课题：函数的零点.doc

课题：函数的零点一、教学目标1.知识与技能：（1）理解函数的零点的概念；（2）能利用导数解决方程的根，不等式等综合问题.2.过程与方法： 让学生体验转化的过程.3.情感、态度与价值观 领会函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想及文化思想.二、教学重点（1）理解函数的零点的概念；（2）能利用导数解决方程的根，不等式等综合问题.三、教学难点能利用导数解决方程的根，不等式等综合问题.四、教学方法 探究法五、教学过程1.原题呈现(2013江苏)设函数，其中为实数.（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.2.问题分析本题考查了利用导数探究曲线的交点、函数的零点与方程的根等知识点，考查了函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想.本题难度较大，直接讲解难度较大，笔者准备作以下铺垫，进行阶梯式教学. 例 判断方程解的个数.分析：此方程为超越方程，不可直接求解，我们可以从函数的角度解之.解法1（将方程的根转化为函数的零点）令.因为，所以.因此，函数在上存在零点，即：函数在上存在零点.又因为，所以，函数在上单调递增，故函数在上最多存在一个零点.综上所述，函数在上存在唯一的零点.法2（将方程的根转化为两个函数图象的交点）设，由函数的图象有唯一的交点知，方程有唯一的实数解.3.归纳小结（1）知识与技能：（2）体现的数学思想：4.拓展延伸上述例题由易到难，逐层加深使学生对函数的零点这一知识点的认识不断加深，理解更加透彻、完美，此时，教师再来讲解2013年高考题学生就会更加容易理解，更加容易接受.数学教育家G波利亚有过一个比喻:"好问题同某种蘑菇有些相像,它们都是成堆地生长的,找到一个以后,你应当在周围找一找,很可能附近就有好几个".波利亚的比喻形象而生动地说明了数学问题之间存在着紧密联系,在解决了一个数学问题之后,如何去寻找和解决与之相关的其他数学问题,这些数学问题之间是否具有关联性？从横向考虑是否与其他知识点具有关联性？经过教师的引导，师生进行了如下探究：变题1 讨论关于的方程根的个数.变题2 若，证明：关于的方程有2个实数根.变题3 若恒成立，求的取值范围.变题4设，若成立，求的取值范围.变题5 若求证：关于的不等式成立.5.运用数学练习：1设，则函数零点的个数为 2.设，且函数有4个零点，则实数的取值范围是 教师通过引导学生改变题目的条件，复习了利用导数研究方程根的个数问题、恒成立问题与不等式的证明这三类问题，体现了函数与方程、数形结合、转化与化归的数学思想.本例通过变题训练尽可能将相关知识自然流畅地联系起来；尽可能对选中的例题进行合情合理地深度开发；通过设计一组具有层次性、富有挑战性和探究性、蕴含数学思考价值、环环相扣的问题串，促使学生在“联系”“变化”“拓展”的氛围中深入地进行数学思考，促使学生理解知识点间的内在联系，开阔学生的思路，提高学生的思维能力.