余弦定理及其应用ppt课件.ppt
1复习回顾正弦定理：CcBbAasinsinsinR2可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。CRcBRbARasin2,sin2,sin2变型：CBAcbasin:sin:sin:2问题： 隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。已知：AB、 AC、角(两条边、一个夹角)3余弦定理及其应用4CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2 a2+b2c2 a2+b2 直角三角形中的边直角三角形中的边a a、 b b不变，角不变，角C C进行变动进行变动勾股定理仍成立吗？勾股定理仍成立吗？c2 = a2+b25 c=AcbCBa AB c2= AB 2= AB AB AB= AC+ CB AB AB= (AC+ CB) (AC+ CB)6bAacCB证明：以证明：以CB所在的直线为所在的直线为x轴，过轴，过C点点垂直于垂直于CB的直线为的直线为y轴，建立如图所轴，建立如图所示的坐标系，则示的坐标系，则A、B、C三点的坐标三点的坐标分别为：分别为：( cos, sin)A bC bC222222c = a +b -2abcosCc = a +b -2abcosCxy( ,0)B a(0,0)C解析法解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos2227ABCabcD当角当角C为锐角时为锐角时几何法几何法bAacCBD当角当角C为钝角时为钝角时CBAabc 余弦定理作为勾股定理余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。理来证明余弦定理。8证明：在三角形证明：在三角形ABC中，已知中，已知AB=c,AC=b和和BC=a, 作作CDAB，则，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba222CDBDa22( sin )(cos )bAc bA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：同理有：2222cosacBacb2222cosabCcab 当然，对于钝角三角形来说，证明当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后类似，课后 自己完成。自己完成。D9由此可得：余弦定理Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍应用：已知两边和一个夹角，求第三边10 隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。已测的：千米，A 千米角求山脚的长度解：AACABACABBCcos|2|22247212312)23(12227 BC23112 22 22 2- -c c = =a a + +b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2- -a a = =b b + +c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2- -b b = =a a + +c c2 2a ac cc co os sB B已知已知a a、b b、c c（三边），可以求什么？（三边），可以求什么？bcacbA2cos222acbcaB2cos222222090cbaA 222090cbaA 222090cbaA 剖剖 析析 定定 理理abcbaC2cos22212剖剖 析析 定定 理理能否把式子 转化为角的关系式？Abccbacos2222 分析分析：ARasin2: 得得RCcBbAa2sinsinsin: 由由正正弦弦定定理理BRbsin2 CRcsin2 :cos2222并并化化简简得得代代入入Abccba ACBCBAcossinsin2sinsinsin222 202000:sin 70sin 50sin70 sin50. 练练习习 求求的的值值2020000:sin 70sin 502sin70 sin50 cos60 解解 原原式式20sin 60 34 13（1）已知三边求三个）已知三边求三个角；角；2 22 22 2b b+ + c ca ac c o o s s A A = =- -2 2 b b c c2 22 22 2a a+ + c cb bc c o o s s B B = =- -2 2 a a c c2 22 22 2a a+ + b bc cc c o o s s C C = =- -2 2 a a b b余弦定理在解三角形中的作用是什么？余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它）已知两边和它们的夹角，求第三们的夹角，求第三边和其他两个角边和其他两个角.2 22 22 2- -c c = =a a + +b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2- -a a = =b b + +c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2- -b b = =a a + +c c2 2a ac cc co os sB B剖剖 析析 定定 理理14例1、在ABC中，已知 求角A、。13, 2,6cba例、在ABC中，已知求b及OBca45,26, 32例、在ABC中，那么是（）222cba、钝角、直角、锐角、不能确定那 呢?222cba15提炼：设a是最长的边，则ABC是钝角三角形222cbaABC是锐角三角形222cbaABC是直角三角形222cba例4、 ABC中， 求B，并判断ABC的形状。2,7, 3cba16:问题正弦定理可解决的几类;,) 1 (解三角形已知两角和任一边.,)2(解三角形角已知两边和其中一边对:问题余弦定理可解决的几类;,) 1 (解三角形已知两边和它们的夹角.,)2(解三角形已知三边AAS,ASASSA?SSSSAS17小结： 余弦定理Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222bcacbA2cos222acbacB2cos222abcbaC2cos222应用：、已知两条边和一个夹角，求第三条边。、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。181920作业：1,P10 习题3(2),习题4(1)2,补充:在三角形ABC中,已知3,试卷半张cCABba及、求,45,2, 3
