平稳随机过程的功率谱密度ppt课件.ppt
采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物平稳随机过程的功率谱密度一、平稳过程的功率谱密度一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度的性质二、谱密度的性质 三、互谱密度及其性质三、互谱密度及其性质 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物假如假如 x( t ) 满足狄利克雷满足狄利克雷 (Dirichlet) 条件条件, ,且且绝对可积绝对可积, , 即即 ,d)( ttx那么那么 x(t) 的傅里叶的傅里叶变换存在或者说具有频谱变换存在或者说具有频谱.de )()(ittxFtx 且同时有傅里叶逆变换且同时有傅里叶逆变换.de )(21)(i txFtx一、平稳过程的功率谱密度,),( ttx设有时间函数设有时间函数一般是复数量一般是复数量, , 其共轭函数其共轭函数)()(* xxFF1. 平均功率和能量谱密度平均功率和能量谱密度采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物)Parseval()()(之之间间成成立立有有帕帕塞塞瓦瓦尔尔和和在在 xFtx等式等式: :,d)(21d)(22 xFttx上上的的总总能能量量在在),()( tx称为称为x(t)的能量谱密度的能量谱密度帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式. .平均功率平均功率),()(d)(21lim2 在在称称为为txttxTTTT上的平均功率上的平均功率. .采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物平均功率的谱表示式平均功率的谱表示式 由给定的由给定的 x( t ) 构造一个截尾函数构造一个截尾函数 .0,),()(TtTttxtxT绝对可积绝对可积的傅里叶变换为的傅里叶变换为)(txT TTttTxttxttxTFde )(de )(),(ii 它的帕塞瓦尔等式它的帕塞瓦尔等式 .d),(21d)(22 TFttxxT采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物变形得变形得 .d),(21d)(2122 TFttxTxTT.d),(21lim21d)(21lim22 TFTttxTxTTTT 上上的的平平均均功功率率在在),()( tx称为称为 x( t ) 的平均功率谱密度的平均功率谱密度2. 平稳过程的平均功率和能量谱密度平稳过程的平均功率和能量谱密度定义为平稳过程定义为平稳过程将将 TTTttXTEd)(21lim2.)(的的平平均均功功率率tX采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物交换定义式中积分与均值的运算顺序交换定义式中积分与均值的运算顺序, , 并注意并注意到平稳过程的均方值是常数到平稳过程的均方值是常数, , 于是于是 TTTttXTEd)(21lim2 TTxTttXET22d)(21lim 平稳过程的平均功率平稳过程的平均功率该过程的该过程的均方值均方值.d),(21lim2122 TFETXTX 平稳过程平稳过程 X(t) 的功率谱密度的功率谱密度, ,. )()( XXXSS或或记记为为采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物.),(21lim)(2TFETSXTX 即即 d)(212XXS称为平稳过程称为平稳过程 X( t ) 的的平均功率的谱表示式平均功率的谱表示式. .也简称为也简称为自谱密度自谱密度或或谱密度谱密度, , 它是从频率这个角度它是从频率这个角度描述描述 X( t ) 的统计规律的最主要的数字特征的统计规律的最主要的数字特征. . 物理意义物理意义: : 表示表示 X( t ) 的平均功率关于频率的分布的平均功率关于频率的分布. . 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物二、谱密度的性质 性质性质1.)(的的实实的的、非非负负的的偶偶函函数数是是 XS性质性质2.)()(是是一一傅傅里里叶叶变变换换对对和和自自相相关关函函数数 RSX,de)()(i XXRS即即.de)(21)(i XXSR它们统称为它们统称为维纳维纳- -辛钦辛钦(Wiener-Khintchine)公式公式. .采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物说明说明1. 平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下, ,维纳维纳- -辛钦公式成立辛钦公式成立. . )()(. 2 RSX和和都是偶函数都是偶函数, , 所以维纳所以维纳- -辛钦辛钦公式还可以写成如下的形式公式还可以写成如下的形式: : ,dcos)(2)( XXRS .dcos)(1)( XXSR采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物的谱表示式的谱表示式. .它揭示了从时间角度描述平稳过程它揭示了从时间角度描述平稳过程X(t)的统计规律和从频率角度描述的统计规律和从频率角度描述X(t)的统计规律之间的统计规律之间的联系的联系. . 在应用上我们可以根据实际情形选择时间域方在应用上我们可以根据实际情形选择时间域方法或等价的频率域方法去解决实际问题法或等价的频率域方法去解决实际问题. .3. 维纳维纳- -辛钦公式又称为平稳过程自相关函数辛钦公式又称为平稳过程自相关函数采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例1已知谱密度已知谱密度,9104)(242 XS求平稳过程求平稳过程 X( t ) 的自相关函数和均方值的自相关函数和均方值. . 解解由公式知自相关函数由公式知自相关函数 de910421)(i242 XR .de)1)(9(421i222 利用留数定理利用留数定理, , 可算得可算得 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 处的留数之和处的留数之和在在i 3, ie)1)(1)(i 3)(i 3(4i221)(i2 XR),e5e9(4813 均方值为均方值为.247)0(2 XXR 说明说明,)(0222220222220bbaaSSmmmnnnX ., )0(0分分母母无无实实根根其其中中nmS 有理谱密度有理谱密度 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程, , 它它们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅立叶变们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅立叶变换或逆变换不存在换或逆变换不存在, , 此时如果允许谱密度和自相关此时如果允许谱密度和自相关函数含有函数含有函数函数, , 有关实际问题仍能得到圆满解决有关实际问题仍能得到圆满解决. . 在这种情况下在这种情况下, , 自相关函数为常数或正弦型函自相关函数为常数或正弦型函数的平稳过程数的平稳过程, , 其谱密度都是离散的其谱密度都是离散的. . 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物求自相关函数求自相关函数 ecos2)(212baRV所对应谱密度所对应谱密度 ).( VS解解 所要求的谱密度为所要求的谱密度为.2)()(2)(222002 baSV相应的谱密度如图所示相应的谱密度如图所示: : 0 )( vsab /220 o22a此图说明了谱密度此图说明了谱密度是如何表明噪声以是如何表明噪声以外的周期信号的外的周期信号的. . 例例2采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物白噪声白噪声均值为零而谱密度为正常数均值为零而谱密度为正常数, , 即即 )0(,)(00 SSSX 的平稳过程的平稳过程X(t) 称为白噪声过程称为白噪声过程, , 简称白噪声简称白噪声. . 其名出于白光具有均匀光谱的缘故其名出于白光具有均匀光谱的缘故. . 2. 白噪声的自相关函数白噪声的自相关函数 de )(21)(iXXSR de2 i0S).(0 S 1. 定义定义采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物是不相关的是不相关的. .(1) 白噪声也可定义为均值为零、自相关函数为白噪声也可定义为均值为零、自相关函数为 )()(,.2121tXtXtt和和时时此此过过程程在在函函数数的的随随机机过过程程 说明说明(2)白噪声是一种理想化的数学模型白噪声是一种理想化的数学模型. . 它的平均功它的平均功率是无限的率是无限的. . 白噪声在数学处理上具有简单白噪声在数学处理上具有简单、方方便优点便优点. . 如果某种噪声如果某种噪声( (或干扰或干扰) )在比实际考虑的有在比实际考虑的有用频带宽得多的范围内用频带宽得多的范围内, , 具有比较具有比较 “ “平坦平坦” ” 的谱的谱密度密度, , 那就可把它近似地当作白噪声来处理那就可把它近似地当作白噪声来处理. . 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物三、互谱密度及其性质互谱密度的定义互谱密度的定义设设 X( t ) 和和Y( t ) 是两个平稳相关的随机过程是两个平稳相关的随机过程. .称称),(),(21lim)(TFTFETSYXTXY 为平稳过程为平稳过程 X( t ) 和和 Y( t ) 的的互谱密度互谱密度. .说明说明.的实的、正的偶函数的实的、正的偶函数互谱密度不再是互谱密度不再是 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物互谱密度的性质互谱密度的性质)()()(. 1* YXXYXYSSS和和 2. 2. 在互相关函数在互相关函数)( XYR绝对可积的条件下绝对可积的条件下, , 有如有如下维纳下维纳- -辛钦公式辛钦公式 ,de)()(i XYXYRS.de)(21)(i XYXYSR,)(Re)(Re. 3的的偶偶函函数数是是和和 YXXYSS.)(Im)(Im的奇函数的奇函数是是和和 YXXYSS采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物4. 互谱密度与自谱密度之间成立有不等式互谱密度与自谱密度之间成立有不等式 ).()()(2 YXXYSSS 注意注意(1) 在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构时时, , 要运用互谱密度要运用互谱密度. . 例如例如: : ),()()(tYtXtZ 其中其中 X( t ) 和和 Y( t ) 是平稳相关的是平稳相关的. . 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 Z( t ) 的自相关函数是的自相关函数是).()()()()( YYYXXYXXZZRRRRR 根据维纳根据维纳- -辛钦公式辛钦公式, , Z( t ) 的自谱密度为的自谱密度为)()()()()( YYYXXYXXZZSSSSS ).(Re2)()( XYYYXXSSS 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物(2) 互谱密度并不象自谱密度那样具有物理意义互谱密度并不象自谱密度那样具有物理意义, ,引引入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个平稳入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性过程的相关性. .例如例如: : 对具有零均值的平稳过程对具有零均值的平稳过程 X( t ) 和和 Y( t ) , , .)()(0)(不不相相关关是是等等价价的的和和与与tYtXSXY 根据性质根据性质(2),采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物., )()()(计算它的功率谱密度计算它的功率谱密度为常数为常数其中其中的相关函数的相关函数设平稳过程设平稳过程SSRtXX 解解 de )()(iSSY.e0iSS 功率谱密度为常数的平稳过程是白噪声功率谱密度为常数的平稳过程是白噪声. .例例3采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物.,cos)()(2计计算算它它的的功功率率谱谱密密度度的的相相关关函函数数设设平平稳稳过过程程 aRtXX 解解, )ee (2)()(ii2 aaXXRR 改改写写为为将将知知，傅傅里里叶叶变变换换对对的的关关系系可可互互为为与与由由)()( XXRS,d)(e21)ee (2iii2 XaaS).()()(2aaSX 故故例例4采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物.,9104)()(242均功率均功率计算它的相关函数和平计算它的相关函数和平的功率谱密度的功率谱密度设平稳过程设平稳过程 XStX解解方法方法1,d9104e21)(242i XR:0 先考虑先考虑,091024 zz令令, i, i 3 z得零点得零点例例5采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 i ,9104eResi221)(242izzzRzX i 3,9104eRes242izzzz 3ei485ei163i),e5e9(4813 ,i , i 3点点是在上半平面的两个零是在上半平面的两个零其中其中 z采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物有有对任意的对任意的是偶函数是偶函数由于由于,)( XR)( XR).e5e9(4813 平均功率为平均功率为.247)0( XR采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物9104)(242 XS,9185118322 方法方法2 91851183)(22 FFRX 9185118322 FF).e5e9(4813
