高二数学教案212第1课时《椭圆的简单几何性质》(新人教A版选修11).pdf
2.1.2 椭圆的简单几何性质第 1 课时椭圆的简单几何性质( 教师用书独具) 三维目标1. 知识与技能掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系2过程与方法能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题3情感、态度与价值观从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美重点、难点重点：由标准方程分析出椭圆几何性质难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好让学生自主探索新知，重难点之处进行反复分析，及时巩固( 教师用书独具) 教学建议根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价教学流程创设问题情境，引出问题：椭圆有哪些简单几何性质？?引导学生结合椭圆的图形，观察、比较、分析，导出焦点在x轴上的椭圆的简单几何性质.?引导学生类比导出焦点在y轴上椭圆的简单几何性质.?通过例 1及其互动探究，使学生掌握已知椭圆方程求几何性质的方法.?通过例 2及其变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其标准方程的方法.?探究离心率对椭圆形状的影响及求解方法，完成例3及其变式训练，从而解决如何求离心率问题.?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.( 对应学生用书第22 页 ) 课标解读1. 掌握椭圆的简单几何性质及应用( 难点 ) 2掌握椭圆离心率的求法及a，b，c的几何意义( 难点 ) 3理解长轴长、 短轴长、 焦距与长半轴长、短半轴长、 半焦距的概念 ( 易混点 ) 椭圆的简单几何性质【问题导思】已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x225y216 1，C2：y225x2161. 1椭圆C1的焦点在哪个坐标轴上，a、b、c分别是多少？椭圆C2呢？【提示】C1：焦点在x轴上，a5，b4，c3，C2：焦点在y轴上，a5，b4，c3. 2怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？【提示】对于方程C1：令x0，得y4，即椭圆与y轴的交点为 (0,4)与(0 ， 4)；令y0 得x5，即椭圆与x轴的交点为 (5,0) 与( 5,0) 同理得C2与y轴的交点 (0,5) ，(0 ， 5) ，与x轴的交点 (4,0)(4,0). 焦点的焦点在x轴上焦点在y轴上位置续表焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上顶点A1( a,0) ，A2(a,0) B1(0，b) ，B2(0 ，b) A1(0 ，a) ，A2(0 ，a) B1( b,0)，B2(b,0) 轴长短轴长 2b，长轴长 2a焦点F1( c,0) ，F2(c,0)F1(0 ，c) ，F2(0 ，c) 焦距|F1F2| 2c对称性对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0) 离心率eca椭圆的离心率【问题导思】观察不同的椭圆，其扁平程度各不一样，如何刻画椭圆的扁平程度呢？【提示】利用椭圆的离心率1定义椭圆的焦距与长轴长的比eca，叫做椭圆的离心率2性质离心率e的范围是 (0,1) 当e越接近于1，椭圆越扁，当e越接近于0，椭圆就越接近于圆( 对应学生用书第23 页 ) 由椭圆方程研究几何性质已知椭圆16x29y2 1，求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距和离心率【思路探究】(1) 所给椭圆方程是标准形式吗？(2) 怎样由椭圆的标准方程求得a、b、c的值进而写出其几何性质中的基本量？【自主解答】将椭圆方程化为x2116y2191，则a219，b2116，椭圆焦点在y轴上，c2a2b2191167144，所以顶点坐标为(0 ，13) ，( 14，0) ，焦点坐标为(0 ，712) ，长轴长为23，短轴长为12，焦距为76，离心率为74. 1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型2焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2b2c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标同时要注意长轴长、短轴长，焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍本例中，若把椭圆方程改为“25x216y2400”，试求其长轴长、短轴长、离心率、焦点与顶点坐标【解】将方程变形为y225x2161，得a5，b4，所以c3. 故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a10 和 2b8，离心率eca35，焦点坐标为F1(0， 3) ，F2(0,3) ，顶点坐标为A1(0， 5) ，A2(0,5) ，B1( 4,0) ，B2(4,0). 由椭圆的几何性质求其标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1) 长轴长是短轴长的2 倍，且过点 (2 ， 6) ；(2) 过(3,0) 点，离心率e63. 【思路探究】(1) 椭圆的焦点位置确定了吗？(2) 你将怎样求得a2、b2并写出标准方程？【自主解答】(1) 由题意知2a4b，a2b. 设椭圆标准方程为x2a2y2b21 或y2a2x2b21，代入点 (2 ， 6) 得，4a236b21 或36a24b21，将a2b代入得，a2148，b237 或a252，b213，故所求的椭圆标准方程为x2148y2371 或y252x2131. (2) 当椭圆焦点在x轴上时，有a 3，ca63，c6，b2a2c2963，椭圆的标准方程为x29y231；当椭圆焦点在y轴上时，b3，ca63，a2b2a63，a227，椭圆的标准方程为x29y2271. 故所求椭圆标准方程为x29y2271 或x29y231. 求标准方程的常用方法是待定系数法，基本思路是“先定位、再定量”1定位即确定椭圆焦点的位置，若不能确定，应分类讨论2定量即通过已知条件构建关系式，用解方程( 组) 的方法求a2、b2. 其中a2b2c2，eca是重要关系式，应牢记分别求适合下列条件的椭圆的标准方程(1) 长轴长是6，离心率是23；(2) 在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解】(1) 设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0) 或y2a2x2b21(ab 0)由已知得2a6，a3.eca23，c2. b2a2c2945. 椭圆的标准方程为x29y251 或x25y291. (2) 设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)如图所示，B1FB2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线 ( 高) ，且 |OF| c，|B1B2|2b，cb 3，a2b2c218，故所求椭圆的标准方程为x218y291. 求椭圆的离心率(1) 已知椭圆的焦距与短轴长相等，求其离心率(2) 若一个椭圆长轴长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率【思路探究】(1) 由焦距与短轴长相等，你能得出a、b、c的关系吗？可以用离心率公式求离心率吗？(2) 由题意得2bac，如何使用这一关系式求e?【自主解答】(1) 由题意得：bc，e2c2a2c2b2c2c22c212. e22. (2) 椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列，2bac， 4b2(ac)2. 又a2b2c2， 4(a2c2) a22acc2，即 3a22ac5c2 0，(ac)(3a 5c) 0. ac0， 3a5c0， 3a5c，eca35. 求椭圆离心率的常用方法：1直接法：求出a、c后用公式eca求解；或求出a、b后，用公式e1b2a2求解2转化法：将条件转化为关于a、b、c的关系式，用b2a2c2消去b，构造关于ca的方程来求解(1) 求椭圆x216y28 1 的离心率(2) 已知椭圆的两个焦点F1、F2，点A为椭圆上一点，且AF1AF20，AF2F160，求椭圆的离心率【解】(1)e1b2a218161222. (2) 设F1F22c，由题意知， AF1F2中，A90， AF2F160， |AF1| 3c，|AF2|c. |AF1| |AF2| 3cc 2a，即(31)c2a，eca23131. ( 对应学生用书第25 页 ) 混淆长轴长与长半轴长、短轴长与短半轴长的概念致误求椭圆 25x2y2 25 的长轴长和短轴长【错解】将方程化为标准方程得：x2y2251，a5，b1，长轴长是5，短轴长是1. 【错因分析】错解中将长半轴长、短半轴长与长轴长、短轴长混淆了，从而导致错误【防范措施】根据定义，长轴长为2a，短轴长为2b，往往与长半轴长a、短半轴长b混淆，解题时要特别注意【正解】将已知方程化成标准方程为x2y2251. a5，b1， 2a10,2b2. 故长轴长为10，短轴长为2. 1通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程2椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率可以从关于a、b、c的一个方程求得，也可以用公式求得( 对应学生用书第25 页 ) 1椭圆 6x2y26 的长轴的顶点坐标是( ) A( 1,0) 、(1,0) B( 6,0) 、(6,0) C( 6，0) 、(6， 0) D(0 ，6) 、(0 ，6) 【解析】椭圆的标准方程为x2y261， 焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0 ， 6) 【答案】D 2椭圆x24y21 的离心率为 ( ) A.32B.34C.22D.23【解析】椭圆方程可化为x2y2141，a21，b214，c234，e2c2a234，e32. 【答案】A 3若焦点在x轴上的椭圆x22y2m1 的离心率为12，则m等于 ( ) A.3B.32C.83D.23【解析】椭圆焦点在x轴上，0m 2，a2，c2m，eca2m212. 故2m214，m32. 【答案】B 4已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为45，一个焦点是(0,4) ，求此椭圆的标准方程【解】由题意：c4，e45，a5，b2a2c29. 又椭圆的焦点在y轴上，其标准方程为y225x291. 一、选择题1(2013济南高二检测) 若椭圆的长轴长为10，焦距为6，则椭圆的标准方程为( ) A.x2100y2361 B.x225y2161 C.x2100y2641 或y2100 x264 1 D.x225y2161 或y225x2161 【解析】由题意 2a10,2c6，a5，b216，且焦点位置不确定，故应选D. 【答案】D 2椭圆x225y291 与椭圆x2a2y291 有( ) A相同短轴B相同长轴C相同离心率D以上都不对【解析】由于椭圆x2a2y291 中，焦点的位置不确定，故无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系【答案】D 3曲线x225y291 与x29ky225k1(0k9)的关系是 ( ) A有相等的焦距，相同的焦点B有相等的焦距，不同的焦点C有不等的焦距，不同的焦点D以上都不对【解析】曲线x225y291 焦距为 2c8，而曲线x29ky225k(10 k9)表示的椭圆的焦距也是 8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B. 【答案】B 4 过椭圆x2a2y2b21(ab0) 左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点， 若F1PF260，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.33C.12 D.13【解析】RtPF1F2中， |F1F2| 2c，F1PF260，|PF1| 2c3， |PF2| 4c3， |PF1| |PF2| 6c32a，a3c. eca1333. 【答案】B 5设AB是椭圆x2a2y2b21(ab0) 的长轴，若把线段AB分为 100 等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A| |F1P1|F1P2| |F1P99| |F1B| 的值是 ( ) A98aB99aC100aD101a【解析】由椭圆的定义及其对称性可知，|F1P1| |F1P99| |F1P2| |F1P99| |F1F49|F1P51| |F1A| |F1B| 2a，F1P50a，故结果应为502a |F1P50| 101a. 【答案】D 二、填空题6(2013兰州高二检测) 若椭圆x2k8y291 的离心率为23，则k的值为 _【解析】若焦点在x轴上， 则9k81(23)259，k415；若焦点在y轴上，则k8959，k 3. 【答案】415或 3 7椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为_【解析】如图所示，AF1F2为等腰直角三角形OAOF1，即cb，又a2b2c22c2，ca22. 【答案】228一个顶点为 (0,2) ，离心率e12，坐标轴为对称轴的椭圆方程为_【解析】(1) 当椭圆焦点在x轴上时，由已知得b2，eca12，a2163，b2 4，方程为3x216y241. (2) 当椭圆焦点在y轴上时，由已知得a2，eca12，a24，b23，方程为y24x231. 【答案】3x216y241 或y24x231 三、解答题9(1) 求与椭圆x29y241 有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2) 已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是( 6,0) ， (6,0) ，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程【解】(1) c945，所求椭圆的焦点为( 5，0) ，(5，0) 设所求椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)eca55，c5，a5，b2a2c220. 所求椭圆的标准方程为x225y2201. (2) 因椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为x2a2y2b21(ab0) 2c8，c4，又a6，b2a2c220. 椭圆的标准方程为x236y2201. 10已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率【解】如图，不妨设椭圆的焦点在x轴上，ABF1F2，且ABF2为正三角形，在 RtAF1F2中，AF2F130.令|AF1| x，则 |AF2| 2x. |F1F2| |AF2|2|AF1|23x2c. 由椭圆定义，可知|AF1| |AF2| 2a. e2c2a3x3x33. 图 2 12 11如图 212 所示，在RtABC中，CAB90，AB 2，AC22，一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA| |PB| 的值不变(1) 建立适当的坐标系，求曲线E的方程；(2) 试判断该方程是否为椭圆方程，若是，请写出其长轴长、焦距、离心率【解】(1) 以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A( 1,0) ，B(1,0) ，由题设可得 |PA| |PB| |CA| |CB| 222222222. 由椭圆定义知动点P的轨迹为椭圆不妨设动点P的轨迹方程为x2a2y2b21(ab0) ，则a2，c 1，ba2c21，曲线E的方程为x22y21. (2) 由 (1) 的求解过程知曲线E的方程是椭圆方程，其长轴长为22，焦距为 2，离心率为22. ( 教师用书独具) 已知椭圆x2a2y2b21(ab0) 的左、右焦点分别为F1( c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在一点P使asin PF1F2csin PF2F1，求该椭圆的离心率的取值范围【解】在PF1F2中， 由正弦定理得|PF2|sin PF1F2|PF1|sin PF2F1， 则结合已知， 得a|PF2|c|PF1|，即|PF1| ca|PF2|. 由椭圆的定义知|PF1| |PF2| 2a，则ca|PF2| |PF2| 2a，即 |PF2| 2a2ca，由椭圆的几何性质和已知条件知|PF2| ac，则2a2caac，即c22aca2 0，所以e22e10，解得e2 1 或e21. 又e (0,1) ，故椭圆的离心率e (21,1) 椭圆M：x2a2y2b21(ab0) 的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点， 且PF1PF2的最大值的取值范围是c2,3c2 ，其中ca2b2，则椭圆M的离心率e的取值范围是( ) A14，12 B12，22 C(22，1) D12，1) 【解析】设P(x，y) ，F1( c,0) ，F2(c,0) ，则PF1 (cx，y) ，PF2(cx，y) ，PF1PF2x2y2c2. 又x2y2可看作P(x，y) 到原点的距离的平方，所以(x2y2)maxa2，所以(PF1PF2)maxb2，所以c2b2a2c23c2，即14e212，12e22. 【答案】B
