高二数学第八章圆锥曲线方程84双曲线的简单几何性质优秀教案文档.pdf
课题： 84 双曲线的简单几何性质教学目的：1使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2掌握标准方程中cba,的几何意义3并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点： 双曲线的渐近线及其得出过程教学难点： 渐近线几何意义的证明授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题， 是数学中一个很大的课题， 它包含了圆锥曲线知识的众多方面， 这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法运动变化和对立统一的思想观点在第 8 章知识中得到了突出体现， 我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键； 渐近线的位置、 渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、 搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别对圆锥曲线来说， 渐近线是双曲线特有的性质， 我们常利用它作出双曲线的草图， 为说明这一点， 教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1byax为渐近线的双曲线方程则是2222byax对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小， 而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3 的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系， 突出考虑学生认知心理的变化规律本节分三个课时： 第一课时 主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时 主要内容为离心率、教材中的例1、例 2 及一道变式例题；第三课时 主要讲解教材中的例3、 双曲线另一个定义、准线概念教学过程 ：一、复习引入：名称双曲线定义平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线。即aMFMF221当 2a2c时，轨迹是双曲线当 2a=2c时，轨迹是两条射线当 2a2c时，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxayxOy注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常 数cba,的 关系222bac（符合勾股定理的结构）0acc最大，可以bababa,二、讲解新课：1范围、对称性由标准方程12222byax可得22ax，当ax时，y 才有实数值；对于 y 的任何值， x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线 x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大， y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2顶点顶点：0 ,),0,(21aAaA特殊点：bBbB, 0),0(21实轴：21AA长为 2a, a叫做半实轴长 虚轴：21BB长为 2b，b叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222byax中，令 y=0得ax，故它与x轴 有 两 个 交 点0 ,),0,(21aAaA，且 x轴为双曲线12222byax的对称轴， 所以0,),0 ,(21aAaA与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点 (一般而言， 曲线的顶点均指与其对称轴的交点 ) ，而对称轴上位于两顶点间的线段21AA叫做双曲线12222byax的实轴长，它的长是2a. 在方程12222byax中令 x=0 得22by，这个方程没有实数根，说明双曲线和 Y轴没有交点。 但 Y轴上的两个特殊点bBbB, 0), 0(21，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段21BB叫做双曲线的虚轴，它的长是2b要特别注意不xyQB1B2A1A2NMO要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点， 而椭圆则有四个顶点， 这是两者的又一差异3渐近线过双曲线12222byax的两顶点21, AA，作 Y轴的平行线ax，经过21,BB作 X轴的平行线by，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是xaby（0byax） ，这两条直线就是双曲线的渐近线分析：要证明直线xaby（0byax）是双曲线12222byax的渐近线，即要证明随着 X的增大，直线和曲线越来越靠拢也即要证曲线上的点到直线的距离MQ 越来越短，因此把问题转化为计算MQ 但因MQ 不好直接求得，因此又把问题转化为求 MN 最后强调，对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质22|axabxabMNMQ)(22axxab22axxab（| MQ0 x）4等轴双曲线a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线结合图形说明： a=b 时，双曲线方程变成222ayx( 或)2b，它的实轴和都等于2a(2b) ，这时直线围成正方形，渐近线方程为xy它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角5共渐近线的双曲线系如 果 已 知一 双曲 线 的 渐近 线方 程为xaby)0(kxkakb， 那 么 此 双 曲 线 方 程 就 一 定 是 ：)0( 1)()(2222kkbykax或写成2222byax6双曲线的草图利用双曲线的渐近线， 可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分， 最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线焦点在 y 轴的情况同学们自己研究7离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的离心率范围：1e双曲线形状与 e的关系：1122222eacaacabk，因此 e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 (1) 双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；(2) 渐近线的位置 (倾斜)情况又受到其斜率制约利用计算机动画先演示出“e 的大小”与“开口的阔A2A1F2F1xOy窄”的关系，能让学生对此变化规律先形成直观理解；然后再用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易， 使学生对此规律有更深刻清晰的理解这样做将有助于实在本节的这个难点8离心率相同的双曲线 (1) 计算双曲线19422yx的离心率0e；(2) 离心离为0e的双曲线一定是19422yx吗？举例说明如果存在很多的话，它们能否用一个特有的形式表示呢？ (3) 离心率为213的双曲线有多少条？分析：2222)(1)(1kakbababaace的关系式，并从中发现只要实现半轴和虚半轴各与a=2,b=3 有相同的比 k：1(k0) 的双曲线，其离心率e 都是2139共轭双曲线： 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这 样 得 到的 双 曲 线 称 为 原 双 曲线 的 共 轭双 曲 线如191622yx与116922xy注意的区别：三量a,b,c中 a,b不同（互换） c 相同通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线此即为共轭之意1）性质：共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上2）确定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变为-13）共用同一对渐近线kxy的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为)0(1222kyx，当0时交点在x轴，当0时焦点在 y 轴上三、讲解范例：例 1. 求双曲线14416922xy的实半轴长和虚半轴长,焦点坐标,离心率. 解:把方程化为标准方程得,1342222xy可得:实半轴长 :a=4 虚半轴长 :b=3 半焦距 :焦点坐标 :(0,-5),(0,5) 离心率 : 例二求下列双曲线的范围、焦点、顶点、离心率53422c45ace（1）32822yx（2）422yx（3）1254922yx例 2. 已知双曲线的中心在原点， 对称轴为坐标轴 , 它的一个焦点 F （5， 0） , 且离心率 e 可以使方程041)1(22xex有相等的实根，求满足条件的双曲线方程例 3. 已知双曲线虚轴的一个端点为M, 两焦点分别 F1 , F2 , 且12021MFF , 则双曲线的离心率为(B ) A3B26C36D33（参考例题）例 1 求双曲线1422yx的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答解：把方程化为标准方程1212222yx由此可知，实半轴长a1，虚半轴长 b2顶点坐标是（ 1，0） ， （1，0）5212222bac焦点的坐标是 ( 5，0) ，(5，0) 渐近线方程为021yx，即xy2例 2 求与双曲线191622yx共渐近线且过)3,33(A的双曲线的方程分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K的值即可解：设与1342222yx共渐近线且过)3,33(A的双曲线的方程为222234yx则22223)3(4)33(，从而有1611所求双曲线的方程为199161122yx例 3 求双曲线14416922xy的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐近线方程解 ： 把 方 程 化 为 标 准 方 程xyO1342222xy由此可知，实半轴长a4，虚半轴长 b35342222bac焦点的坐标是 (0 ，5) ，(0 ，5) 离心率45ace渐近线方程为yx43，即xy34例 4 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m ，下口半径为 25 m ，高 55m 选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程 ( 精确到 1m)BCCBA251213AxOy分析：本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口。显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴， 所以以最小截口直径所在直线为X轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。解：如图所示，建立直角坐标系xOy ，使小圆的直径 AA 在x 轴上，圆心与原点重合 这时，上、下口的直径 CC 、BB 平行于 x 轴，且|CC|=132(m)，|BB|=252(m)设双曲线的方程为12222byax)0,0(ba令点 C的坐标为 (13，y) ，则点 B的坐标为 (25 ，y55) 因为点 B、C在双曲线上，所以1)55(12252222by且112132222by解方程组，得125by（负值舍去）代入方程，得1)55125(12252222bb化简得19b2275b181500 解方程 ( 使用计算器计算 ) ，得b25(m)所以所求双曲线方程为162514422yx点评：这是一个有实际意义的题目解这类题目时，首先要解决以下两个问题： (1) 选择适当的坐标系； (2) 将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来四、课堂练习 ：1下列方程中，以x2y=0 为渐近线的双曲线方程是12)(12)(1164)(1416)(22222222yxDyxCyxByxA答案： A2 . 过点(3,0) 的直线l与双曲线 4x2-9y2=36 只有一个公共点 ,则直线l共有(A)1条 (B)2条 (C)3条(D)4 条答案： C3 . 若方程ak4yak3x22=1 表示双曲线，其中a 为负常数，则 k 的取值范围是 ( ) (A)(3a,-4a) (B)(4a,-3a) (C)(-3a,4a) (D)(-,4a)(-3a,+) 答案： B4 . 中心在原点，一个焦点为 (3， 0)， 一条渐近线方程 2x-3y=0的双曲线方程是(A)13811336122xy (B)13361381122xy(C)536554122xy (D)554536122xy答案： A5 . 与双曲线xy22916有共同的渐近线，且一顶点为(0 ，9) 的双曲线的方程是（ ）(A)xy22144811 (B)xy22144811(C)xy221691(D)xy22274811(/ )答案： D6 . 一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(5，0) 、32，则它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是（）(A)(0 ，5)，35 (B)(0，532)，(C)(0 ，532)， (D)(0 ，535)，答案： A7 . 双曲线 2kx2-ky2=1的一焦点是 F(0， 4) ， 则k等于 () (A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16答案： A1 . 方程 mx2ny2mn=0(mn0) 所表示的曲线的焦点坐标是B(A)(0,mn) (B) (0,nm)(C)(mn,0) (D)(nm,0) 2 . 下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是D(A)x23-y2=1和y29-x23=1 (B)x23-y2=1和 y2-x23=1 (C)y2-x23=1 和 x2-y23=1 (D)x23-y2=1和92x-32y=1 3 . 与双曲线116922yx有共同的渐近线，且经过点 A32, 3(的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 (C ) （A） 8 （B） 4 （C ） 2 （D）1 4 . 以xy3为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为 ( A ) （A）1322yx（B）1322yx（C）13222yx（D）13222yx5 . 双曲线 kx2+4y2=4k 的离心率小于2，则 k 的取值范围是( C ) （A） （- ,0 ） （B）(-3,0) （C）(-12,0) （D）(-12,1) 6 . 已知平面内有一固定线段AB,其长度为 4，动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA| 的最小值为D(A)1.5 (B)3 (C)0.5(D)3.5 7 . 已知双曲线 b2x2a2y2 = a2b2的两渐近线的夹角为2，则离心率 e 为( C ) (A)arcsin (B)cosba (C)sec (D)tg28 .一 条 直 线 与 双 曲 线 两 支 交 点 个 数 最 多 为( B ) (A)1 (B) 2 (C)3 (D)4 9 . 双曲线顶点为（ 2，1） ， （2，5） ，一渐近线方程为3x4yc = 0 ，则准线方程为 ( D ) (A)5162x(B)5162y(C)592x(D)592y10 . 与 双 曲 线xmyn22=1(mn0) 共 轭 的 双 曲 线 方 程 是( D ) (A)xmyn221 (B)xmyn221(C)xmyn221(D)xmyn221五、小结： 双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线12222byax的渐近线是xaby，但反过来此渐近线对应的双曲线则是)0( 1)()(2222kkbykax或写成2222byax六、课后作业：七、板书设计 （略）八、课后记：
