向量的内积与正交化ppt课件.ppt
采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 一一 向量的内积向量的内积 定义定义1 设设n维向量维向量 x (x1 x2 xn)T y (y1 y2 yn)T 令令(x y) x1y1 x2y2 xn yn(x y)称为向量称为向量x与与y的的内积内积 说明说明 1.内积是两个向量之间的一种运算内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数其结果是一个实数. 用矩阵记号表示为：用矩阵记号表示为： (x y) xTy =x1y1 x2y2 xnyn 2. n( n4)维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积的推广，但没维向量数量积的推广，但没有直观的几何意义有直观的几何意义 3 4向量的内积与正交化向量的内积与正交化采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 内积的性质内积的性质 设设x y z为为n维向量维向量 为实数为实数 则则 (1) (x y) (y x) (2) ( x y) (x y) (3) (x y z) (x z) (y z) (4) (x,x) 0,当且仅当当且仅当x 0时时 (x x) 0. (5) (x y)2 (x x)(y y) 施瓦茨不等式施瓦茨不等式 (5)的证明：的证明： 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 定义定义2 令令 |x|称为称为n维向量维向量x的的模模 (或或长度长度,范数范数) 向量的长度的性质向量的长度的性质 设设x y为为n维向量维向量 为实数为实数 则则 (1)非负性非负性 当当x 0时时 |x| 0 当当x 0时时 |x| 0 (2)齐次性齐次性 | x| | |x| (3)三角不等式三角不等式 |x y| |x| |y| 特别特别,当当|x| 1时时 称称x为为单位向量单位向量 当当 时，称时，称 为为 x的的单位化向量单位化向量.x01|xx22212( , )Tnxxxxx xx x采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物称为称为n维向量维向量x与与y的的夹角夹角 定义定义3 当当x 0 y 0时时 当当(x y) 0时时 称向量称向量x与与y正交正交 显然显然 若若x 0 则则x与任何向量都正交与任何向量都正交 .1 , 5 , 1 , 33 , 2 , 2 , 1的的夹夹角角与与求求向向量量 例例解解 cos2262318 .4 0 x y| x | | y|( ,)arccos,采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 二二 向量组的正交化向量组的正交化 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为为正交向量组正交向量组 例如例如 向量组向量组 0021211e 0021212e 2121003e 2121004e 是是R4的一个正交向量组的一个正交向量组 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 定理定理 若若n维向量维向量a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量是一组两两正交的非零向量 则则a1 a2 ar线性无关线性无关 设有设有 1 2 r 使使 1a1 2a2 rar 0 以以a1T左乘上式两端左乘上式两端 得得 1a1Ta1 0 因因a1 0 故故a1Ta1 |a1|2 0 从而从而 1 0 类似可证类似可证 2 3 r 0 因此因此 向量组向量组a1 a2 ar线性无关线性无关 证明证明 设向量组设向量组a1 a2 ar线性无关线性无关 要找一组两两正交的单位要找一组两两正交的单位向量向量e1 e2 er 使使e1 e2 er 与与a1 a2 ar等价等价 , 这个过这个过程称为把向量组程称为把向量组a1 a2 ar 规范正交化规范正交化 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 施密特正交化方法施密特正交化方法 设向量组设向量组a1 a2 ar线性无关线性无关 取向量组取向量组 容易验证容易验证b1 b2 br两两正交两两正交 且且b1 b2 br与与a1 a2 ar等价等价 把把b1 b2 br单位化单位化 即得一个规范正交向量组即得一个规范正交向量组111|1bbe 222|1bbe rrrbbe|1 11ab 1222111( , )( , )bababbb 121121112211( , )(, )(, ) ( , )(, )(, )rrrrrrrrrbababababbbbbbbbb 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 例例1 设设a1 (1 2 1)T a2 ( 1 3 1)T a3 (4 1 0)T 试用施试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化密特正交化过程把这组向量规范正交化 解解 令令b1 a1 再令再令 e1 e2 e3即为所求即为所求 12161|111bbe1113512164131 , ,1112122bbbabab 10121113512131014 , , , ,22221113133bbbabbbbabab 12161|111bbe12161|111bbe11131|222bbe11131|222bbe10121|333bbe11131|222bbe10121|333bbe10121|333bbe 132333121122( ,)(,)( ,)(,)babababbbbbb 1222111( , )( , )bababbb 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 三三 正交矩阵正交矩阵 如果如果n阶矩阵阶矩阵A满足满足ATA I (即即A 1 AT) 那么称那么称A为为正交矩阵正交矩阵 ， 简称简称正交阵正交阵 定理定理：方阵：方阵A为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是A的列的列(行行)向量都是向量都是 单位向量单位向量 且两两正交且两两正交 证明：证明： TA AInnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212222111211212221212111I 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 ,TTnTnI 1212111122221212TTTnTTTnTTTnnnnInjijijiijjTi, 2 , 1, 0;, 1当当采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 正交矩阵举例正交矩阵举例 2121000021212121212121212121P 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 正交矩阵的性质正交矩阵的性质 (1)若若A为正交阵为正交阵 则则A 1 AT也是正交阵也是正交阵 且且|A|1 (2)若若A和和B都是正交阵都是正交阵 则则AB也正交阵也正交阵 正交变换正交变换 若若P为正交矩阵为正交矩阵 则线性变换则线性变换y Px称为称为正交变换正交变换 设设y Px为正交变换为正交变换 则有则有 |xxxxxyyyTTTTPP 特点特点： 经正交变换线段的长度保持不变，经正交变换线段的长度保持不变， (从而三角形的形状保持不变从而三角形的形状保持不变)。
