沪教版高中数学高二下册：11.4点到直线的距离 教案.docx

课题：点到直线的距离教学目标： 1、理解点到直线距离的概念；2、经历点到直线距离公式的推导过程，体会解析几何中方法的重要性；3、能运用点到直线距离公式解决有关问题。教学重点：点到直线距离公式的推导，解析几何中方法选择。教学难点： 点到直线距离公式推导。解析几何思想方法渗透。教学过程：一、问题的提出：已知直线的方程是不同时为0）和直线外一点，求点P到直线的距离。点到直线的距离即是过已知点向直线作垂线，夹在已知点与垂足之间的垂线段的长，也可以理解成已知点与直线上点之间距离的最小值。二、方案设定与问题解决：方案一：由直线的方程是，知直线的法向量，所以过点与直线垂直的直线的法向量为，则直线的方程为设直线与的交点为，则坐标满足， 解此方程组得：，由两点间距离公式：。所以得，点到直线的距离为：。方案二：利用函数思想与两点间距离公式：因为点到直线的距离是直线外点与直线上点连线之间距离的最小值，设直线上任一点的坐标为，则，（不妨设，则，由两点间距离公式：由二次函数的性质，当时，的最小值为。QRO方案三：（构造直角三角形）如图：不妨直线与坐标轴不平行，点在直线上的射影为，过作轴的平行线交直线于点，则，又点坐标，所以，由斜率公式知，所以，所以，即点到直线的距离。当直线与坐标轴平行时，此式仍成立。方案四：向量法：O如图：设点在直线上的射影为，则即为点到直线的距离。直线的法向量，。若与同向，则与夹角为0，此时。若与反向，则与夹角为，此时。则。因为点在直线上，所以，即有：，代入得：，所以点到直线距离为：。此方法的技巧性强，综合运用了向量的有关知识。方案五：投影法：（示意图）设是直线上的任意一点，到直线的距离是向量在直线上投影的绝对值。的法向量，所以，因为，且，所以，即。说明：从以上几种推导方法上可发看出，解几中的思路好寻，但简单方法难找，讲解中前四种思路可以作介绍，方案五作为重点。三、点到直线距离公式的应用：例1：求点到直线的距离。解：由点到直线的距离公式，得点到直线的距离所以，点到直线的距离为。例2：已知的三个顶点的坐标分别为，求：（1）边上的高；（2）的面积；（3）的角平分线所在直线的方程。解：（1）所在直线的方程为，到直线的距离即为边上的高，所以。（2），所以。或利用行列式：。ABCO（3）方法一：因为，设的平分线所在直线的斜率为，根据夹角公式得：解之得：或。又，所以，即所求的直线方程为。方法二：因为角平分线上点到角的两边的距离相等，利用轨迹方法：设角平分线上任意一点为，则由，得直线AB的方程：，由得直线AC的方程。所以，化简得：或。又的平分线与线段相交，直线的方程为：，直线与直线的交点在线段上，所以所求的直线方程为。方法三：设角平分线与线段交于点，则到角两边距离相等。又方程：，方程：，所以有。即，又D在BC上，线段BC方程，则。由解得：，或（舍去），所以所求直线方程为。方法四：根据角平分线的性质，设的平分线与边BC交于点D，则，因为，即。所以，由定比分点知，分成定比，根据定比分点公式：，所以，则方程为。即的平分线所在直线的方程为。 方法五：，的单位向量，的单位向量，则是平分线的一个方向向量，所平分线的斜率，知的平分线所在直线的方程为。说明：从第（3）小题的几种方法对比更能体现解析几何的本质特征：“思路自然，方法难寻”。例3：设集合是由满足下列条件的直线形成的集合：与直线相交，且以交点的横坐标为斜率。（1）点到集合中哪条直线的距离最小？（2）设，点到中的直线距离的最小值为，求的表达式。解：（1）设直线与直线的交点的横坐标为，则交点坐标为，则直线的方程为，即，点到直线的距离，当，即时，等号成立，所以点到集合中的距离最小。（2）点到中的直线距离。设，则，。记。当，即时，在上是增函数，所以的最小值为，即，此时；当，即时，在上递减，在上递增。若，即，则在上是增函数，所以的最小值为，即，此时；若，即，则，当时等号成立。此时。综上知：。四、练习与巩固：1、求点到直线的距离：（1）； （2）；（3）； （4）。2、已知的三个顶点的坐标分别为，求的边上的高。3、已知点到直线的距离为，求的值。4、已知点，求过点且与坐标原点距离最大的直线的方程。5、已知和直线。求一点，使且到的距离等于。6、已知的顶点，在直线上。若的面积，求点的坐标。7、已知。（1）若直线过中点，且到的距离都等于，求直线的方程；（2）若到的距离都等于，求直线的方程；（3*）若两点到直线的距离是，问满足条件的直线有几条？点到直线的距离 第7页