曲线积分与曲面积分复习ppt课件.ppt

第十一章第十一章 曲线与曲面曲线与曲面积分积分第一类曲线积分第一类曲线积分特点特点(1)(1)被积函数的定义域是曲线弧被积函数的定义域是曲线弧. .( , ),( , )f x yx yL (2) (2)微元微元 是平面曲线弧长元素是平面曲线弧长元素. .ds (3) (3)空间曲线上的一类曲线积分空间曲线上的一类曲线积分( , , )f x y z ds( , )dLf x ys对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分: :(1)公式法公式法:22d( )( , )(),)( )(Lx yttstfttdf( ),()( ),xttyt L的的参数方程：参数方程：L:( ),yy x axb( ),(),yy xaxbxx( ),(),xx ycydyy( ),xx y cydL:一定，二代，三换元，定，代，换关键在一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下限方程。小下限, ,大上限大上限. .2.第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算步骤：步骤：22d( )( , )(),)( )(Lx yttstfttdf1.写出写出L的的参数参数方程，确定参数的范围方程，确定参数的范围2.化为定积分化为定积分一定，二代，三换元，定，代，换关键在一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下限方程。小下限, ,大上限大上限. .(2)技巧：对称性简化计算技巧：对称性简化计算.例题例题例例1 122,xyLeds 其中其中L 为圆周为圆周直线直线 及及x轴在第一象限轴在第一象限222,xyayx边界边界. .计算计算内所围成的扇形的整个内所围成的扇形的整个 例例3 3 计算计算 其中其中L为为 形成形成4433(),Lxyds 222333xya的弧段的弧段. . yaxo例例2 22,x yzds其中其中 为折线为折线ABCD,这里这里A，计算计算B，C，D依次为依次为0 0 00 0 21 0 21 3 2( , , ),( , , ),( , , ),( , , ).oxyABL1 nMiM1 iM2M1M述移动过程中变力述移动过程中变力 所作的功所作的功W. .设一质点在设一质点在xoy平面内从点平面内从点A沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧L移动移动的作用，其中函数的作用，其中函数( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y j 到点到点B, ,在移动过程中，这质点受到变力在移动过程中，这质点受到变力( , ),( , )P x y Q x y( , )F x y 在在L上连续上连续. .计算在上计算在上(,)iiF 第二类曲线积分第二类曲线积分1.引例：变力沿平面曲线做功引例：变力沿平面曲线做功WF S iiiiiWPxQyddLWP xQ yddLP xQ y对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 (2) (2)被积函数的定义域是曲线弧被积函数的定义域是曲线弧. .( , ),( , ),( , )P x y Q x yx yLddLP xQ y对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分特点特点(1)(1)积分曲线是有向曲线弧积分曲线是有向曲线弧. . (3) (3)微元微元 是有向弧微分是有向弧微分 在坐标轴上的投影在坐标轴上的投影d ,dxydsddddLLP xQ yP xQ y 与一类曲线积分的与一类曲线积分的本质区别本质区别 (4) (4)变力沿空间曲线做功变力沿空间曲线做功dddLWP xQ yR z一定，二代，三换元，定，代，换关键在方一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。下起上终之参程。下起上终之参. .2.第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算(1)公式法公式法:( ),( ),xtyt 有向曲线有向曲线L的的参数方程：参数方程：从从 到到t . ( , )( , )()( ),( )( ),(dd( )d()dLxytx yx ytttPttttPPQL:( )yy x从从 到到xa. bL:( )xx y从从 到到xc.d( ),yy xxx从从 到到xa. b( ),xx yyy从从 到到xc.d步骤：步骤：1.写出写出L的的参数参数方程，确定参数的方程，确定参数的走向走向2.化为定积分化为定积分一定，二代，三换元，定，代，换关键在方一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。下起上终之参程。下起上终之参. .( , )( , )()( ),( )( ),(dd( )d()dLxytx yx ytttPttttPPQ例题例题yx yx1 1( , )B11( ,)Aoyx,dLxyx其中其中L为沿抛物线为沿抛物线 从从点点2yx 到到的一段的一段. . 例例4 4 计算计算11( ,)A11( , )B 例例5 5 计算计算 其中其中 是是从从到到 的直线段的直线段. .3223,dddxyxzyx y z3 2 1( , , )A0 0 0( , , )B(1)格林公式格林公式平面闭曲线平面闭曲线 定理定理1 设区域设区域 D 是由分段光滑的曲线是由分段光滑的曲线 L围成，围成，则有则有( , ),P x y( , )Q x yd dddLDQPx yP xQ yxy ( 格林公式格林公式 )函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数, ,其中其中L是是D的的正向正向边界曲线边界曲线.DLD0L1L2L第二类曲线积分的重要定理第二类曲线积分的重要定理说明：说明： (1)格林公式仅计算格林公式仅计算平面闭曲线平面闭曲线的二类曲线积分的二类曲线积分.ddd dLDQPP xQ yx yxy (2) L是是D的的正向正向边界曲线边界曲线沿着边界走，区域在左手沿着边界走，区域在左手.ddd dLDQPP xQ yx yxy (3) L必须是必须是封闭封闭的平面曲线的平面曲线.( , ),( , )P x yQ x y在在D上具有上具有连续一阶偏导数连续一阶偏导数. . (4)添边添边：构成闭区域，具有连续一阶偏导数：构成闭区域，具有连续一阶偏导数. 加负号加负号：沿着边界走，区域在右手，记得添负号。：沿着边界走，区域在右手，记得添负号。 挖洞：挖洞：含奇点时莫忘挖洞去奇点含奇点时莫忘挖洞去奇点. 例例6 6 计算计算,)()3(Ldxyxdyyx其中其中L为为9)4() 1(22yx的的负负向向. .例例7 7 计算计算 上由点上由点到点到点 的一段弧的一段弧. .,Lxdy其中其中L为为122 yx)0 , 1 (A) 1 , 0(B应用：应用：22dd,Lx yy xxy 其中其中L为一无重点且不过为一无重点且不过例例8 8 计算计算 原点的分段光滑正向闭曲线原点的分段光滑正向闭曲线.LyxoDxyoLDrl1DDyxo1L2LBA12LLPdxQdyPdxQdy定义：定义：曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关等价于等价于0CPdxQdy 条件：条件：12ddddLLP xQ yP xQ y120 LLPdxQdy12dddd0LLP xQ yP xQ y(2)曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关则曲线积分则曲线积分 在在D内内 定理定理2 设设D 是单连通域是单连通域 ,( , ),( , )P x yQ x y在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,在在 D 内恒成立内恒成立.PQyxddLP xQ y路径无关路径无关(或沿或沿D内任意闭曲线的曲线积分为零内任意闭曲线的曲线积分为零)的充的充函数函数要条件是要条件是，其中其中L是从点是从点0 0( , ) 例例10 10 计算计算cos dsin dxLey xy y到点到点 的任意有向曲线的任意有向曲线.2 2(,) 利用路径无关计算曲线积分利用路径无关计算曲线积分，其中其中L是是xoy平面内的任平面内的任 例例9 9 计算计算22ddLxy xxy 意有向闭曲线意有向闭曲线.特点：路径无关，闭曲线特点：路径无关，闭曲线, ,积分为零积分为零. .特点：路径无关，非闭曲线特点：路径无关，非闭曲线, ,选易积分路线选易积分路线. .第二类曲线积分的计算方法总结第二类曲线积分的计算方法总结1.公式法：公式法：被积函数与积分路径简单被积函数与积分路径简单. ( , )( , )()( ),( )( ),(dd( )d()dLxytx yx ytttPttttPPQddd dLDQPP xQ yx yxy2.格林公式：格林公式：平面闭曲线，不易积分，但平面闭曲线，不易积分，但 简单简单.QPxy3.路径无关：路径无关：选择简单路径，积分选择简单路径，积分.PQyx三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积( , )d( , )dP x yxQ x yy( , )u x y ?du? 设区域设区域D是一个是一个单连通域单连通域, 函数函数P(x,y) )及及定理定理3 3PQyx在在D内恒成立内恒成立.u( (x, ,y) )的全微分的充的全微分的充ddP xQ y在在D内为某一函数内为某一函数Q( (x, ,y) )在在D内具有内具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,则曲线积分的被积则曲线积分的被积表达式表达式要条件是要条件是1.1.全微分的条件全微分的条件( ,0)A xyxo( , )B x y在整个在整个xoy面内面内 例例11 11 验证验证22()()xy dxxy dy( , )u x y的全微分，并求这样一个函数的全微分，并求这样一个函数. .是一函数是一函数第一类曲面积分第一类曲面积分( , , )d.f x y zS“一投，二代，三换，投影，换元看方程一投，二代，三换，投影，换元看方程”第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算221( , )d d( , , )d , ,xyxyDz x yzzf x y zSf xxyy 例例12 计算计算 , ,其中其中 为球面为球面 222()IxyzdS2222xyzR222()IxyzdS2222xyzR2222xyzR 例例1 13 计算计算 ，其中，其中 为为222()IxyzdS22220()xyzRz R 之间的圆柱面之间的圆柱面 例例14 计算计算 ，其中，其中 为平面为平面2221IdSxyz01,zz221xy 例例1 15 计算计算 ，其中，其中 为球面为球面2()IxyzdS2221xyz 步骤：步骤：1.1.写出曲面的显式表达式写出曲面的显式表达式( , )zz x y2.2.将曲面向将曲面向xoy面投影面投影xyD3.3.求出曲面面积元素求出曲面面积元素221d ddxyzzSx y221( , )d d( , , )d , ,xyxyDz x yzzf x y zSf xxyy4.4.化为二重积分化为二重积分“一投，二代，三换，投影，换元看方程一投，二代，三换，投影，换元看方程”预备知识：预备知识：上侧上侧n(,1)xyzzcos0( , 1)xyz z cos0下侧下侧前侧前侧(1,)yzxxn cos0( 1,)yzxxcos0后侧后侧:( , )xx y zoxyz通过曲面上任一点处法向量的指向来指定通过曲面上任一点处法向量的指向来指定. .例：例：:( , )zz x yoxyz1.1.有向曲面的侧有向曲面的侧右侧右侧n(,1,)xzyycos0(, 1,)xzyycos0左侧左侧:( , )yy x zoxyzoxyz2.2.有向曲面在坐标面上的投影有向曲面在坐标面上的投影 设设 为有向曲面为有向曲面,S在在 上取一小块曲面上取一小块曲面.)(xy上各点处法向量的方向余弦上各点处法向量的方向余弦S在在xOy面上的投影区域的面积为面上的投影区域的面积为假定假定Scos有相同的符号有相同的符号.,)(yxS把把 在在 xoy 面上的投影记为面上的投影记为S则规定则规定()x yS(),x y(),x y 0 ,时当0cos时当0cos时当0coscosS() ,zxS 在在 zox面上的投影面上的投影Soxyz() ,yzS 在在 yoz面上的投影面上的投影Soxyz()yzS() ,yz() ,yz 0 ,0cos0cos0coscosS()zxS() ,zx() ,zx 0 ,0cos0cos0coscosS( , , )d d( , , )d d( , , )d d .P x y zy zQ x y zz xR x y zx y第二类曲面积分第二类曲面积分( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )P x y z dydzP x y z dydzQ x y z dzdxQ x y z dzdxR x y z dxdyR x y z dxdy 用用 表示表示 的反向曲面的反向曲面, 则则与侧有关与侧有关性质性质1( , , )d dIP x y zy zd dcos dy zS :( , ),xx y z( , )yzy zD( ( , ), , )d d( , , )d d( ( , ), , )d dyzyzDDP x y zy zy zP x y zy zP x y zy zy z取前侧取前侧取后侧取后侧d dcosdz xS :( , ),yy z x( , )zxz xD2( , , )d dIQ x y zz xoxyz( , ( , ), )d d( , , )d d( , ( , ), )d dzxzxDDQ x y z x zz xQ x y zz xP x y z x zz x取右侧取右侧取左侧取左侧oxyz第二类曲面积分的计算第二类曲面积分的计算oxyz:( , ),zz x y( , )xyx yD( , , ( , )d d( , , )d d( , , ( , )d dxyxyDDR x y z x yx yR x y z x yR x y z x yx y取上侧取上侧取下侧取下侧3( , , )d dIR x y zx yd dcos dx yS 一投，二代，三定号，投影，代入看积分，定号要靠曲面侧一投，二代，三定号，投影，代入看积分，定号要靠曲面侧 例例1616 计算计算 其中其中 是平面是平面 含在含在()d d ,xzx yxza 柱面柱面 部分内的部分内的上侧上侧. .222xya 理解：在曲面上；曲面面积元素的投影理解：在曲面上；曲面面积元素的投影. .例例1717 计算计算 其中其中 是球面是球面22,x y zdxdy2222xyzR 的下半部分的的下半部分的下侧下侧. . 特点：曲面具有单值函数表达式特点：曲面具有单值函数表达式dxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,(2、化为二重积分、化为二重积分3、计算二重积分、计算二重积分:xyD1、明确、明确 的方程，确定投影的方程，确定投影:( , )zz x y步骤：步骤：一投，二代，三定号，投影，代入看积分，定号要靠曲面侧一投，二代，三定号，投影，代入看积分，定号要靠曲面侧( , , )P x y z dydz( , , )cosQ x y zdS( , , )cosP x y zdS( , , )Q x y z dzdxdSzyxRcos),(dxdyzyxR),(为有向曲面为有向曲面在任意点处在任意点处法法向量的方向余弦向量的方向余弦. .cos,cos,cos两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系其中其中 是是2()d dd d ,zxy zz x y旋转抛物面旋转抛物面221()2zxy介于平面介于平面 z= 0 之间部分的下侧之间部分的下侧. 例例18 18 计算计算及及 z = 2oyxz2 的方向取外侧的方向取外侧.定理定理1 设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑的闭由分片光滑的闭在在 上有连续的一阶上有连续的一阶函数函数 P, Q, R 曲面曲面 所围成所围成, 则有则有 偏导数偏导数 , ()dPQRPdydzQdzdxRdxdyvxyz.)coscoscos()(dSRQPdxdydzzRyQxP或或高斯公式高斯公式, ,其中其中 是是例例1919 计算计算的的内侧内侧. .2222xyza333Ix dydzy dzdxz dxdy , ,其中其中2222,2zxyzxy例例2020 计算计算所围立体表面的外侧所围立体表面的外侧. .22Ixzdzdyyzdzdxx dxdy ，其中，其中例例2121 计算计算为为 的下侧的下侧. .22220()axdydzzadxdyIaxyz 222zaxy 三度三度例例2222 已知已知 , ,求在求在 处处(1)gradu2223( , , )u x y zxxyxy z(2)()div gradu(3)()rot gradu0 0 0( , , )