(北师大版)数学必修四：2.3《数乘向量》ppt课件.ppt
数乘向量数乘向量复习复习1:1:向量的加法向量的加法BA如图如图, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b,b,作向量作向量a+b.a+b.bao.a+bbaABba+ba1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则: :2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则: :特点特点:首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连特点特点:共起点共起点复习复习2:向量的减法向量的减法o.BAa-b如图如图, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b,b,作向量作向量a-b.a-b.aba-bo.BAab特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减数共起点，连终点，方向指向被减数实际背景实际背景表示，试画出该向量。用秒的位移对应的向量那么在同方向上向量，一秒钟的位移对应一物体作匀速直线运动aa33,aa3在物理中位移与速度的关系：在物理中位移与速度的关系：s s= =v vt t，力与，力与加速度的关系：加速度的关系：f f=m=ma.a. 其中位移、速度，力、加速度都是向量，其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量而时间、质量都是数量讲授新课讲授新课思考题思考题1:已知向量已知向量 如何作出如何作出 和和 a, aaa( a)( a)( a)? a OAa Ba Ca NMQPa a a OC OA AB BC a a a 记记:aaa3a即即:OC3a. 同理可得同理可得:PN( a)( a)( a)3a 思考题思考题2: 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 3a a a 3a (1)向量向量 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即3a a a 3a 3a3 a . (2)向量向量 的方向与的方向与 的方向相反的方向相反, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即3a a 3a a 3a3 a . 特别地，当特别地，当 =0 =0 或或 a = 0 a = 0 时时, a = 0, a = 0(2) (2) 方向方向 当当00时时,a,a的方向与的方向与a a方向相同；方向相同； 当当00时时,a,a的方向与的方向与a a方向相反；方向相反；(1) (1) 长度长度 |a|=|a|=|a|a| 一般地，实数一般地，实数与向量与向量a a的积是一个向量，这种运的积是一个向量，这种运算叫做算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算，记作，记作aa。它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：结论:2a+2b2b(2) (2) 已知向量已知向量a,ba,b，求作向量，求作向量2(a+b)2(a+b)和和2a+2b2a+2b，并比较。，并比较。ab结论: 2a+2b=2(a+b)a+b6a3(2a)a2(a+b)2a3(2a)=6a(2+4)a=2a+4a(1) (1) 根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(2a)3(2a)和和(6a) (a(6a) (a0) )，并比较。，并比较。(a)=() a 运算律运算律: 设设a a、b b为任意向量，为任意向量，、为任意实数，则有：为任意实数，则有： (+) a=a+a (a+b)=a+b2(a+b)数乘向量的运算律：数乘向量的运算律： aa 结合律结合律 aaa 第一分配律第一分配律 baba 第二分配律第二分配律练习练习3:解解: (1) : (1) 原式原式 = = (2) (2) 原式原式 = =(3) (3) 原式原式 = =计算：计算：( (口答口答) ) (1) (-3) (1) (-3)4 a4 a (2) 3( a+b) (2) 3( a+b) 2( a-b)-a2( a-b)-a (3) (2a+3b-c) (3) (2a+3b-c) (3a-2b+c )(3a-2b+c ) (3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b= 5b= 5b (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c= -a+5b-2c= -a+5b-2c -12a -12a 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意的向量对于任意的向量 a,b a,b 以及任意实数以及任意实数 , , ,恒有恒有 (1 1a a2 2b)=b)=1 1a a2 2b b思考思考:判定定理判定定理:当当a a与与b b同方向时，有同方向时，有b=a;b=a;当当a a与与b b反方向时，有反方向时，有b=-ab=-a，所以始终有一个实数所以始终有一个实数，使，使b=ab=a。1 1、如果、如果 b=a , b=a , 那么，向量那么，向量a a与与b b是否共线？是否共线？2 2、如果非零向量、如果非零向量a a与与b b共线，那么是否有共线，那么是否有，使，使b=a b=a ？ 对于向量对于向量a(a0)a(a0)、b b，如果有一个实数，如果有一个实数，使得，使得b=a , b=a , 那么，由数乘向量的定义知：向量那么，由数乘向量的定义知：向量a a与与b b共线。共线。 若向量若向量a a与与b b共线，共线，a0a0，且向量，且向量b b的长度是的长度是a a的长的长度的度的倍，即有倍，即有|b|=|a|,|b|=|a|,且且2) b 可以是零向量吗?思考思考:1) a为什么要是非零向量?向量向量b b与与非零向量非零向量a a共线共线当且仅当有唯一当且仅当有唯一一个实一个实数数，使得，使得 b=a.b=a.a是一个非零向量，若存在一个实数是一个非零向量，若存在一个实数，使，使得得 b=a ，则向量，则向量b与非零向量与非零向量a共线共线例题例题1:AEDCB解：解： =3 AC=3 AC =3( AB+ BC )=3( AB+ BC ) AB+BC=AC AB+BC=AC =3 AB+3 BC =3 AB+3 BC又又 AE=AD+DEAE=AD+DE ACAC与与AE AE 共线共线如图，已知如图，已知AD=3ABAD=3AB、DE=3BCDE=3BC，试判断，试判断ACAC与与AEAE是否共线是否共线? ?变变：若若B B、C C分别是分别是ADAD、AEAE的三等分点，证明：的三等分点，证明：BCBCDEDE。例题例题2:解：作图如右解：作图如右OABC依图猜想依图猜想:A:A、B B、C C三点共线三点共线 A A、B B、C C三点共线三点共线. .abbb已知任意两非零向量已知任意两非零向量a a、b b，试作试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3bOA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。你能判断你能判断A A、B B、C C三点之间的位置关系吗？为什么？三点之间的位置关系吗？为什么？ba AB=OB-OAAB=OB-OA AC=2ABAC=2AB又又 AC=OC-OAAC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b =a+3b-(a+b)=2b =a+2b-(a+b)=b =a+2b-(a+b)=b又又 ABAB与与ACAC有公共点有公共点A A，APBCa例例3 ABC平面内的三点，切平面内的三点，切A与与B不重合，不重合，P是是平面内任意一点，若点平面内任意一点，若点C在在AB上，则存在实上，则存在实数数，使得，使得 PC= PA+(1- )PB小结回顾小结回顾: 二、知识应用：二、知识应用： 1.1.证明证明 向量共线；向量共线； 2.2.证明证明 三点共线三点共线: AB=BC A,B,C: AB=BC A,B,C三点共线；三点共线； 3.3.证明证明 两直线平行两直线平行: : AB=CD ABCD AB=CD ABCD AB AB、CDCD不重合不重合直线直线ABAB直线直线CDCD一、概念与定理一、概念与定理 aa 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 ( a0 )( a0 )b=b=aa向量向量a a与与b b共线共线
