高二数学教案212第2课时《椭圆的简单几何性质》(新人教A版选修11).pdf

第 2 课时椭圆方程及性质的应用( 教师用书独具) 三维目标1. 知识与技能掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识2过程与方法通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力领悟数形结合和化归等思想3情感、态度与价值观培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣重点、难点重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键( 教师用书独具) 教学建议由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用教学流程创设问题情境，引出命题：能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？?引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系，通过比较、分析，得出判断方法代数法.?引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤，引出解题关键与注意事项.?通过例 1及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.?通过例 2及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交问题，学会求直线方程和弦长的方法.?错误 ! ? 错误 ! ? 错误 !( 对应学生用书第25 页 ) 课标解读1. 掌握椭圆的方程及其性质的应用( 重点 ) 2掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式( 难点 ) 点与椭圆的位置关系【问题导思】点与椭圆有几种位置关系？【提示】三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外设点P(x0，y0) ，椭圆x2a2y2b21(ab0)(1) 点P在椭圆上 ?x20a2y20b21；(2) 点P在椭圆内 ?x20a2y20b21；(3) 点P在椭圆外 ?x20a2y20b21. 直线与椭圆的位置关系【问题导思】1直线与椭圆有几种位置关系？【提示】三种位置关系：相离、相切、相交2我们知道，可以用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】不能3用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】代数法直线ykxm与椭圆x2a2y2b21(ab0) 的位置关系联立ykxm，x2a2y2b21，消y得一个一元二次方程位置关系解的个数 的取值相交两解 0 相切一解 0 相离无解 0 ( 对应学生用书第26 页 ) 直线与椭圆的位置关系的判定当m为何值时，直线yxm与椭圆x24y21 相交、相切、相离？【思路探究】错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 !【自主解答】联立方程组得yxm，x24y21，将代入得x24(xm)21，整理得 5x28mx4m24 0(8m)245(4m2 4)16(5 m2) 当 0，即5m5时，方程有两个不同的实数根，代入可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当0，即m5或m5时，方程有两个相等的实数根，代入可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当0，即m5或m5时，方程没有实数根，直线与椭圆相离判断直线与椭圆位置关系的步骤：试判断直线yx12与椭圆x24y22 的位置关系【解】联立方程组得yx12，x24y22，消去y，整理得5x24x10，(*) ( 4)245( 1)360，即方程 (*) 有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交直线与椭圆相交问题已知椭圆x236y291 和点P(4,2) ，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点(1) 当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度；(2) 当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程【思路探究】(1) 你能写出直线方程吗？怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度？(2) 点P与A、B的坐标之间有怎样的关系？能否用根与系数的关系求得直线的斜率？【自主解答】(1) 由已知可得直线l的方程为y212(x4) ，即y12x. 由y12x，x236y291，可得x2 180，若设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则x1x2 0，x1x2 18. 于是 |AB| x1x22y1y22x1x2214x1x2252x1x224x1x25262 310. 所以线段AB的长度为310. (2) 法一：设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4) 联立x236y291，y2kx，消去y得 (14k2)x2(32k216k)x(64k264k20) 0. 若设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则x1x232k216k14k2，由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以x1x2216k28k14k24，解得k12. 这时直线l的方程为y212(x4) ，即y12x4. 法二：设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则有x2136y219 1，x2236y229 1，两式相减得x22x2136y22y2190. 由于P(4,2) 是AB的中点，x1x28，y1y24，从而 (x2x1) 2(y2y1) 0，kABy2y1x2x112，于是直线AB，即为l的方程为y212(x 4)，即y12x 4. 1求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y( 或x) 得到关于x( 或y) 的一元二次方程， 根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解也可以直接代入弦长公式：|P1P2| 1k2x1x224x1x211k2y1y224y1y2求解2解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y后转化为关于x的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解法二：通过弦AB的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”过点P( 1,1) 的直线与椭圆x24y221 交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|. 【解】设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，由于A，B两点在椭圆上，x212y214，x22 2y224. 两式相减，得(x1x2)(x1x2) 2(y1y2)(y1y2) 0显然x1x2，故由得：kABy1y2x1x2x1x2y1y2. 又点P( 1,1) 是弦AB的中点，x1x2 2，y1y22. 把代入得：kAB12，直线AB的方程为y112(x1) ，即x2y30 由x 2y3 0，x24y221，消去y得 3x26x10，x1x2 2，x1x213，|AB| 1k2x1x224x1x2114243303. 与椭圆相关的实际应用问题图 2 13 如图 213，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 米，要求通行车辆限高4.5 米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状若最大拱高h为 6 米，则隧道设计的拱宽l是多少？【思路探究】恰当建系 设椭圆方程错误 ! 错误 ! 错误 !【自主解答】如图建立直角坐标系，则点P(11,4.5)，椭圆方程为x2a2y2b21. P(11,4.5)在椭圆上，112a24.52b21，又bh6 代入式，得a4477. 此时l2a887733.3( 米 ) 因此隧道的拱宽约为33.3 米1解答与椭圆相关的应用问题，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题2实际问题中，最后的结论不可少，一定要结合实际问题中变量的含义做出结论有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m，短轴长60 m，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？【解】分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴都对称已知椭圆的长轴长2a100 m，短轴长2b60 m，则椭圆的方程为x2502y23021. 考虑第一象限内的情况，设A(x0，y0) ，则有 1x20502y203022x20502y203022x0y01 500，当且仅当x20502y2030212，即x0252，y0152时，等号成立，此时矩形ABCD的面积S4x0y0取最大值3 000 m2. 这时矩形的周长为4(x0y0) 4(252 152) 1602 (m). ( 对应学生用书第27 页 ) 运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(12 分)(2013 本溪高二检测) 已知椭圆方程为x2a2y2b21(ab0) ，过点A( a,0) ，B(0，b) 的直线倾斜角为6，原点到该直线的距离为32. (1) 求椭圆的方程；(2) 斜率大于零的直线过D( 1,0) 与椭圆分别交于点E，F，若ED 2DF，求直线EF的方程；(3) 对于D( 1,0) ，是否存在实数k，使得直线ykx2 分别交椭圆于点P，Q，且 |DP|DQ| ，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由【思路点拨】【规范解答】(1) 由ba33，12ab1232a2b2，得a3，b 1，所以椭圆的方程是x23y21.2 分(2) 设EF：xmy 1(m0) 代入x23y21，得 (m23)y22my20. 设E(x1，y1) ，F(x2，y2) 由ED2DF，得y1 2y2， 4分由y1y2y22mm23，y1y2 2y222m23得( 2mm23)21m23，m1，m 1(舍去 ) ，直线EF的方程为xy1，即xy10.7 分(3) 记P(x1，y1)，Q(x2，y2) 将ykx2 代入x23y21，得 (3k21)x212kx9 0(*) ，x1，x2是此方程的两个相异实根设PQ的中点为M，则xMx1x226k3k21，yMkxM223k21. 由|DP| |DQ| ，得DMPQ，kDMyMxM123k216k3k2111k，3k24k10，得k1 或k13.10 分但k1，k13均不能使方程(*) 有两相异实根，满足条件的k不存在 .12 分1直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用2直线和椭圆相交时要切记0 是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分1直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x(或y) 的一元二次方程的判别式 来判定直线与椭圆相交的弦长公式：|P1P2| x1x224x1x2k2或|P1P2| y1y224y1y21k2. 2直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中重要的解题方法3解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题，弄懂题意，再把实际问题中的量化归为椭圆的性质，从而得以解决. ( 对应学生用书第28 页 ) 1下列在椭圆x24y22 1 内部的点为 ( ) A(2，1) B ( 2，1) C(2,1) D(1,1) 【解析】点(2，1) ，( 2，1) 满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1) 代入x24y22得：1412341，故点 (1,1) 在椭圆内【答案】D 2已知椭圆x2a2y2b21 有两个顶点在直线x2y2 上，则此椭圆的焦点坐标是( ) A( 3，0) B(0 ，3) C( 5，0) D(0 ，5) 【解析】直线x2y 2 过(2,0) 和 (0,1) 点，a2，b1，c3，椭圆焦点坐标为 ( 3，0) 【答案】A 3直线yx1 被椭圆x24y221 所截得线段的中点的坐标是( ) A(23，53) B(43，73) C( 23，13) D( 132，172) 【解析】联立方程yx1，x24y221，消去y得3x24x20. 设交点A(x1，y1)、B(x2，y2) ，中点M(x0，y0) x1x243，x0 x1x2223，y0 x0113，中点坐标为( 23，13) 【答案】C 4直线 2xy20 与椭圆x25y241 交于A、B两点，求弦长 |AB|. 【解】设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，联立方程2xy20，x25y241，消去y得 3x25x0，则x1x253，x1x20， |AB| 1k2ABx1x22 4x1x22253240553. 一、选择题1点A(a,1)在椭圆x24y221 的内部，则a的取值范围是 ( ) A2a2 Ba2或a2 C 2a2 D 1a 1 【解析】点A(a,1) 在椭圆x24y221 内部，a24121. a2412. 则a22，2a2. 【答案】A 2已知直线ykx1 和椭圆x22y21 有公共点，则k的取值范围是( ) Ak22或k22B22k22Ck22或k22D22k22【解析】由ykx1，x22y21，得 (2k21)x24kx1 0. 直线与椭圆有公共点16k24(2k21)0，则k22或k22. 【答案】C 3直线l交椭圆x216y2121 于A，B两点，AB的中点为M(2,1) ，则l的方程为 ( ) A2x3y10 B3x2y 40 C2x3y70 D3x2y 80 【解析】根据点差法求出kAB32，l的方程为：y 132(x2) 化简得 3x2y80. 【答案】D 4若直线mxny4 和O：x2y24 没有交点，则过点P(m，n) 的直线与椭圆x29y241 的交点个数为( ) A2 个B至多一个C1 个D0 个【解析】若直线与圆没有交点，则d4m2n22，m2n24，即m2n241. m29n241，点 (m，n) 在椭圆的内部，故直线与椭圆有2 个交点【答案】A 5椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为 2c(ac 0)，静放在点A的小球 ( 小球的半径不计) ，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是( ) A2(ac) B2(ac) C4aD以上答案均有可能【解析】如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 2(ac) ；当小球沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 2(ac) ；当是其他情况时，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 4a. 【答案】D 二、填空题6(2013济宁高二检测)已知以F1(2,0) ，F2(2,0) 为焦点的椭圆与直线x3y40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为_【解析】设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)与直线方程联立消去x得 (a23b2)y283b2y16b2a2b20，由 0 及c2 得a27， 2a27. 【答案】27 7(2013合肥高二检测) 以等腰直角三角形ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_【解析】当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有bc，此时可求得离心率ecacb2c2c2c22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m，故有 2cm,2a(1 2)m，所以离心率eca2c2am2m21. 【答案】21 或228 (2013石家庄高二检测) 过椭圆x25y24 1 的右焦点作一条斜率为2 的直线与椭圆交于A、B两点，O为原点，则OAB的面积为 _【解析】直线方程为y2x 2，与椭圆方程x25y241 联立， 可以解得A(0 ，2) ，B(53，43) ，S12|OF| |yAyB| 53( 也可以用设而不求的方法求弦长|AB| ，再求出点O到AB的距离，进而求出AOB的面积 ) 【答案】53三、解答题9已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(1,0) 和(1,0)(1) 求这个椭圆的标准方程；(2) 如果直线yxm与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围【解】(1) 2b23，c1，b3，a2b2c24. 故所求椭圆的标准方程为x24y231. (2) 联立方程组yxm，x24y231，消去y并整理得7x28mx4m2120. 若直线yxm与椭圆x24y23 1 有两个不同的交点，则有 (8m)228(4m212) 0，即m27，解得7m7. 即m的取值范围是( 7，7) 10 椭圆ax2by21 与直线xy10 相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB| 22，OC的斜率为22，求椭圆的方程【解】由ax2by2 1，xy1，得(ab)x22bxb10. 设A(x1，y1) 、B(x2，y2) ，则|AB| k2x1x2224b2abbab2. |AB| 22，ababab 1. 设C(x，y) ，则xx1x22bab，y1xaab，OC的斜率为22，ab22. 代入，得a13，b23. 椭圆方程为x2323y21. 图 2 14 11 (2013亳州高二检测) 如图 2 14 所示，已知椭圆x2a2y2b21(ab0) 过点 (1，22) ，离心率为22，左、右焦点分别为F1、F2. 点P为直线l：xy2 上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2. 证明：1k13k2 2. 【解】因为椭圆过点 (1 ，22) ，e22，所以1a212b21，ca22，又a2b2c2，所以a2，b1，c 1，故所求椭圆方程为x22y21. (2) 证明：设点P(x0，y0)，则k1y0 x01，k2y0 x01，因为点P不在x轴上，所以y00，又x0y0 2，所以1k13k2x01y0 x0y042x0y02y0y0 2. ( 教师用书独具) (2012北京高考) 已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0) 的一个顶点为A(2,0) ，离心率为22. 直线yk(x1) 与椭圆C交于不同的两点M，N. (1) 求椭圆C的方程；(2) 当AMN的面积为103时，求k的值【解】(1) 由题意得a2，ca22，a2b2c2，解得b2. 所以椭圆C的方程为x24y221. (2) 由ykx，x24y22 1得(1 2k2)x2 4k2x2k240. 设点M，N的坐标分别为 (x1，y1) ，(x2，y2) ，则y1k(x11) ，y2k(x21)，x1x24k212k2，x1x22k2412k2. 所以 |MN| x2x12y2y12k2x1x224x1x2 2k26k212k2. 又因为点A(2,0) 到直线yk(x1) 的距离d|k|1k2，所以AMN的面积为S12|MN| d|k|46k21 2k2. 由|k|4 6k212k2103，解得k1.(2013济南高二检测) 设F1、F2分别为椭圆C：x2a2y2b21(ab 0) 的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为23. (1) 求椭圆C的焦距；(2) 如果AF22F2B，求椭圆C的方程【解】(1) 设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离3c23，故c 2. 所以椭圆C的焦距为4. (2) 设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，由题意知y1 0，y20. 直线l的方程为y3(x2)联立y3x，x2a2y2b21，得(3a2b2)y243b2y3b4 0. 解得y13b22a3a2b2，y23b22a3a2b2. 因为AF22F2B，所以y1 2y2. 则3b22a3a2b223b22a3a2b2. 解得a3. 又b2a2c2945. b5. 故椭圆C的方程为x29y251.