将 y1x代入双曲线x2a2y21 中得 (1 a2)x22a2x2a20 所以1a204a48a2(1a2) 0， 解得 0a2，且 a1 ，又双曲线的离心率e1a2a1a21，0a2且 a1 ，e62且 e 2. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)PA512PB， (x1，y11)512(x2， y2 1)由此得x1512x2由于 x1，x2都是方程的两根，且 1a20 ，1712x22a21a2，512x222a21a2. 消去 x2，得2a21 a228960， a2289169， a1713. 由 a0，得 a1713. 【例】已知倾斜角为45的直线l过点)2,1(A和点B，B在第一象限，23| AB. (1) 求点B的坐标；(2)若直线l与双曲线1:222yaxC)0(a相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为)1,4(， 求a的值；(3)对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称| PQ的最小值为P与线段AB距离 . 已知点P在x轴上运动，写出点)0,(tP到线段AB的距离h关于t的函数关系式 . 解： (1) 直线AB方程为3xy，设点),(yxB，由18)2() 1(322yxxy及0 x，0y得4x，1y，点B的坐标为) 1,4(（2）由13222yxyax得0106)1(212xxa，设),(,),(2211yxFyxE，则4221621aaxx，得2a（3）(解法一 )设线段AB上任意一点Q坐标为)3,(xxQ，22)3()(|xxtPQ，记2)3(223222)(2)3()()(ttxxxtxf)41 (t，当4123t时，即51t时，2| 3|23min)(|ttfPQ，当423t，即5t时，)( xf在4,1 上单调递减，1)4()4(|2mintfPQ；当123t，即1t时，)(xf在4,1 上单调递增，4)1()1 (|2mintfPQ综上所述，.51)4(;51;14)1()(22| 3|2ttttttht(解法二 ) 过A、B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于)0,1(A、)0,5(B，当点P在线段BA上，即51t时，由点到直线的距离公式得：2|3|min|tPQ；当点P的点在点A的左边，1t时，4) 1(|2mintPAPQ；当点P的点在点A的右边，5t时，1)4(|2mintPBPQ综上所述，.51)4(;51;14)1()(22|3|2ttttttht【例】设 A，B 分别为双曲线x2a2y2b21(a0， b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y33x2 与双曲线的右支交于M、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OMONtOD，求 t 的值及点D 的坐标解： (1)由题意知 a2 3，一条渐近线为yb2 3x. 即 bx2 3y0.|bc|b2123.b2 3双曲线的方程为x212y23 1. (2)设 M(x1，y1)， N(x2，y2)，D(x0，y0)，则 x1x2tx0，y1y2ty0. 将直线方程代入双曲线方程得x2163x840，则 x1x2163，y1y212.x0y04 33，x2012y2031.x043，y03.t 4，点 D 的坐标为 (43，3)需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网1.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交。2.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切。（内切： P在右支；外切：P 在左支）3.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0） 上， 则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab。4.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab。需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 方法回顾或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网5.双曲线22221xyab（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一6.点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co。7.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、 Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N 两点，则MF NF。8.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF。9.AB是双曲线22221xyab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。10.若000(,)P xy在 双曲线22221xyab（ a 0,b 0） 内，则被Po 所 平分的 中点弦的方程 是2200002222x xy yxyabab。需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲 (详细解答 ) 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网通过本课程的学习：一、 “知能梳理”模块里的知识点你都掌握了吗？1、需要巩固的知识点：2、尚未掌握的知识点：学习感悟二、 “精讲精练”模块里的例题你都掌握了吗？1、完全掌握的例题：2、需要再次复习得例题：3、尚未掌握的例题：三、其他备注