高二数学教案132《相似三角形的性质》(新人教A版选修41).pdf

2 相似三角形的性质课标解读1. 掌握相似三角形的性质2. 能利用相似三角形的性质解决有关问题. 相似三角形的性质(1) 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(2) 相似三角形周长的比等于相似比(3) 相似三角形面积的比等于相似比的平方(4) 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比(5) 相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方1怎样理解“对应线段的比等于相似比”？【提示】相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到内切圆、外接圆的半径之比也等于相似比2相似三角形与全等三角形的性质比较有何异同？【提示】全等三角形相似三角形对应高相等对应高的比等于相似比周长相等周长比等于相似比面积相等面积比等于相似比的平方外接 ( 内切 )圆的直径相等外接 ( 内切 ) 圆的直径比等于相似比外接 ( 内切 )圆的周长相等外接 ( 内切 ) 圆的周长比等于相似比外接 ( 内切 )圆的面积相等外接 ( 内切 ) 圆的面积比等于相似比的平方利用相似三角形性质计算如图 1321 所示，已知D是ABC中AB边上一点，DEBC且交AC于E，EFAB且交BC于F，且SADE1，SEFC4，则四边形BFED的面积等于多少？图 1321 【思路探究】利用S四边形BFEDSABCSADESEFC得到四边形BFED的面积【自主解答】ABEF，DEBC，ADEABC，EFCABC，ADEEFC. 又S ADESEFC14，AEEC1 2. AEAC13. SADESABC 19. SADE1，SABC 9. S四边形 BFEDS ABCSADESEFC9144. 1本题由题意显然ADEEFC，由面积比能得出相似比，再由相似比转化为面积比，求出整个ABC的面积2利用相似三角形的性质定理进行有关的计算是近几年高考的热点之一，在求解过程中往往要注意对应边的比，进行相关运算时，要善于联想，变换比例式，构造三角形的边或面积间的关系图 1322 如图 1322，在 ?ABCD中，AEEB 23. (1) 求AEF与CDF周长的比；(2) 若SAEF8，求SCDF. 【解】(1) 四边形ABCD是平行四边形ABCD且ABCD，AEEB23，AEABAECD25，又由ABCD知AEFCDF，AEF的周长CDF的周长 25. (2) 由(1)SAEFSCDF425，又SAEF8，SCDF50. 利用相似三角形性质进行证明如图 1323 所示，在ABC中，DEBC，在AB边上取一点F，使SBFCSADE，求证：AD2ABBF. 图 1323 【思路探究】本题条件是三角形面积之间的关系，可考虑使用相似三角形的面积比等于相似比的平方及把等底边的三角形面积比转化为边长之比【自主解答】DEBC，ADEABC，SADESABC(ADAB)2，又SBFCSABCBFAB且SBFCSADE，AD2AB2BFAB. AD2ABBF. 1解答本题的关键是把BFC与ABC的面积比转化为边长之比2要证明线段相等、角相等、 比例式成立等结论，有时需化归到相似三角形中加以证明，若不存在相似三角形，可添加辅助线，构造相似三角形，最终得到结论如图 1324，在矩形ABCD中，E是DC的中点，BEAC交AC于F，过F作FGAB交AE于G. 图 1324 求证：AG2AFFC. 【证明】E为矩形ABCD的边DC的中点，AEBE. 又GFAB，EGEF，AGBF. BEAC于F，RtABFRt BCF，BFCFAFBF，BF2AFFC，AG2AFFC. 相似三角形判定和性质定理的综合应用图 1325 如图 1325，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 米和 30 米，它们之间的距离为30 米，小张身高为1.6 米，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？【思路探究】解答本题的关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题【自主解答】如图，设小张与教学楼的距离至少应有x米，才能看到水塔连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FGCD于G，交AB于H，则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形ABCD，AFHDFG. AHDGFHFG. 即(20 1.6) (30 1.6) x (x30) 解得x55.2. 经检验x 55.2 是所列方程的根故小张与教学楼的距离至少应有55.2 米，才能看到水塔1解答本题的关键是画出图形，添加辅助线构造相似三角形2此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意转化成数学问题，构造相似三角形求解3解决相似三角形的综合问题应注意以下两点(1) 结合相似三角形的判定定理和性质定理，寻求三角形中的数量关系(2) 注意“辅助线”的添加和定理公式的选择如图 1326，ABC是一块锐角三角形余料，边BC200 mm ，高AD300 mm ，要把它加工成长是宽的2 倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长【解】设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为x mm. EHBC，AEHABC，APADEHBC，3002x300 x200，解得：x6007 (mm) ，2x12007(mm)答：加工成的矩形零件的边长分别为6007mm和12007mm. ( 教材第 20 页习题 1.3 第 10 题) 如图 13 27，平行四边形ABCD中，AEEB 12，求AEF与CDF的周长比如果AEF的面积等于6cm2，求CDF的面积图 1327 (2013陕西高考) 如图 1328，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知AC，PD 2DA2，则PE_. 图 1328 【命题意图】本题主要考查相似三角形的判定与性质【解析】因为PEBC，所以CPED. 又因为CA，所以APED.又PP，所以PDEPEA，则PDPEPEPA，即PE2PDPA23 6，故PE6. 【答案】6 1已知ABCABC，且SABCSA BC 14，BC2，则BC等于 ( ) A2 B 4 C8 D16 【解析】SABCSA BC (BCBC)214，BCBC12，又BC 2，BC 2BC4. 【答案】B 2已知ABCABC，ABAB23，ABC外接圆的直径为4，则ABC外接圆的直径等于( ) A2 B 3 C6 D9 【解析】设ABC和ABC外接圆的直径分别是r，r，则rrABAB，r432，r 6. 【答案】C 3两个相似三角形对应边分别长6 cm 和 18 cm，若大三角形的面积是36 cm2，则较小三角形的面积是( )cm2. A6 B4 C18 D不确定【解析】相似比等于61813，则S小S大(13)219，S小19S大1936 4(cm2) 【答案】B 4在比例尺为1 500 的地图上，测得一块三角形土地的周长是12 cm，则这块地的实际周长是 _m. 【解析】这块地的实际形状与在地图上的形状是两个相似三角形，其相似比为1500，则实际周长为： 12500 6000 cm60 m. 【答案】60 一、选择题图 1328 1如图 1328，D、E、F是ABC的三边中点，设DEF的面积为14，ABC的周长为9，则DEF的周长与ABC的面积分别是 ( ) A.92，1 B9,4 C.92，8 D.94， 16 【解析】D、E、F分别为ABC三边的中点，EF綊12BC，DE綊12AC，DF綊12AB. DFEABC，且EFBC12. lDEFlABCEFBC12. 又l ABC 9，lDEF92. 又SDEFSABCEF2BC214，SDEF14，SABC1，故选 A. 【答案】A 图 1329 2如图 1329，在 ?ABCD中，AB10，AD 6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使CBFCDE，则BF的长是 ( ) A5 B 8.2 C6.4 D 1.8 【解析】由CBFCDE，得BFDECBCD，又点E是AD的中点，ABCD10，ADBC6，DE3，即BF3610，BF1.8. 【答案】D 3某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1330 所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是( ) 图 1 330 A50 cm B 500 cm C60 cm D 600 cm 【解析】设屏幕上小树的高度为x cm，则10 x3030150，解得x60(cm) 【答案】C 图 1331 4如图 13 31，ABC中，DEBC，DE分别交AB，AC于D，E，SADE2SDCE，则SADESABC( ) A.14 B.12C.23 D.49【解析】DEBC，ADEABC，由S ADE2SDCE得，ADAB23，SADESABC49. 【答案】D 二、填空题5如图 1332，在ABC中，D为AC边上的中点，AEBC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BGGA31，BC10，则AE的长为 _图 1332 【解析】AEBC，BGFAGE，BFAEBGGA31，D为AC中点，AECFADDC1，AECF，BCAE2 1，BC10，AE5. 【答案】5 6一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔5 m 有一棵树，在河的对岸每隔50 m 有一根电线杆，在这岸离开岸边25 m 处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河的宽度为_m. 【解析】如图所示，A，B是相邻两电线杆的底部，F，G中间还有两棵树，则AB50 m，FG35 15 m，EC25 m，CDAB，ABFG，则ECCDFGAB，设河的宽度为x m，则2525x1550，解得x1753. 【答案】1753三、解答题图 1333 7如图 1333 所示，在ABC中，BCAC，点D在BC上，且DCAC，ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF. (1) 求证：EFBC；(2) 若四边形BDFE的面积为6，求ABD的面积【解】(1) 证明：CF平分ACB，DCAC，CF是ACD的边AD上的中线点F是AD的中点，又点E是AB的中点，EFBD，即EFBC. (2) EFBD，AEFABD. SAEFSABD(AEAB)2. 又AE12AB，SAEFS ABDS四边形 BDFESABD6，SABD6SABD(12)2，SABD8. 图 1334 8如图 1334，已知在ABC中，D是BC边的中点，且ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. (1) 求证：ABCFCD；(2) 若SFCD5，BC10，求DE的长【解】(1) 证明：DEBC，D是BC的中点，EBEC，B 1，又ADAC， 2ACB. ABCFCD. (2) 过点A作AMBC，垂足为点M. ABCFCD，BC2CD，SABCSFCD(BCCD)24. 又S FCD 5，SABC 20. SABC12BCAM，BC10，201210AM，AM4. 又DEAM，DEAMBDBM. DM12DC14BC52，BMBDDM，BD12BC5，DE45552. DE83. 9某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 cm、20 cm的梯形空地上种植花木(1) 他们在AMD和BMC地带上种植太阳花，单价为8 元/m2，当AMD地带种满花后( 图1335 阴影部分 ) 共花了 160 元，请计算种满BMC地带所需的费用；图 1335 (2) 若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12 元/m2和 10 元/m2，应选择种哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？【解】(1) 四边形ABCD是梯形，ADBC. AMDCMB. SAMDSCMB(ADBC)214. 种植AMD地带花费160 元，160820 (m2) SCMB80 (m2) BMC地带的花费为808 640(元) (2) 设AMD、BMC的高分别为h1、h2，梯形ABCD的高为h，SAMD1210h120，h14(m) 又h1h212，h28(m) hh1h212(m)S梯形 ABCD12(ADBC)h123012180 (m2) ，SAMBSDMC 180 208080 (m2) 1606408012 1 760( 元) ，1606408010 1 600( 元) 应种植茉莉花刚好用完所筹资金10在ABC中，如图所示，BCm，DEBC，DE分别交AB，AC于E，D两点，且SADES四边形 BCDE，则DE_. 【解析】DEBCADEACB又S ADES四边形 BCDES ABC；SADES四边形 BCDE，SADE12SABC，(DEBC)212， (DEm)212DE22m. 【答案】22m